2023届北京市海淀区北大附中高三预部12月阶段练习数学试题（解析版）

2023届北京市海淀区北大附中高三预部12月阶段练习数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合 ，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出集合B，根据集合的交集运算即可求得答案.

【详解】由题意可得集合，或，

故，

故选：D.

2．已知复数，则在复平面内对应点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出复数z，即可判断.

【详解】因为复数，

所以在复平面内对应点的坐标为.

故选：C

3．已知抛物线：，则其准线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由抛物线的标准方程直接求解.

【详解】因为抛物线：，所以其准线方程为.

故选：A

4．已知直线与圆交于P，Q两点，的中点是，则直线的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】首先根据直线与圆的位置关系得到直线的斜率为，再根据点斜式即可得到答案.

【详解】圆，圆心，设的中点，则，

因为，则直线的斜率为.

所以直线的方程为，即.

故选：A

5．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据余弦函数、指数函数、对数函数、反比例函数的单调性，依次判断选项即可.

【详解】对选项A，因为在有增有减，所以大小无法判断，

故A错误.

对选项B，因为在为增函数，若，则，故B错误.

对选项C，因为在为增函数，若，则，故正确.

对选项D，因为在为减函数，若，则，故D错误.

故选：C

6．若数列的通项公式是，则下列结论正确的是（    ）

A．108是数列的第39项 B．数列是递增数列

C．前项和有最大值 D．前项和无最小值

【答案】B

【分析】根据数列的通项公式是，令，求得n，判断A;求出数列的通项公式，结合二次函数性质可判断B;判断数列为首项为，公差为3的等差数列，即可判断前n项和的最值情况，判断.

【详解】由于数列的通项公式是，令，

即108是数列的第38项，A错误；

，由于在时递增，

故数列是递增数列，B正确；

由数列的通项公式是可知，数列为首项为，公差为3的等差数列，

且逐项递增，故前项和没有最大值，C错误；

由可得，结合C的分析可知前项有最小值，D错误；

故选：B

7．已知是公比为q的等比数列，则“”是“为递增数列”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的定义分析判断.

【详解】当时，数列不一定为递增数列，如数列，公比，而此数列为递减数列，

当为递增数列时，，则

或，

所以当为递增数列时，成立，

所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件，

故选：B.

8．已知是定义在上的偶函数，，对于任意，且，恒成立，则使得成立的的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先根据偶函数的性质和单调性得到，在为减函数，再根据单调性和奇偶性解不等式即可.

【详解】对于任意，且，恒成立，

所以在为减函数，

又因为是定义在上的偶函数，，

所以，在为增函数.

当时，等价于，解得.

当时，等价于，解得.

所以的解集为.

故选：D

9．若关于的方程有解，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将方程变形为，令，结合二次函数性质求得，即可求得实数的取值范围.

【详解】关于的方程有解,即有解，

令，则，

由于，故当时，取得最大值；

当时，取得最小值，

即，故，

故选：B.

10．成书于约两千多年前的我国古代数学典籍《九章算术》中记载了通过加减消元求解元一次方程组的算法，直到拥有超强算力计算机的今天，这仍然是一种效率极高的算法.按照这种算法，求解元一次方程组大约需要对实系数进行（为给定常数）次计算.1949年，经济学家莱昂提夫为研究“投入产出模型”（该工作后来获得1973年诺贝尔经济学奖），利用当时的计算机求解一个42元一次方程组，花了约56机时.事实上，他的原始模型包含500个未知数，受限于机器算力而不得不进行化简以减少未知数.如果不进行化简，根据未知数个数估计所需机时，结果最接近于（    ）

A．机时 B．机时 C．机时 D．机时

【答案】C

【分析】设1机时能进行a次计算，由题意得,设所需机时为t，得出,两式相比,可得,化间计算可得答案.

【详解】设1机时能进行a次计算，则由题意得，

原始模型包含500个未知数，如果不进行化简，设所需机时为t，

则,故 ,

故结果最接近于机时,

故选:C

二、填空题

11．圆上的点到直线距离的最大值为__________.

【答案】

【分析】确定圆心和半径，求出圆心到直线的距离，加上圆的半径，即可得答案.

【详解】圆的圆心为,半径为，

则圆心到直线的距离为，

故圆上的点到直线距离的最大值为，

故答案为：.

12．已知向量，，能够说明“若，则”是假命题的向量为__________（写出符合要求的一个坐标即可）.

【答案】（答案不唯一）.

【分析】由题意可知只要，且即可.

【详解】因为，，

所以，

当时，，此时，

所以能够说明“若，则”是假命题的向量，

故答案为：（答案不唯一）.

13．若函数与的图像关于点对称，则函数在上的最大值为__________.

【答案】-1.

【分析】方法1：由对称性可得在上的最大值与在上的最小值互为相反数，转化为求在上的最小值即可得结果.

方法2：由对称性求出的解析式，再求在上的最大值.

【详解】方法1：∵与关于点，

∴关于点的对称区间为，

∴在上的最大值与在上的最小值互为相反数.

∵，

∴

∴当时，取得最小值为1.

∴.

方法2：设上任意一点，

则点A关于点对称的点在上，

∴，即： ，

∵，

∴，

∴当时，取得最大值为.

故答案为：.

14．作单位圆的外切和内接正边形，记外切正边形周长的一半为，内接正边形周长的一半为.计算可得，其中是正边形的一条边所对圆心角的一半.

给出下列四个结论：

①；②；

③；④记，则，.

其中正确结论的序号是__________.

【答案】①③④

【分析】对于①，在等腰三角形中求出，从而可求出，对于②，分别计算进行判断，对于③，分别计算进行判断，对于④，先计算，再计算化简后，利用换元法，构造函数利用导数可求得结果.

【详解】对于①，等腰三角形中，，则，

所以，所以①正确；

对于②，因为，，所以，，

所以，

，

所以，所以②错误；

对于③，因为，，所以，，，

所以，

，

所以，所以③正确；

对于④，，

所以

，

令（），则

，

所以，

所以在上递增，

所以，所以，所以④正确，

故答案为：①③④.

【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的综合应用，考查数列的应用，解题的关键是根据题意利用三角函数表示出和，及三角函数恒等变换公式的灵活应用，考查计算能力，属于难题.

三、双空题

15．双曲线的离心率为___________，渐近线方程为_________________.

【答案】         

【解析】根据双曲线方程求出，再由离心率，渐近线即可求解.

【详解】由双曲线，则，，

所以，

所以，

渐近线，即.

故答案为：；

四、解答题

16．已知函数.

(1)求的最大值及对应的取值集合；

(2)若函数在上有且只有两个零点，求的取值范围.

【答案】(1)，对应的取值集合为

(2)

【分析】（1）根据正弦函数的性质计算可得；

（2）利用两角差的正弦公式及二倍角公式化简，再根据的取值范围求出的取值范围，最后结合正弦函数的性质计算可得.

【详解】（1）解：因为，令，解得，

所以，对应的取值集合为.

（2）解：因为

，即，

因为，所以，

又在上有且只有两个零点，所以，解得，即.

17．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，点E是线段PD中点.

(1)求证：平面；

(2)求二面角的余弦值；

(3)求点P到平面ACE的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）取的中点，连接，，四边形为平行四边形，从而得到，再利用线面平行的判定证明即可.

（2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.

（3）利用空间向量法求解即可.

【详解】（1）取的中点，连接，，如图所示：

因为分别为的中点，所以，，

又因为，，所以，，

即四边形为平行四边形，所以.

因为平面，平面，，

所以平面.

（2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：

，，，，，

，，

设平面的法向量为，

则，令，则，即，

平面的法向量为.

所以，

因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.

（3）平面的法向量为，，

设点P到平面ACE的距离为，则

18．在中，.

(1)求角的大小；

(2)再从条件①、条件②、条件③、条件④这四个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一，求的面积.

条件①：；

条件②：；

条件③：；

条件④：.

【答案】(1)；

(2)答案见解析.

【分析】（1）利用正弦定理和三角公式求出，即可求出；

（2）分类讨论，6种不同的情况，分别选择对应的条件，利用正余弦定理解三角形，利用面积公式求出三角形的面积.

【详解】（1）在中，，由正弦定理得：，

因为为三角形的内角，所以，

所以，即.

因为，所以.

（2）选条件①②，只知道三个角，三角形不唯一（相似三角形的的对应角相等），不合题意，舍去.

选条件①③，则有：，，.

对于，由正弦定理得：.

而由可得：.

因为，所以.

所以三角形无解，不合题意，舍去.

选条件①④，则有：，，.

因为，所以.

因为，由正弦定理得：，所以.

由得：.

由余弦定理得： ，

整理得：.

因为，且，

所以关于c的方程有两正解，所以三角形有两解，不合题意，舍去.

选条件②③，则有：，，.

因为，所以.

因为，所以.

所以.

所以，由正弦定理得：.与已知条件相符.

但是只知道三个角，三角形不唯一（相似三角形的的对应角相等），不合题意，舍去.

选条件②④，则有：，，.

因为，所以.

因为，所以.

所以.

由正弦定理得：.

而，解得：.

所以的面积为.

选条件③④，则有：，，.

由余弦定理得：

即，解得：（舍去）.

又，所以.

所以的面积为.

19．已知椭圆：.

(1)求椭圆的长轴长和离心率；

(2)已知为椭圆的左顶点，过点作直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，，且点位于轴下方，求.

【答案】(1)长轴长为，离心率

(2)

【分析】（1）根据所给方程求出，，即可求出、，从而求出长轴长与离心率；

（2）设，，依题意可得，，表示出直线、，即可得到、，从而表示出，再设过点的直线为，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，再代入计算可得.

【详解】（1）解：椭圆：，所以，，

所以，，

则椭圆的长轴长为，离心率.

（2）解：由（1）可知，设，，

因为点位于轴下方，所以，，

所以直线，令则，

直线，令则，

所以，

依题意过点的直线的斜率存在，设直线为，

则，，

所以

，

由，消去整理得，

则，解得，

所以，，

所以

所以.

20．已知.

(1)若，求在处的切线方程；

(2)设，求的单调递增区间；

(3)证明：当时，，.

【答案】(1)；

(2)时，没有单调递增区间；时，单调递增区间为;

(3)证明见解析.

【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案;

（2）求出函数的导数，讨论k的取值范围，确定导数的正负，即可求得的单调递增区间；

（3）由于不等式可变为，所以可构造函数，利用（2）的结论可证明故该函数为上的增函数，利用函数的单调性，即可证明结论.

【详解】（1）当时，，

故在处的切线斜率为，而，

所以在处的切线方程为，即.

（2）由题意得，则，

当时，为常数函数，没有单调递增区间；

当时，令，即，

当时，令，即，

故时，没有单调递增区间；时，单调递增区间为.

（3）证明：由（2）可知，当时，在上单调递增，而，

即在上恒成立，故在上单调递增，

设，则，

因为，则，故，

所以在上单调递增，而，

则，即，而，

故，即.

【点睛】关键点点睛：证明不等式时，关键是构造函数，利用函数的单调性进行证明；因为可变形为，由此可构造函数，从而利用（2）的结论证明该函数为递增函数，从而利用函数的单调性证明不等式.

21．已知和是各项均为正整数的无穷数列，如果同时满足下面两个条件：

①和都是递增数列；

②中任意两个不同的项的和不是中的项.

则称被屏蔽，记作.

(1)若，.

（i）判断是否成立，并说明理由；

（ii）判断是否成立，并说明理由.

(2)设是首项为正偶数，公差是2的无穷等差数列，判断是否存在数列，使得.如果存在，写出一个符合要求的数列；如果不存在，说明理由；

(3)设是取值于正整数集的无穷递增数列，且对任意正整数M，存在正整数，使得.证明：存在数列，使得.

【答案】(1)（i）不成立，理由见解析；（ii）成立，理由见解析；

(2)不存在，理由见解析；

(3)存在，证明见解析.

【分析】(1)根据的定义，对（i）（ii）分别分析；

(2)根据 和 的性质，以及数的奇偶性分析即可；

(3)根据条件，的特点是后一项与前一项的差越来越大，不妨构造 并由 构造，再运用反证法即可.

【详解】（1）（i）因为 是所有的奇数构成的等差数列， 是所有的偶数构成的等差数列，

对于 的任意两项之和必为偶数，必定是 中的项，所以 不成立；

（ii） 中的任意两项之和必为偶数，必不属于 的项，所以 成立；

（2）设 ，则 是由N以及大于N的所有的偶数构成的等差数列， 是由正数构成的递增数列，即 ，

则当n足够大时，必有 ，即  中必有两项之和大于 并且是偶数，即属于 中的项， 不存在 使得 ；

（3）由题意，不妨假设 ，则 ，设 ，

假设 中的第n项和第n+p项之和是 的第m项 ，

即 ，则有 ，

由求根公式得 ，

  ，

，

所以不成立，即中的任意两项之和都不在中，存在数列 ；

综上，（1）中（i）不成立，（ii）成立；（2）不存在 使得；

（3）存在.

【点睛】对于第三问，问题很抽象，理解 的含义，构造是关键，考虑到的增长速度较慢，用等差数列来构造.