2023届四川省泸县第四中学高三上学期第三学月考试数学（理）试题（解析版）

2023届四川省泸县第四中学高三上学期第三学月考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用对数函数的定义域化简集合，再根据集合交集的定义求解即可.

【详解】由对数函数的定义域可得或，

所以或，

所以，

故选：C.

2．若是纯虚数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据复数的除法运算，复数的概念，可得复数，即可求解复数的模.

【详解】解：，因为是纯虚数，所以，则.

故选：C．

3．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是                                      

A．各月的平均最低气温都在0℃以上

B．七月的平均温差比一月的平均温差大

C．三月和十一月的平均最高气温基本相同

D．平均最高气温高于20℃的月份有5个

【答案】D

【详解】试题分析：由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上，A正确；由图可知在七月的平均温差大于，而一月的平均温差小于，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在，基本相同，C正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，所以不正确．故选D．

【解析】统计图

【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B．

4．下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：焦点在轴上的是C和D，渐近线方程为，故选C．

【解析】1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质．

5．函数在的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：函数|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，

因为，

所以排除选项；

当时，有一零点，设为，当时，为减函数，

当时，为增函数．

故选：D.

6．设为等差数列的前项和，，，则

A．-6 B．-4 C．-2 D．2

【答案】A

【详解】由已知得

解得．

故选A．

【解析】等差数列的通项公式和前项和公式．

7．二项式展开式中，有理项共有（    ）项．

A．3 B．4 C．5 D．7

【答案】D

【分析】求出展开式的通项，令的指数部分为整数即可得结果.

【详解】二项式展开式中，

通项为，其中，

的取值只需满足，则，

即有理项共有7项，

故选：D.

8．设函数，，“是偶函数”是“的图象关于原点对称”

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】“y＝f（x）的图象关于原点对称”，x∈R，可得y＝|f（x）|是偶函数．反之不成立，例如f（x）＝x2．

【详解】“y＝f（x）的图象关于原点对称”，x∈R，可得y＝|f（x）|是偶函数．

反之不成立，例如f（x）＝x2，满足y＝|f（x）|是偶函数，x∈R．

因此，“y＝|f（x）|是偶函数”是“y＝f（x）的图象关于原点对称”的必要不充分条件．

故选B．

【点睛】本题考查了函数的奇偶性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

9．某种绿茶泡茶的最佳水温为85℃，饮茶的最佳温度为60℃．在标准大气压下，水沸腾的温度为100℃．把水煮沸后，在其冷却的过程中，只需要在最佳温度对应的时间泡茶、饮茶，就能喝到一杯好茶．根据牛顿冷却定律，一个物体温度的变化速度与这一物体的温度和所在介质温度的差值成比例，物体温度与时间的函数关系式为，其中为介质温度，为物体初始温度．为了估计函数中参数的值，某试验小组在介质温度和标准大气压下，收集了一组数据，同时求出对应参数的值，如下表，

现取其平均值作为参数的估计值，假设在该试验条件下，水沸腾的时刻为0，则泡茶和饮茶的最佳时间分别是（    ）（结果精确到个位数）

参考数据：，，．A．3min，9min B．3min，8min

C．2min，8min D．2min，9min

【答案】A

【分析】根据给定条件，求出参数的估计值，再利用给定模型分别求出泡茶和饮茶的最佳时间作答.

【详解】依题意，，而，，

则，

当时，，有，，

当时，，有，，

所以泡茶和饮茶的最佳时间分别是3min，9min.

故选：A

10．中已知且，则（   ）

A．-2 B．2 C．-1 D．1

【答案】B

【分析】根据进行化简整理即可求得的值.

【详解】由题意得，则有

整理得：，

故选：B

11．某校高二年级学生举行中国象棋比赛，经过初赛，最后确定甲、乙、丙三位同学进入决赛．决赛规则如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，最后的胜者获得冠军，比赛结束．若经抽签，已知第一场甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．则（　　）

A．甲获得冠军的概率最大

B．甲与乙获得冠军的概率都比丙大

C．丙获得冠军的概率最大

D．甲、乙、丙每人获得冠军的概率都一样大

【答案】C

【分析】根据比赛进行的场次进行分类讨论，结合相互独立事件概率计算公式，求得甲、乙、丙三人获得冠军的概率，从而确定正确答案.

【详解】根据决赛规则，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．

（1）甲获得冠军有两种情况：

①共比赛四场结束，甲四连胜夺冠，概率为．

②共比赛五场结束，并且甲获得冠军．则甲的胜、负、轮空结果共有四种情况：胜胜胜负胜，胜胜负空胜，胜负空胜胜，负空胜胜胜，概率分别为，，，．

因此，甲最终获得冠军的概率为．

（2）乙获得冠军，与（1）同理，概率也为．

（3）丙获得冠军，概率为，

∴　丙获得冠军的概率最大.

故选：C

12．已知，则x､y､z的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】作商，由对数的性质、运算及基本不等式可比较出，再由，可比较出与的大小即可得出的大小关系.

【详解】，

，

即，

，而，

，又，

，

综上，，

故选：D

二、填空题

13．假定生男孩和生女孩是等可能的，某家庭有两个小孩，如果已经知道这个家庭有女孩，则这个两个小孩都是女孩的概率是__________.

【答案】

【分析】首先列出样本空间，再判断题目为条件概率，然后根据条件概率的公式求解概率即可.

【详解】观察两个小孩的性别，用表示男孩，表示女孩，则样本空间 ，且所有样本点是等可能的.用表示事件“选择的家庭中有女孩”，表示事件“选择的家庭中两个小孩都是女孩”，则,.

“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件发生的条件下，事件发生”的概率，记为.此时成为样本空间，事件就是积事件.根据古典概型知识可知，.

故答案为：

14．某学生在研究函数时，发现该函数的两条性质：①是奇函数；②单调性是先增后减再增.该学生继续深入研究后发现将该函数乘以一个函数后得到一个新函数，此时除具备上述两条性质之外，还具备另一条性质：③.写出一个符合条件的函数解析式__________.

【答案】（答案不唯一）

【分析】由题意可知为常函数或为偶函数，然后分别令或进行验证即可

【详解】因为为奇函数，为奇函数，

所以为常函数或为偶函数，

当时，，则，

此时，

所以 不合题意，

当时，，

因为，

所以为奇函数，

，由，得或，由，得，所以的增区间为和，减区间为，所以为先增后减再增，

因为，

所以满足题意，

故答案为：（答案不唯一）

15．陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成，以前的制作材料多为木头，现在多为塑料或铁，玩耍时可用绳子缠绕用力抽绳，使其直立旋转；或利用发条的弹力使其旋转，图中画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为______.

【答案】

【分析】根据三视图可知该陀螺模型的直观图，然后根据几何体的体积公式，简单计算，可得结果.

【详解】依题意，该陀螺模型由一个四棱锥、一个圆柱以及一个圆锥拼接而成，

如图

故所求几何体的体积

即.

故答案为：

【点睛】本题考查三视图的还原以及几何体的体积，考验空间想象能力以及对常见几何体的熟悉程度，属基础题题.

16．已知函数的部分图像如图所示，则满足的最小正整数x的值为_______．

【答案】1

【分析】先根据图像求得，再解求得最小正整数x．

【详解】解：由题意得函数f（x）的最小正周期，

解得，

所以．

又，

所以，

即，

所以，

解得．

由，得，

所以，

所以．

由，

可得，

则或，

即或．

① 由，

可得，

解得，

此时正整数x的最小值为2；

② 由，

可得，

解得，

此时正整数x的最小值为1．

综上所述，满足条件的正整数x的最小值为1．

故答案为：1．

三、解答题

17．2021年中国国际服务贸易交易会于9月2日至7日在北京举行，会务组为了解我国公民对服务贸易交易会的了解程度，在网上进行了问卷调查，并随机抽取100份问卷对其分数（分数均在内）进行统计，制成如下频率分布表．

(1)求，并估计这100份问卷的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(2)若从这100份问卷中分数在及的问卷中按分层抽样的方法随机抽取6份，再从这6份问卷中抽取3份，设这3份问卷中分数在的份数为，求的分布列与数学期望．

【答案】(1)，平均分数为

(2)分布列见解析，数学期望为2

【分析】（1）由频率分布表易求得，再根据平均数的计算公式即可求出平均分数；

（2）先求出这100份问卷中分数在及的份数，再根据分层抽样的知识求出这6份问卷中分数在及的份数，即可写出的所有可能取值及其对应的概率，进而可求出的分布列与数学期望．

【详解】（1）由题知，解得．

所求平均分数为．

（2）由题知这100份问卷中分数在的份数为5，在的份数为10，

所以根据分层抽样的知识得抽取的6份问卷中，分数在的份数为2，份数在的份数为4，

所以的所有可能取值为1，2，3，

，，，

所以的分布列为

所以．

18．如图，在直角中，PO⊥OA，PO=2OA，将绕边PO旋转到的位置，使，得到圆锥的一部分，点C为的中点．

(1)求证：；

(2)设直线PC与平面PAB所成的角为，求．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）本题首先易证PO⊥平面AOB，可得PO⊥AB，再证AB⊥平面POC；

（2）根据线面夹角可知，利用空间向量计算处理．

【详解】（1）证明：由题意知：，

∴PO⊥平面AOB，

又∵平面AOB，所以PO⊥AB．

又点C为的中点，所以OC⊥AB，

，

所以AB⊥平面POC，

又∵平面POC，所以PC⊥AB．

（2）以O为原点，，，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，

所以，，．

设平面PAB的法向量为，则取，则

可得平面PAB的一个法向量为，

所以．

19．已知数列的前项和为，且对任意的有.

(1)证明：数列为等比数列；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）令可求得的值，令，由可得，两式作差可得出，结合等比数列的定义可证得结论成立；

（2）求得，利用分组求和法可求得.

【详解】（1）证明：当时，，则；.

当时，由可得.

两式相减得，即，.

因为，则，，以此类推可知，对任意的，，

所以，数列构成首项为，公比为的等比数列.

（2）解：由（1），故，则.

所以，

.

20．已知点，，点A满足，点A的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)若直线与双曲线：交于M，N两点，且（O为坐标原点），求点A到直线l距离的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据已知等式，结合平面两点距离公式进行求解即可；

（2）将直线方程与双曲线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系、根的判别式，结合圆的几何性质进行求解即可.

【详解】（1）设，

因为，

所以，

平方化简，得；

（2）直线与双曲线：的方程联立，得

，

设，

所以有且，

所以，，

因为，

所以，

化简，得，

把，代入，得

，化简，得

，因为且，

所以有且，解得，

圆的圆心为，半径为，

圆心到直线的距离为，

所以点A到直线距离的最大值为，最小值为，

所以点A到直线距离的取值范围为，

【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系，结合直角的性质得到等式是解题的关键.

21．已知函数

(1)若，求的极小值

(2)讨论函数的单调性；

(3)当时，证明：有且只有2个零点.

【答案】(1)

(2)答案见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）利用导数求得的极小值.

（2）先求得，然后通过构造函数法，结合导数以及对进行分类讨论，从而求得函数的单调区间.

（3）结合（2）的结论以及零点存在性定理证得结论成立.

【详解】（1）当时，，的定义域为，

，

所以在区间递减；在区间递增.

所以当时，取得极小值.

（2）的定义域为，

.

令，

当时，恒成立，所以即在上递增.

当时，在区间即递减；

在区间即递增.

（3）当时，，，

由（2）知，在上递增，，

所以存在使得，即.

在区间递减；在区间递增.

所以当时，取得极小值也即是最小值为，

由于，所以.

，

，

根据零点存在性定理可知在区间和各有个零点，

所以有个零点.

【点睛】本题第一问是简单的利用导数求函数的极值，第二问和第三问是连贯的两问，合起来可以理解为利用多次求导来研究函数的零点.即当一次求导无法求得函数的零点时，可考虑利用多次求导来解决.

22．在直角坐标系中，点是曲线：上的动点，满足的点的轨迹是.

（1）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线，的极坐标方程；

（2）直线的参数方程是(为参数)，点的直角坐标是，若直线与曲线交于，两点，当线段，，成等比数列时，求的值.

【答案】（1）：，：；（2）.

【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．

（2）利用（1）的结论，利用一元二次方程根和系数关系式的应用和等比数列的等比中项的应用求出结果．

【详解】解：（1）点是曲线：上的动点，

根据，转换为极坐标方程为，

由于点满足的点的轨迹是.

所以，则的极坐标方程为.

（2）直线的参数方程是(为参数)，点的直角坐标是，

若直线与曲线交于，两点，

的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为，即，

得到，

化简得：，

所以，，

当线段，，成等比数列时，

则，

整理得：，

故，

整理得.

23．已知，，，且.

(1)求证：；

(2)若不等式对一切实数，，恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2).

【分析】（1）对应用基本不等式可证；

（2）由（1）只要解不等式，根据绝对值的定义分类讨论求解．

【详解】（1）

，

所以，当且仅当时等号成立

（2）由（1）可知对一切实数，，恒成立，

等价于，

令，

当时，，

当时，，舍去，

当时，，即或.

综上所述，取值范围为.