2022-2023学年广东省中山市高三上学期期末测试数学试题（word版）

中山市2022-2023学年高三上学期期末测试

数学

一、单选题

1．抛物线 的焦点坐标为（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数z满足，则（    ）．

A． B． C． D．8

3．经团委统计，某校申请“志愿服务之星”的10名同学在本学期的志愿服务时长（单位：小时）分别为26、25、23、24、29、25、32、25、24、23，记这一组数据的平均数为，上四分位数为，众数为，则（    ）

A． B． C． D．

4．已知向量，，若在上的投影向量为，则的值为（    ）

A． B． C．1 D．2

5．已知直线l经过点，且被圆截得的弦长为4，则直线l的方程是  （    ）

A． B．或

C． D．或

6．一组数据原有三个数据，其均值为10，现分别加入6和14，得到两组新的数据，它们的方差分别是，和，则（    ）

A． B． C．    D．与的大小关系不能确定

7．两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为（    ）

A．0.21 B．0.06

C．0.94 D．0.95

8．已知，为函数的零点，，下列结论中错误的是（    ）

A． B．若，则

C． D．a的取值范围是

二、多选题

9．已知m、n是两条不同的直线，、是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中是真命题的是（    ）

A．若，，则          B．若，，则

C．若，，则           D．若，，，则

10．有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，下列说法错误的是（    ）

A．残差平方和变小               B．相关系数r变小

C．决定系数变小              D．解释变量x与响应变量y的相关性变弱

11．下列不等式关系成立的是（    ）

A． B．

C． D．

12．已知函数，，则下列说法正确的有（    ）

A．是周期函数，且是它的一个周期 B．的图象关于直线对称

C．的最大值为2 D．在区间上单调递减

三、填空题

13．的展开式中，含项的系数为___________．

14．最能引起美感的比例被称为黄金分割．现定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”已知椭圆是“黄金椭圆”，则__________．

15．为了监控某种食品的生产包装过程，检验员每天从生产线上随机抽取包食品，并测量其质量（单位：g）.根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布.假设生产状态正常，记表示每天抽取的k包食品中其质量在之外的包数，若的数学期望，则k的最小值为________.

附：若随机变量X服从正态分布，则.

16．著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，…，的特点是从三个数起，每一个数等于它前面两个数的和，则是数列中的第______项．

四、解答题

17．已知正项数列，其前项和满足.

(1)求的通项公式；

(2)证明：.

18．在锐角中，，，分别为内角，，的对边，且，.

(1)求角的大小；

(2)求面积的取值范围.

19．如图，是以为直径的圆上异于的点，平面平面，，，分别是的中点，记平面与平面的交线为直线.

(1)求证：直线平面；

(2)直线上是否存在点，使直线分别与平面，直线所成的角互余？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

20．2022年2月4日北京冬季奥运会正式开幕，“冰墩墩”作为冬奥会的吉祥物之一，受到各国运动员的“追捧”，成为新晋“网红”，广大网友纷纷倡导“一户一墩”，与此同时，也带火了相关产业.某体育销售公司对销售人员的奖励制度如下：（假设为月销售量，单位是件）①当时，当月给奖金1000元；②当时，当月给奖金3000元；③当时，当月给奖金10000元.已知该产品的月销售量.

(1)该公司销售人员的月奖金大约为多少元？（精确到整数位）

(2)现从该公司一批产品中，随机抽出9件产品进行检验.已知该产品是合格品的概率为，记这9件产品中恰有3件不合格品的概率为，试问当等于多少时，取得最大值？

（参考数据：若，则

21．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且经过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆的右焦点，直线与椭圆相切于点(点在第一象限)，过原点作直线的平行线与直线相交于点，问：线段的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.

22．已知函数，．

（1）求在区间上的极值点；

（2）证明：恰有3个零点．

参考答案

1．D  2．A   3．A   4．C    5．B   6．C   7．D

8．C  可以看作函数 与函数 的作差组成，作图如下：

对于A，由草图可知： 时， 单调递增， 单调递减，故存在唯一的交点 ，

考虑： 时，  ， ， ，

当 时， ， ，A正确；

对于B，有 ，两边取对数得： ，

由条件 可得： ，

联立方程 ，消去 得 ，并且 ，解得 ，B正确；

对于C，当 时， ，  ， 没有零点，即 ， ，C错误；

对于D，由于 在 时存在唯一零点，若 存在3个零点，必有 ，

考虑当 时， 必有2个解，两边取自然对数得 ，

构造函数： ，即 在时必有2个零点，

求导： ，令 ，则有 ，

当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，

在 时， 取得最小值， 有2个零点的充分必要条件是 ，

即 ，  ， ，D正确；

9．BC   10．BCD    11．BCD

A选项：当且时，

有，

进一步可得，

（）

从而得当且时，有，

所以，故A选项不成立.

B选项：令，则，所以在上函数单调递减，所以，也即在上，，即，所以当时，，，

即，在上式中取，得，

即，故B选项成立.

C选项：因为，，所以，故C选项成立.

D选项：当时，，取，得，即，故D选项成立.

12．ABD

A选项：因为

，

所以是周期函数，且是它的一个周期，故A正确；

B选项：因为

，所以的图象关于直线对称，故B正确.

C选项：当，即时，，

易知，所以当，即时，，

因为是的一个周期，故当时，，C错误；

D选项：当时，由C选项知，，

令，得，

得的单调递减区间为.由的周期性知，

即为的一个单调递减区间，故D正确.

故选：ABD

13．    14．    15．19      16．

由题意可知，

所以，即

所以，

，

……

，

所以，

又

所以

∴ ．

所以是数列中的第项.

17．（1）当时，可得.

当时，由题意可得，即，

所以，

又，

经检验，当时符合，所以，；

所以当时，，

经检验，当时符合，所以，；

（2）由（1）可得，所以

，命题得证.

18．（1）由,

根据余弦定理可得，化简得，

由正弦定理，可知，

因为为锐角三角形，所以.

（2）由.

由正弦定理得，

因为为锐角三角形，

所以，解得，

则，，

故，

即面积的取值范围为.

19．（1）证明：∵，分别是，的中点，∴，

又平面，面，∴面，

又面，面面，∴，

又，面面，面面，

∴面，则面；

（2）解：取中点，连接，∵，∴，

∵平面平面，平面平面，

又∵平面，∴平面，

又∵是以为直径的圆上异于A，的点，∴，

∵点，分别是，中点，

连接，则，

分别以线段，，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，

∴，，

设，，

设面的法向量为，

则，取，得，

，

，

依题意，得，

即，解得，即，

∴，

∴直线上存在点，使直线分别与平面、直线所成的角互余，且．

20．（1）月销售量，即，

于是发生的概率是，

发生的概率是，

发生的概率是，

所以销售人员的月奖金为

（元）.

（2）依题意，，

则.

令，得；令，得.

所以在上单调递增，在上单调递减，

故当时，取得最大值.

21．（1）由题意知

∴椭圆的方程为.

（2）设，题意可知，切线的方程为，

过原点且与平行的直线的方程为，

椭圆的右焦点，

所以直线的方程为，

联立，

所以，

所以

为定值.

22．解：（1）（），

令，得，或．

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

故是的极大值点，是的极小值点．

综上所述，在区间上的极大值点为，极小值点为．

（2）（），

因为，所以是的一个零点．

，

所以为偶函数．

即要确定在上的零点个数，只需确定时，的零点个数即可．

当时，．

令，即，或（）．

时，，单调递减，又，所以；

时，，单调递增，且，

所以在区间内有唯一零点．当时，由于，．

．

而在区间内单调递增，，

所以恒成立，故在区间内无零点，

所以在区间内有一个零点，由于是偶函数，

所以在区间内有一个零点，而，

综上，有且仅有三个零点．