2023届江苏省宿迁市沭阳县建陵高级中学高三上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2023届江苏省宿迁市沭阳县建陵高级中学高三上学期期中数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023届江苏省宿迁市沭阳县建陵高级中学高三上学期期中数学试题

一、单选题
1．若集合，且，则集合B不可能是（    ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】由，得 ，再逐个判断即可求解
【详解】因为，所以 ，因为，
A中2不是集合，，，不包含于.
故选：C
2．若复数z满足（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为，则（    ）
A．z的实部是 B．的虚部是
C．复数在复平面内对应的点在第四象限 D．
【答案】A
【分析】由复数相等及除法运算求复数并写出其共轭复数，结合各选项描述判断正误.
【详解】由题设，，.
对A，z的实部是，故A正确；
对B，的虚部是，故B错误；
对C，复数在复平面内对应的点在第一象限，故C错误；
对D，，故D错误；
故选：A
3．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求命题“”为真命题的等价条件，再结合充分不必要的定义逐项判断即可.
【详解】因为为真命题，所以或，
对A，是命题“”为真命题的充分不必要条件，A对，
对B，是命题“”为真命题的充要条件，B错，
对C，是命题“”为真命题的必要不充分条件，C错，
对D，是命题“”为真命题的必要不充分条件，D错，
故选：A
4．设向量与的夹角为θ，定义，已知，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据数量积求模长的公式计算，可得，计算出，再代入，利用数量积求模长公式计算即可.
【详解】，，，
得， ，
，
.
故选：B
5．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所以论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”，现有高阶等差数列，其前6项分别为1，5，11，21，37，61，……则该数列的第8项为（    ）
A．99 B．131 C．139 D．141
【答案】D
【分析】根据题中所给高阶等差数列定义，找出其一般规律即可求解.
【详解】设该高阶等差数列的第8项为，根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图：

根据规律补全：

由图可得，则.
故选：D
6．在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，点满足，则点到点的距离的最大值为（    ）
A．3 B． C．5 D．4
【答案】D
【分析】由题意可知点在以线段为直径的圆上，设的中点坐标为，有，然后根据三角形的性质求解即可
【详解】由题意可知点在以线段为直径的圆上，
设的中点坐标为，有，可得，
由，，
有.
当且仅当，，三点共线时取等号.
故选：D
7．如图，曲线为函数的图象，甲粒子沿曲线从点向目的地点运动，乙粒子沿曲线从点向目的地点运动.两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为，乙粒子的坐标为，若记，则下列说法中正确的是（    ）

A．在区间上是增函数
B．恰有个零点
C．的最小值为
D．的图象关于点中心对称
【答案】B
【分析】由题意得到逐项判断.
【详解】解：由题意得：，
所以，
由得，
令，则，因为在上递减，在上递增，
所以在区间上是减函数，故A错误；
令，得或，解得或，故B正确；
因为，所以的最小值为，故C错误；
因为，关于对称，是轴对称图形，
所以不可能关于点中心对称，故D错误；
故选：B
8．设，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数并利用导函数判断函数的单调性，进一步得到，根据基本不等式化简求出c的范围以及b的范围，进一步求出答案.
【详解】设，∴，
∴在的范围内单调递增，，
∴
由此可得，
设，∴，
∴在的范围内单调递减，，
∴

由此可得，，
显然，



所以，
综合可得.
故选：D.

二、多选题
9．设正实数，满足，则（   ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】根据基本不等式，结合对数的运算性质、对钩函数的单调性、指数函数的单调性进行判断即可.
【详解】因为正实数，满足，所以，当且仅当时，取等号.
A：因为，所以本选项不正确；
B：设，函数在时，单调递减，因此当时，函数有最小值，最小值为，因此有，即，所以本选项正确；
C：因为正实数，满足，
所以，当且仅当时，取等号，即时，取等号，所以本选项不正确；
D：因为正实数，满足，所以，因此本选项正确.
故选：BD
10．已知函数的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则（    ）
A．关于点成中心对称 B．为偶函数
C． D．是周期为4的周期函数
【答案】ABCD
【分析】由题意可推导是奇函数，是偶函数，进而可得关于中心对称，关于轴对称，再根据对称函数的性质逐个运算辨析即可.
【详解】由题意，，令则，故是奇函数.又，同理是偶函数.
对A，因为是奇函数，故关于中心对称，故关于中心对称，故A正确；
对B，由A，关于中心对称，又是偶函数，故关于轴对称.
所以，故为偶函数，故B正确；
对C，是奇函数，故，又是偶函数，故，故C正确；
对D，因为是奇函数，是偶函数，故，所以，故是周期为4的周期函数，故D正确；
故答案为：ABCD
11．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，已知，为双曲线的焦点，O为双曲线的对称中心，P是等轴双曲线上异于顶点的一点，下列说法一定正确的有（    ）
A．等轴双曲线的离心率为
B．方程为的曲线是等轴双曲线
C．
D．双曲线在点P处的切线交渐近线于E，F两点，则
【答案】ABD
【分析】利用双曲线的离心率公式可判断A选项；作变换可判断B选项；设等轴双曲线的方程为，根据两点间的距离公式可判断C选项，再利用导数的几何意义分析双曲线的切线公式，再联立与渐近线的方程可判断D选项.
【详解】对于A选项，对于等轴双曲线，，则，则，A对；
对于B选项，作变换，由可得，
故方程为的曲线是等轴双曲线，B对；
对于C选项，不妨设等轴双曲线的方程为，，则，
则


，C错；
对于D选项，先求双曲线上一点的切线方程：
不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）.
由，得，所以，
则在的切线斜率，
所以在点处的切线方程为：
又有，化简即可得切线方程为： .
又双曲线的渐近线方程是，联立：，解得：，
联立：，解得：，由中点性质可得，
可知是的中点，D对；
故选：ABD
12．数列满足，，则下列说法正确的是（    ）
A．若且，数列单调递减
B．若存在无数个自然数，使得，则
C．当或时，的最小值不存在
D．当时，
【答案】ACD
【分析】A选项，根据求出，再由求出，从而得到且，数列单调递减，A正确；
B选项，可举出反例；
C选项，由或时，可证得数列单调递减，所以最小值不存在；
D选项，对变形为，采用裂项相消进行求和，结合数列的项的正负性和单调性求出其取值范围.
【详解】A选项，，
令，解得：，
令，解得：
综上：且，
所以且，数列单调递减，A正确；
B选项，当时，，
当时，，
所以存在无数个自然数，使得，
故B错误；
C选项，当或时，，
所以数列单调递减，所以最小值不存在，C正确；
D选项，，
所以，
所以，
故
，
因为，，单调递减，
所以当时，，，
所以，
又因为单调递减，所以当时，取得最大值，
最大值为，
综上：，D正确.
故选：ACD
【点睛】由数列通项公式研究数列的性质，要对数列的通项公式进行变形，转化为熟悉的知识点进行处理，本题D选项，要将变形为，采用裂项相消进行求和，结合数列的项的正负性和单调性求出其取值范围.

三、填空题
13．在数列中，，，则______．
【答案】
【分析】根据递推公式，逐个求解数列的每一项，总结其规律，进而求和，可得答案.
【详解】解：根据题意，由，，得，
又，得，；，得，，
所以中所有的奇数项均为，所有的偶数项均为，
所以．
故答案为：．
14．若函数的最大值为，则的取值范围为_______．
【答案】
【分析】先对函数化简变形，则由题意可得，从而可求出的取值范围.
【详解】


（其中，），
所以当时，取得最大值，即，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以，即的取值范围为，
故答案为：
15．已知点P、Q均在第一象限，且点P在曲线上，点Q在曲线，则的最小值为______．
【答案】4
【分析】把曲线与曲线分别化为：和，知此两曲线关于直线对称，则的最小值转化为曲线上的Q点到直线的距离的最小值的两倍即可.
【详解】，，同理由得：.
与互为反函数，两函数图象关于直线对称.
的最小值为曲线上的Q点到直线的距离的最小值的两倍，设，则，点Q到直线的距离为：
，当且仅当时等号成立，的最小值为：.
故答案为：4
16．舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处的铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动．当点D在滑槽AB内做往复移动时，带动点N绕O转动，点M也随之而运动．记点N的运动轨迹为，点M的运动轨迹为．若，，过上的点P向作切线，则切线长的最大值为______．

【答案】
【分析】先建立平面直角坐标系，分别求得、的方程，再利用切线长定理求得切线长的表达式，进而求得该切线长的最大值.
【详解】以滑槽AB所在的直线为x轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示．

因为，所以点N的运动轨迹是以O为圆心，半径为1的圆，
其方程为．
设点，，，
依题意，，且，
所以，且，
即，且．
由于t不恒等于0，于是，故，，
代入，可得，
故曲线的方程为．设上的点，
则，
则切线长为，故切线长的最大值为．
故答案为：

四、解答题
17．在①，②，③这三个条件中选两个能解决问题的条件，补充在下面的问题中，并解决该问题.
在中，、、分别为内角、、的对边，且满足.
（1）求的大小；
（2）已知存在，且_________，_________，求的面积.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【分析】（1）可根据正弦定理边角互化得出，即，然后通过余弦定理得出，最后根据即可得出结果；
（2）若选①和②：可以通过得出，从而得出，不成立；若选②和③，可通过余弦定理求出以及，根据即可得出结果；若选①和③，首先可通过正弦定理求出，然后求出，最后根据即可得出结果.
【详解】（1）因为，
所以，，
则，
因为，所以.
（2）若选①和②：
因为，，
所以，不成立.
若选②和③：
因为，，，
所以，即，，，
则，的面积.
若选①和③：
因为，，，
所以，即，
则，，
的面积.
【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形相关公式的应用，考查正弦定理边角互化，考查解三角形面积公式的应用，要注意取①和②时不成立，考查两角和的正弦公式的应用，是中档题.
18．已知函数（a是常数）．
(1)若为奇函数，求实数a，并求的值域；
(2)设函数，若对任意，，，以，，为边长总可以构成三角形，求实数a的取值范围．
【答案】(1)，值域为
(2)

【分析】（1）根据奇函数满足可得a，再结合指数函数的性质即可得解；
（2）转化条件为，令，按照、、、分类，结合二次函数的性质即可得解.
【详解】（1）由题意，，解得.
故，由可得，所以，故函数的值域为；
（2）由题意，当时，，
，
令，则，其对称轴为，
①当，即时，此时在单调递减，
所以即，
解得或，
此时；
②当，即时，
此时在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，无解；
③当，即时，
此时在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，无解；
④当，即时，此时在单调递增，
所以，即，
解得或，此时；
综上所述，实数的取值范围为.
19．已知数列满足，，．
(1)证明：数列为等比数列，求的通项公式．
(2)若数列的前项和为，且恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析，
(2)

【分析】（1）将两边同时加，结合等比数列的定义证明可得，再构造数列，求解首项分析即可；
（2）根据等比数列的前项公式可得，参变分离可得，再根据的单调性求解最大值即可.
【详解】（1）由可得，且，
故是以2为首项，3为公比的等比数列，故，
所以，又，
故，即.
（2）由（1）为等比数列，故，
故即恒成立，求的最大值即可.
设，则，
令有，故当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小.
又，故为的最大值，为，
所以，.
20．已知点是抛物线C：上一点，A，B是抛物线C上异于P的两点，且直线PA，PB的倾斜角互补．
(1)证明：直线AB的斜率为定值；
(2)当△PAB为直角三角形时，求△PAB的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)，或者

【分析】（1）将点是代入抛物线方程得，设直线方程为，与抛物线方程联立得，根据求出，用代替可得，化简可得答案；
（2）分、讨论，根据求出，，利用直线方程与抛物线方程联立，求出代入直线方程得可得点坐标，直线的方程与抛物线方程联立求出代入直线方程得点坐标，求出、，根据可得答案；
若，则，由求出，直线的方程与抛物线方程联立得，解得代入直线方程得点坐标，直线的方程与抛物线方程联立解得代入直线方程得点坐标，求出、，由可得答案.
【详解】（1）将点是代入抛物线方程，得，所以，
由题意，PA、PB斜率一定存在且不为0，设直线的方程为，
与抛物线方程联立得，
所以，即，用代替可得，
所以，
所以直线AB的斜率为定值；
（2）若，

如上图，因为，所以，，
直线的方程为，与抛物线方程联立得，
解得或，即代入直线方程得，可得，
所以直线的方程为，与抛物线方程联立得，
解得或，即代入直线方程得，可得，
所以，，
所以；
若，

如上图，因为，所以，，
直线的方程为，与抛物线方程联立得，
解得或，即代入直线方程得，可得，
所以直线的方程为，与抛物线方程联立得，
解得或，即代入直线方程得，可得，
所以，，
所以；
若，如下图，

则，因为，所以，或，
因为与 同解，
不妨令，可得直线的方程为，与抛物线方程联立得，
解得或，即代入直线方程得，可得，
所以直线的方程为，与抛物线方程联立得，
解得或，即代入直线方程得，可得，
所以，，
所以；
综上所述，，或者.
21．在平面直角坐标系中，已知椭圆C：()过点，，分别为椭圆C的左､右焦点且.
（1）求椭圆C的方程；
（2）动直线l：()交椭圆C于A，B两点，交轴于点M.点N是M关于O的对称点，的半径为.设D为的中点，，与分别相切于点E，F，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）先设，，得到向量，，利用题中条件和向量数量积坐标运算式，求得，结合点在椭圆上，得到点的坐标满足椭圆方程，根据椭圆中的关系求得，，从而求得椭圆的方程；
（2）先设，，联立方程组，根据韦达定理以及判别式的符号，确定坐标间的关系和参数的范围，根据题意，列出式子，利用导数研究单调性求得最值.
【详解】（1）设，，
则，.∵，∴
又在椭圆上，故，又，解得，，
故所求椭圆方程为.
（2）设，，

联立方程得，
由，得(*)且，因此
所以，又，所以，
整理得：，因为，
所以.
令，，故，
所以.
令，所以
当时，，从而在上单调递增，
因此，等号当且仅当时成立，此时，所以，
由(*)得且，故，
设，则，所以的最小值为.
从而的最小值为，此时直线的斜率为0.
综上所述：当，时，取得最小值为.
【点睛】思路点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的综合题，解题思路如下：
（1）根据题意，设出焦点坐标，利用向量数量积的坐标运算式，结合题中条件，求得参数的值，利用点在椭圆上，列出等式求得结果；
（2）联立直线和椭圆方程，判别式大于零确定其有两个交点，韦达定理得到坐标的关系，根据题意，列出式子，利用导数求得最值，角的大小利用三角函数值来衡量.
22．已知函数．
(1)试判断函数零点个数；
(2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)个
(2)

【分析】（1）由为奇函数，得是一个零点，利用导数分析函数在上的单调性，结合零点存在定理求出函数在上的零点个数，再结合奇函数的性质可得出结论；
（2）不等式化为，再由（1）中的结论讨论零、正、负，分离参数，构造新函数，转化为与新函数的最值关系，通过求导求出新函数的最值，即可求出结论.
【详解】（1）解：函数的定义域为，，
所以，函数为奇函数，且，
下面确定函数在上的零点个数，
当，记，
记，，在上递增，
又，在上递增，
又，，
所以存在唯一实数，使得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
，，
又，所以函数在上有且只有一个零点，故函数在上有且只有一个零点，
由奇函数的性质可知，函数在上只有一个零点，
所以函数有三个零点.
（2）解：由，可得，
由（1）知：
①当时，，，
此时，对于任意，恒成立.
②当时，，
由，得，
令，下面研究的最小值，
，
令，则，令，
对任意的成立，
函数在上为增函数，
而
，
又，存在唯一实数，使得，
当时，；当时，.
函数在上递减，在递增，
，
，函数在上递减，
，.
③当时，，
由，得，
由②可知，
所以函数在上为减函数，
当时，，
，综上，.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.