2021-2022学年山东省威海市乳山市第一中学高一下学期4月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年山东省威海市乳山市第一中学高一下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．的值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由诱导公式可得，计算即可得解.

【详解】由题意

.

故选：B.

【点睛】本题考查了诱导公式的应用及特殊角的三角函数值，属于基础题.

2．P为四边形ABCD所在平面上一点，，则P为（       ）．

A．四边形ABCD对角线交点 B．AC中点

C．BD中点 D．CD边上一点

【答案】B

【分析】先由三角形法则得到，结合题目条件得到即可求解.

【详解】，，即，

故，，故P为AC中点.

故选：B.

3．平面向量与的夹角为60°，，则|等于（       ）

A． B．2 C．4 D．12

【答案】B

【分析】先由已知条件求出，再由可求得答案

【详解】因为，

所以，

因为向量与的夹角为60°，

所以，

所以，

故选：B

4．已知，则的值为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由已知条件求出，再由二倍角公式直接求解.

【详解】因为，所以，则.

所以.

故选：D

5．已知函数在区间上的大致图象如图所示，则的解析式可能为（       ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】判断函数的奇偶性，可判断A,B的可能性；取特殊值可说明C不符合题意；结合的奇偶性可判断D.

【详解】对于A，，可知为偶函数，不符合题意，故A错误；

对于B，，可知为偶函数，不符合题意，故B错误；

对于C，当时，，与题中图象不符，故C错误，

对于D，为奇函数，其函数值变化符合图象，

故的解析式可能为，

故选：D

6．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上一点P，使·有最小值，则点P的坐标为   (　 )

A．(－3,0) B．(2,0) C．(3,0) D．(4,0)

【答案】C

【分析】设点P坐标为(x,0)，根据平面向量的坐标表示求出、，利用平面向量数量积的坐标表示可得，结合二次函数的性质即可得出结果.

【详解】设点P坐标为(x,0)，则=(x-2,-2)，=(x-4,-1),

=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.

由二次函数的性质知，当x=3时,有最小值1.

故点P坐标为(3,0).

故选：C.

7．已知函数在内不存在对称中心，则的取值范围为（       ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先由解得，再由得到，令或，解出的取值范围即可.

【详解】因为在内不存在对称中心，故，解得，又，，故，解得，又，所以，或，，故的取值范围为.

故选：D.

8．一半径为的水轮如图所示，水轮圆心距离水面，已知水轮每逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（       ）

A．点第一次到达最高点需要

B．在水轮转动的一圈内，点距离水面的高度不低于共有的时间

C．点距离水面的距离（单位：）与时间（单位：）的函数解析式为

D．当水轮转动时，点在水面下方，距离水面

【答案】D

【分析】根据所给条件求出点距离水面的高度与时间的函数关系式，再逐项进行计算并判断作答.

【详解】显然点距离水面的高度(米)与(秒)的关系成周期性，符合正弦型函数关系，设其解析式为，

依题意，，，由，解得，即，

当时，，得，，，

于是得所求的函数关系式是，

所以点距离水面的距离(单位：)与时间(单位：)的函数解析式为

，C错误；

由得：，即，解得，

点第一次到达最高点要时间，A错误；

由，

即在水轮转动的一圈内，有20秒的时间，点距离水面的高度不低于4.8米，B错误；

时，，D正确.

故选：D

二、多选题

9．下列选项正确的是（       ）

A．

B．

C．若终边上有一点，则

D．若一扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为

【答案】AB

【分析】根据诱导公式，弧度制与角度制的转化公式，以及三角函数的定义，扇形面积公式，即可判断选项.

【详解】，故A正确；

，故B正确；

若终边上有一点，则，故C不正确；

若一扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的半径为，面积为，故D不正确.

故选：AB

10．下列命题中正确的是（       ）

A．向量与不共线，则与都是非零向量

B．已知A，B，C是平面内任意三点，则

C．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足，则△ABC为等腰三角形

D．若向量与同向，且，则

【答案】ABC

【解析】根据向量共线的定义，向量的线性运算以及向量的数量积运算计算即可判断.

【详解】A.因为零向量与任意向量共线，若向量与不共线，则与都是非零向量，故正确.

B. 因为，所以，故正确.

C. 因为，所以，则△ABC为等腰三角形，故正确.

D. 向量不能比较大小，故错误.

故选：ABC

【点睛】本题主要考查平面向量共线的定义，线性运算以及数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

11．下列关于平面向量的说法中不正确的是（       ）

A．，，若，则

B．单位向量，，则

C．若点为的重心，则

D．若，则

【答案】AD

【分析】根据平面向量平行、模的坐标表示判断AB选项的正确性，利用向量运算、向量共线的知识判断CD选项的正确性.

【详解】A选项，由于，所以，A错误.

B选项，，B正确.

C选项，依题意是三角形的重心，设是的中点，连接，三点共线，如图所示，则，所以，C正确.

D选项，时就不行，D错误.

故选：AD

12．已知函数，则下列说法正确的是（       ）．

A．

B．的图象关于对称

C．若，则

D．若，则

【答案】BD

【分析】A选项直接求出即可判断；B选项由结合正弦函数的对称轴即可判断；C选项由在上不单调即可判断；D选项由在上的两个最小值之和大于最大值即可判断.

【详解】对于A，，，故，A错误；

对于B，由上知，当时，，故的图象关于对称，B正确；

对于C，当时，，故在上不单调，所以时，不一定成立，C错误；

对于D，当时，，则当或时，函数取得最小值为，当时，

函数取得最大值为，则两个最小值之和为，故D正确.

故选：BD.

三、填空题

13．若两个单位向量，满足，则______．

【答案】

【分析】先求出，进而利用数量积的运算法则即求.

【详解】由得，，

所以，，

.

故答案为：.

14．已知函数，在上单调递增，那么常数的取值范围__________．

【答案】

【分析】先求出，再由不等式解出的范围即可.

【详解】由可得，又，故，

故，解得，故的取值范围为.

故答案为：.

15．已知非零向量， 且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是_____

【答案】

【分析】先写出，再利用且与不共线求λ的取值范围即可.

【详解】由题意知，，且与不共线，即

且，解得且.

故答案为：.

16．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若函数为偶函数，则函数在上的值域为____________．

【答案】

【分析】由题意利用函数的图象变换规律得到的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数在的值域．

【详解】将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，

若函数为偶函数，则，，故函数．

，，，，，，，

则函数在的值域为，

故答案为：

四、解答题

17．已知，其中是第四象限角．

(1)化简；

(2)若，求，．

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）因为是第四象限角，即可得到，，再根据平方关系化简可得；

（2）依题意可得，再根据同角三角函数的基本关系求出；

【详解】(1)解：∵是第四象限角，∴，，所以、，

∴

．

即；

(2)解：∵，∴，

∴．

18．已知，．

（1）若向量在方向上的投影为，求及与的夹角；

（2）若与垂直，求.

【答案】（1），（2）

【分析】（1）由题意利用两个向量的数量积的定义，求及与的夹角；

（2）根据题意，可得 的值，再根据，计算求得结果.

【详解】（1）由向量数量积的几何意义知，等于的长度与在方向上的投影的乘积，，∴

又，

，∴

（2）因为与垂直，，

∴

∴

【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，求向量的模，属于基础题.

19．已知函数.

(1)求函数的单调递增区间；

(2)若，判断方程的根的个数.

【答案】(1)；

(2)答案见解析.

【分析】（1）根据辅助角公式，结合正弦型函数的单调性进行求解即可；

（2）利用转化法，结合函数的图象、正弦型函数的单调性进行分类讨论即可

【详解】(1).

由，得函数在上的增区间为.

由于函数在上的单调递增区间为.

(2)方程的根的个数也就是函数与函数图象的交点个数.

由（1）知，在为增函数，在为减函数，在为增函数，

而，

，

根据图象可知，

当时，方程无解，

当时，方程有3个根，

当或时，方程有2个根.

20．如图，在中，设，，，，，，，与交于点O．

(1)求；

(2)若，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先以，为基底表示、，再去求即可；

（2）依据向量共线列出关于的方程，即可求得的值．

【详解】(1)，

，

则．

(2)，

则，

因为A，O，E共线，所以，所以，

则，所以．

21．已知函数的图像两相邻对称轴之间的距离是.若将的图像先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，图像对应的函数为奇函数.

(1)求的解析式；

(2)求图像的对称轴及的单调区间；

(3)若对任意，恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)对称轴为直线，，增区间为，减区间为

(3)

【分析】（1）由正弦函数的周期公式求得，再根据函数是奇函数求得b，得函数的解析式；

（2）令，，，，，，分别求解可得答案；

（3）根据正弦函数的性质求得.再将问题转化为恒成立.令，，由函数的单调性求得的范围，由此求得的范围.

【详解】(1)解：因为，所以，所以.

又因为为奇函数，且，

所以且，又，

所以，，

所以.

(2)解：令，，得；

令，，得；

令，，得，.

所以函数图像的对称轴为直线，.

函数的增区间为，减区间为.

(3)解：因为，所以，所以，所以，

所以.

要使恒成立，即恒成立.

令，，则在上单调递增，

又，得，即，

所以，

即m的取值范围是.

22．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，且，A，B，C三点满足.

（1）求证：A，B，C三点共线；

（2）若函数的最小值为，求实数m的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）或.

【分析】（1）利用向量共线定理证明即可；

（2）数量积运算以及二次函数的单调性，即可得出.

【详解】证明：（1）∵在平面直角坐标系中，O为坐标原点，

，，且，

A，B，C三点满足.

∴，

∴.

又，有公共点A，∴A，B，C三点共线.

解：（2）∵，，，

∴

，

∴，，

∴函数

，

即

.

∵，∴.

①当，即时，当时，

，

解得或，又时，∴.

②当，即时，当时，

，解得，

又，∴，

∴综上所述，m的值为或.

【点睛】本题考查了向量与函数综合，考查了学生综合分析、转化与划归、数学运算的能力，属于较难题.