吉林省长春市宽城区2022年中考数学二检试卷(含答案)

这是一份吉林省长春市宽城区2022年中考数学二检试卷(含答案)，共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

吉林省长春市宽城区2022年中考数学二检试卷(解析版)
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．如图，在数轴上，点A、B表示的数互为相反数，若点B表示的数到原点的距离为3，则点A表示的数为（　　）

A．﹣6 B．﹣3 C．0 D．3
2．今年以来，随着稳增长政策发力、支持实体经济力度加大，国民经济持续恢复，国际收支继续改善，2月末外汇储备余额约32138亿美元．将32138亿用科学记数法表示为（　　）
A．3.2138×104 B．3.2138×108
C．3.2138×12 D．3.2138×1013
3．如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
4．已知x＝1是不等式3x﹣n＜0的一个解，则n的值可以是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，在离铁塔200米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（　　）

A．（1.5+200sinα）米 B．（1.5+200cosα）米
C．（1.5+200tanα）米 D．（1.5+）米
6．如图，边长为2的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕原点O旋转180°，则旋转后顶点D的坐标为（　　）

A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，﹣3） C．（3，﹣2） D．（2，﹣3）
7．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（　　）

A．DB＝DE B．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC＝∠C
8．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边BC与x轴平行，A和B两点的纵坐标分别为4和2，函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过A、B两点．若菱形ABCD的面积为4，则k的值为（　　）

A．4 B．8 C．16 D．8
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．分解因式：9a2﹣b2＝　 　．
10．若关于x的一元二次方程x2+6x﹣c＝0有两个相等的实数根，则c的值为 　 　．
11．将一把直尺和一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示的位置摆放．若∠CDE＝40°，则∠BAF的大小为 　 　度．

12．如图，树AB在路灯O的照射下形成树影AC，若路灯高OP＝5米，点C、A、P在同一条直线上，点A恰为CP的中点，则树AB的高为 　 　米．

13．如图，在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点E，连结OC，AD、BD，若AD＝ED，∠B＝20°，则∠BOC的大小为 　 　度．

14．在平面直角坐标系中，直线y＝m﹣1与函数y＝x2﹣2x﹣1（x≥0）的图象有两个公共点．若m为无理数，则m的值可以为 　 　．（写出一个即可）
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：（2x+3）2﹣（2x+5）（2x﹣5），其中x＝．
16．（6分）某数学小组在同一条件下做抛掷一枚质量分布均匀的硬币试验，试验数据如表：
抛掷次数
50
100
200
300
500
800
1000
1500
“正面向上”的频数
26
53
94
142
242
395
498
753
“正面向上”的频率
0.520
0.530
0.470
0.473
0.484
0.494
0.498
0.502
（1）根据如表估计抛掷该硬币“正面向上”的概率约为 　 　（保留两位小数）．
（2）小明在同一条件下抛掷一枚质量分布均匀的硬币两次，请用画树状图（或列表）的方法，求两次抛掷的硬币都“正面向上”的概率．
17．（6分）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少40元，用900元购买足球的数量是用800元购买篮球数量的1.5倍，求足球的单价．
18．（7分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．

（1）在图①中画一个△ABC，使其是轴对称图形且为锐角三角形．
（2）在图②中画一个四边形ADBE，使其是轴对称图形但不是中心对称图形．
（3）在图③中画一个四边形AMBN，使其是中心对称图形但不是轴对称图形，且四条边长均为无理数．

19．（7分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CM，过点A作CM的垂线，垂足为点D，交BC的延长线于点E．
（1）求证：AB＝AE．
（2）若⊙O的半径为3，∠E＝55°，求的长．（结果保留π）

20．（7分）国家“护苗系统工程”确定每年5月20日为中国学生营养日，为了解甲、乙两校学生对营养知识的掌握情况，对这两所学校的学生进行营养知识测试，并从这两所学校中各随机抽取30名学生的成绩（百分制）进行整理和描述，下面给出了部分信息：
a．甲、乙两校30名学生成绩的频数分布统计表如下：
学校
成绩x（分）
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
甲
2
5
7
10
6
乙
1
6
6
12
5
b．甲校30名学生的成绩在80≤x＜90这一组的数据是：
82，83，85，86，86，87，88，88，89，89．
c．甲、乙两校各抽取的30名学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
学校
平均数
中位数
众数
甲校
82
m
90
乙校
82
85
88
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表中m的值为 　 　．
（2）甲校300名学生参加此次测试，并决定年级排名前100名的学生可以获得“营养知识标兵”荣誉称号，预估甲校学生至少要达到 　 　分可以获得此荣誉称号．
（3）若规定成绩80分及以上为优秀，乙校共有学生300名，请估计该校学生中成绩优秀的学生人数．
21．（8分）在一条笔直的道路上依次有甲、乙、丙三地，小刚与小亮在这条道路上练习跑步，小刚从甲地匀速跑步到丙地，同时小亮从乙地匀速跑步到甲地，在甲地休息2分钟后，以另一速度匀速跑步到丙地，小刚、小亮距甲地的路程y（米）与小刚跑步的时间x（分）之间的函数关系如图所示．
（1）a的值为 　 　，乙地与丙地相距 　 　米．
（2）求小亮从甲地到丙地y与x之间的函数关系式．
（3）直接写出小刚到达丙地前两人距乙地的路程相等时x的值．

22．（9分）问题引入：如图①，AB∥CD，AB＞CD，∠ABD＝90°，E是线段AC的中点．连结DE并延长交AB于点F，连结BE．判断BE与DE之间的数量关系，并说明理由．
问题延伸：如图②，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，点G在BC上，P是线段DF的中点，连结PC、PG．
（1）判断PC与PG之间的数量关系，并说明理由．
（2）连结CF，若AB＝3，PC＝，则CF的长为 　 　．

23．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E为边AD的中点，点P从点B出发沿射线BE以每秒2个单位的速度运动，Q为线段BP的中点，过点P作BE的垂线，过点Q作BC的平行线，两线交于点M．设点P运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）直接写出线段QM的长．（用含t的代数式表示）
（2）当点M落在边CD上时，求t的值．
（3）当△PQM与矩形ABCD重合部分图形为四边形时，求t的取值范围．
（4）当点Q与点M到矩形ABCD的一个内角的角平分线距离相等时，直接写出t的值．

24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为A（﹣2，﹣2）、B（1，1）．抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）交y轴于点C，顶点P在线段AB上运动，当顶点P与点A重合时，点C的坐标为（0，0），设点P的横坐标为m．
（1）求a的值．
（2）用含m的代数式表示点C的纵坐标，并求当m为何值时，点C的纵坐标最小，写出最小值．
（3）当点C在y轴的负半轴上且点C的纵坐标随m的增大而增大时，求m的取值范围．
（4）过点P作x轴的垂线交抛物线y＝﹣2x2+于点Q，将线段PQ绕点P顺时针旋转90°得到线段PQ'，连结QQ'．当△PQQ'的边与坐标轴有四个公共点时，直接写出m的取值范围．


参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．如图，在数轴上，点A、B表示的数互为相反数，若点B表示的数到原点的距离为3，则点A表示的数为（　　）

A．﹣6 B．﹣3 C．0 D．3
【分析】根据相反数的定义即可得出答案．
【解答】解：∵点A、B表示的数互为相反数，若点B表示的数为3，
∴点A表示的数为﹣3，
故选：B．
【点评】本题考查了数轴，相反数，掌握在数轴上，互为相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离相等是解题的关键．
2．今年以来，随着稳增长政策发力、支持实体经济力度加大，国民经济持续恢复，国际收支继续改善，2月末外汇储备余额约32138亿美元．将32138亿用科学记数法表示为（　　）
A．3.2138×104 B．3.2138×108
C．3.2138×12 D．3.2138×1013
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：32138亿＝3213800000000＝3.2138×1012．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据简单组合体的三视图的画法，画出其俯视图即可．
【解答】解：这个组合体的俯视图如下：

故选：A．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确判断的前提．
4．已知x＝1是不等式3x﹣n＜0的一个解，则n的值可以是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】将x＝﹣1代入不等式求出n的取值范围即可得出答案．
【解答】解：∵x＝1是不等式3x﹣n＜0的一个解，
∴3﹣n＜0，
∴n＞3，
∴n的值可以是4．
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
5．如图，在离铁塔200米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（　　）

A．（1.5+200sinα）米 B．（1.5+200cosα）米
C．（1.5+200tanα）米 D．（1.5+）米
【分析】过点A作AE⊥BC，垂足为E，则CE＝AD＝1.5米，AE＝CD＝200米，然后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，进行计算即可解答．
【解答】解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，

则CE＝AD＝1.5米，AE＝CD＝200米，
在Rt△ABE中，∠BAE＝α，
∴BE＝AE•tanα＝200tanα（米），
∴BC＝BE+EC＝（1.5+200tanα）米，
∴铁塔的高BC为（1.5+200tanα）米，
故选：C．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
6．如图，边长为2的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕原点O旋转180°，则旋转后顶点D的坐标为（　　）

A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，﹣3） C．（3，﹣2） D．（2，﹣3）
【分析】先利用正多边形的性质可得AF＝AB＝BC＝CD＝2，∠BAF＝∠BCD＝120°，从而可得∠OAF＝60°，再利用解直角三角形可得OA长，进而可得OB长，连接BD，过点C作CH⊥BD于点H，则∠BCH＝60°，BD＝2BH，再利用解直角三角形可得BH长、BD长，即可得点D的坐标，最后利用旋转的特征即可得到旋转后点D的坐标．
【解答】解：∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴AF＝AB＝BC＝CD＝2，∠BAF＝∠BCD＝120°，
∴∠OAF＝180°﹣120°＝60°，
在Rt△AOF中，OA＝AF•cos60°＝2×＝1，
∴OB＝OA+AB＝1+2＝3，
如图，连接BD，过点C作CH⊥BD于点H，则∠BCH＝60°，BD＝2BH，

在Rt△BCH中，BH＝BC•sin60°＝2×＝，
∴BD＝，
∴点D（3，2），
∴该图形绕原点O旋转180°后点D的坐标为（﹣3，﹣2）．
故选：A．
【点评】本题主要考查正多边形与解直角三角形，结合已知条件构造合适的辅助线是解题关键．
7．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（　　）

A．DB＝DE B．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC＝∠C
【分析】证明△ADE≌△ADB即可判断A，B正确，再根据同角的补角相等，证明∠EDC＝∠BAC即可．
【解答】解：由作图可知，∠DAE＝∠DAB，∠DEA＝∠B＝90°，
∵AD＝AD，
∴△ADE≌△ADB（AAS），
∴DB＝DE，AB＝AE，
∵∠AED+∠B＝180°
∴∠BAC+∠BDE＝180°，
∵∠EDC+∠BDE＝180°，
∴∠EDC＝∠BAC，
故A，B，C正确，
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边BC与x轴平行，A和B两点的纵坐标分别为4和2，函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过A、B两点．若菱形ABCD的面积为4，则k的值为（　　）

A．4 B．8 C．16 D．8
【分析】由菱形ABCD的边BC与x轴平行，及A和B两点的纵坐标分别为4和2，可知菱形ABCD中BC边上的高为2，根据菱形的面积公式可得BC的长，根据反比例函数解析式表示点A和B的坐标，由两点的距离公式可得结论．
【解答】解：由题意得：菱形ABCD中BC边上的高为4﹣2＝2，
∵菱形ABCD的面积为4，
∴2BC＝4，
∴BC＝2，
∵A，B两点在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象，且纵坐标分别为4，2，
∴A（，4），B（，2），
∵AB＝BC＝2，
∴（﹣）2+（4﹣2）2＝（2）2，
解得：k＝16．
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公式是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．分解因式：9a2﹣b2＝　（3a+b）（3a﹣b）　．
【分析】运用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：9a2﹣b2＝（3a）2﹣b2＝（3a+b）（3a﹣b），
故答案为：（3a+b）（3a﹣b）．
【点评】本题考查了运用公式法因式分解．熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的关键．
10．若关于x的一元二次方程x2+6x﹣c＝0有两个相等的实数根，则c的值为 　﹣9　．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝62+4c＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+6x﹣c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝62+4c＝0，
解得c＝﹣9，
故答案为：﹣9．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
11．将一把直尺和一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示的位置摆放．若∠CDE＝40°，则∠BAF的大小为 　10　度．

【分析】由DE∥AF得∠AFD＝∠CDE＝40°，再根据三角形的外角性质可得答案．
【解答】解：由题意知DE∥AF，
∴∠AFD＝∠CDE＝40°，
∵∠B＝30°，
∴∠BAF＝∠AFD﹣∠B＝40°﹣30°＝10°，
故答案为：10．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等与三角形外角的性质．
12．如图，树AB在路灯O的照射下形成树影AC，若路灯高OP＝5米，点C、A、P在同一条直线上，点A恰为CP的中点，则树AB的高为 　2.5　米．

【分析】证明△CAB∽△CPO，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案．
【解答】解：由题意得：BA∥OP，
∴△CAB∽△CPO，
∴＝，
∵点A为CP的中点，OP＝5米，
∴AB＝2.5米，
故答案为：2.5．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，证明△CAB∽△CPO是解题的关键．
13．如图，在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点E，连结OC，AD、BD，若AD＝ED，∠B＝20°，则∠BOC的大小为 　100　度．

【分析】先求出∠CDB，根据圆周角定理得出∠CDB＝∠COB，求出∠COB＝2∠CDB，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝20°，
∴∠A＝70°，
∵AD＝ED，
∴∠AED＝70°，
∴∠ADE＝40°，
∴∠BDC＝90°﹣40°＝50°，
∴∠COB＝2∠BDC＝100°，
故答案为：100．
【点评】本题考查了三角形外角性质，圆周角定理等知识点，能熟记一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解此题的关键．
14．在平面直角坐标系中，直线y＝m﹣1与函数y＝x2﹣2x﹣1（x≥0）的图象有两个公共点．若m为无理数，则m的值可以为 　﹣+1　．（写出一个即可）
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，求出抛物线顶点坐标，将x＝0代入解析式求出y的值，从而可得m﹣1的取值范围，进而求解．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣2），
将x＝0代入y＝x2﹣2x﹣1得y＝﹣1，
∴当﹣2＜m﹣1≤﹣1时，图象与直线y＝m﹣1有两个公共点，
∴﹣1＜m≤0，
∴m的值可以是﹣+1，
故答案为：﹣+1．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：（2x+3）2﹣（2x+5）（2x﹣5），其中x＝．
【分析】先用完全平方、平方差公式展开，再合并同类项，化简后将x的值代入即可．
【解答】解：原式＝4x2+12x+9﹣（4x2﹣25）
＝4x2+12x+9﹣4x2+25
＝12x+34，
当x＝﹣时，
原式＝12×（﹣）+34
＝﹣4+34
＝30．
【点评】本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握完全平方、平方差公式，把整式化简．
16．（6分）某数学小组在同一条件下做抛掷一枚质量分布均匀的硬币试验，试验数据如表：
抛掷次数
50
100
200
300
500
800
1000
1500
“正面向上”的频数
26
53
94
142
242
395
498
753
“正面向上”的频率
0.520
0.530
0.470
0.473
0.484
0.494
0.498
0.502
（1）根据如表估计抛掷该硬币“正面向上”的概率约为 　0.50　（保留两位小数）．
（2）小明在同一条件下抛掷一枚质量分布均匀的硬币两次，请用画树状图（或列表）的方法，求两次抛掷的硬币都“正面向上”的概率．
【分析】（1）用大量重复试验事件发生的频率的稳定值估计概率即可；
（2）列表后利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）观察表格发现：随着试验次数的增多，“正面向上”的频率逐渐稳定在常数0.50附近，
所以估计此次实验硬币“正面向上”的概率是0.50，
故答案为：0.50；
（2）画树状图如下：

共有4种等可能的结果，其中两次“正面向上”的结果有1种，
∴P（两次正面向上）＝．
【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．
17．（6分）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少40元，用900元购买足球的数量是用800元购买篮球数量的1.5倍，求足球的单价．
【分析】设足球的单价是x元，则篮球的单价是（2x﹣30）元，根据数量＝总价÷单价，结合用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设足球的单价是x元，则篮球的单价是（2x﹣40）元，
依题意得：＝1.5×，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，
答：足球的单价是60元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键找准等量关系，正确列出分式方程．
18．（7分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．

（1）在图①中画一个△ABC，使其是轴对称图形且为锐角三角形．
（2）在图②中画一个四边形ADBE，使其是轴对称图形但不是中心对称图形．
（3）在图③中画一个四边形AMBN，使其是中心对称图形但不是轴对称图形，且四条边长均为无理数．

【分析】（1）根据等腰三角形的轴对称性质和锐角三角形的性质画图即可．
（2）画一个筝形或等腰梯形即可．
（3）利用勾股定理及平行四边形的性质画图即可．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求（答案不唯一）．

（2）如图，四边形ADBE即为所求（答案不唯一）．

（3）如图，四边形AMBN即为所求（答案不唯一）．

【点评】本题考查作图、轴对称及中心对称的性质，熟练掌握平行四边形、等腰三角形的性质是解答本题的关键．
19．（7分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CM，过点A作CM的垂线，垂足为点D，交BC的延长线于点E．
（1）求证：AB＝AE．
（2）若⊙O的半径为3，∠E＝55°，求的长．（结果保留π）

【分析】（1）连接OC，AC，利用切线的性质可得∠OCD＝90°，根据垂直定义可得∠ADC＝90°，从而可得AD∥OC，然后利用平行线分线段成比例可得EC＝BC，再利用直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而可得AC是BE的垂直平分线，最后利用垂直平分线的性质即可解答；
（2）利用（1）的结论可得∠E＝∠B＝55°，然后利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠OCB＝55°，再利用三角形内角和定理求出∠BOC的度数，最后利用弧长公式进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：连接OC，AC，

∵CM与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∵AD⊥CM，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADC+∠OCD＝180°，
∴AD∥OC，
∵OA＝OB，
∴BC＝CE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC是BE的垂直平分线，
∴AE＝AB；
（2）解：∵AE＝AB，
∴∠E＝∠B＝55°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCB＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣∠B﹣∠OCB＝70°，
∴的长＝＝π，
∴的长为π．

【点评】本题考查了圆周角定理，平行线分线段成比例，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，切线的性质，弧长的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20．（7分）国家“护苗系统工程”确定每年5月20日为中国学生营养日，为了解甲、乙两校学生对营养知识的掌握情况，对这两所学校的学生进行营养知识测试，并从这两所学校中各随机抽取30名学生的成绩（百分制）进行整理和描述，下面给出了部分信息：
a．甲、乙两校30名学生成绩的频数分布统计表如下：
学校
成绩x（分）
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
甲
2
5
7
10
6
乙
1
6
6
12
5
b．甲校30名学生的成绩在80≤x＜90这一组的数据是：
82，83，85，86，86，87，88，88，89，89．
c．甲、乙两校各抽取的30名学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
学校
平均数
中位数
众数
甲校
82
m
90
乙校
82
85
88
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表中m的值为 　82.5　．
（2）甲校300名学生参加此次测试，并决定年级排名前100名的学生可以获得“营养知识标兵”荣誉称号，预估甲校学生至少要达到 　88　分可以获得此荣誉称号．
（3）若规定成绩80分及以上为优秀，乙校共有学生300名，请估计该校学生中成绩优秀的学生人数．
【分析】（1）根据中位数的计算方法进行计算即可得出答案；
（2）先计算出得奖人数占总人数之比，即可算出得奖人数占调查人数的数量，即可得出答案；
（3）用样本估计总体的方法进行计算即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意可得，甲校的中位数为m＝＝82.5．
故答案为：82.5；
（2）根据题意可得，300名同学有得奖机会的有＝，
所以成绩为＝10名同学有机会获奖，
90≤x≤100，有6人，80≤x＜90，前4名同学成绩为89，89，88，88，
所以甲校学生至少要达到88分可以获得此荣誉称号．
故答案为：88；
（3）根据题意可得，
＝170（人）．
答：该校学生中成绩优秀的学生人数为170人．
【点评】本题主要考查了中位数，频数（率）分布表，用样本估计总体，熟练掌握中位数，频数（率）分布表，用样本估计总体的计算方法进行求解是解决本题的关键．
21．（8分）在一条笔直的道路上依次有甲、乙、丙三地，小刚与小亮在这条道路上练习跑步，小刚从甲地匀速跑步到丙地，同时小亮从乙地匀速跑步到甲地，在甲地休息2分钟后，以另一速度匀速跑步到丙地，小刚、小亮距甲地的路程y（米）与小刚跑步的时间x（分）之间的函数关系如图所示．
（1）a的值为 　4　，乙地与丙地相距 　1600　米．
（2）求小亮从甲地到丙地y与x之间的函数关系式．
（3）直接写出小刚到达丙地前两人距乙地的路程相等时x的值．

【分析】（1）由图象可得a＝6﹣2＝4，乙地与丙地相距2400﹣800＝1600（米）；
（2）设小亮从甲地到丙地y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，用待定系数法可得小亮从甲地到丙地y与x之间的函数关系式为y＝300x﹣1800；
（3）分三种情况：当小亮从乙地到甲地，在途中与小刚相遇时，x+x＝800，当小亮从甲地出发，还未到乙地时，x﹣800＝800﹣（x﹣6），当小亮从甲地出发，追上小刚时，x＝（x﹣6），分别解方程即可得到答案．
【解答】解：（1）∵小亮从乙地匀速跑步到甲地，在甲地休息2分钟后，
∴a＝6﹣2＝4，
乙地与丙地相距2400﹣800＝1600（米），
故答案为：4，1600；
（2）设小亮从甲地到丙地y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，将（6，0），（14，2400）代入得：
，
解得，
∴小亮从甲地到丙地y与x之间的函数关系式为y＝300x﹣1800；
（3）当小亮从乙地到甲地，在途中与小刚相遇时，x+x＝800，
解得x＝；
当小亮从甲地出发，还未到乙地时，x﹣800＝800﹣（x﹣6），
解得x＝，
当小亮从甲地出发，追上小刚时，x＝（x﹣6），
解得x＝12，
综上所述，小刚到达丙地前两人距乙地的路程相等时x的值为或或12．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
22．（9分）问题引入：如图①，AB∥CD，AB＞CD，∠ABD＝90°，E是线段AC的中点．连结DE并延长交AB于点F，连结BE．判断BE与DE之间的数量关系，并说明理由．
问题延伸：如图②，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，点G在BC上，P是线段DF的中点，连结PC、PG．
（1）判断PC与PG之间的数量关系，并说明理由．
（2）连结CF，若AB＝3，PC＝，则CF的长为 　　．

【分析】问题引入：
利用ASA证明△AEF≌△CED，可得EF＝DE，进而可以解决问题；
问题延伸：
（1）延长GP交CD于点M，根据正方形的性质证明△DPM≌△FPG（ASA），可得PM＝PG，GF＝DM，根据PC为Rt△MCG斜边上的中线，进而可以解决问题；
（2）根据正方形的性质设BG＝GF＝DM＝x，可得CM＝CG＝3﹣x，然后利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：问题引入：
BE＝DE，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C，
∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△AEF和△CED中，
，
∴△AEF≌△CED（ASA），
∴EF＝DE，
∵∠ABD＝90°，
∴BE为Rt△BDF斜边上的中线，
∴EF＝DE＝BE，
∴BE＝DE；
问题延伸：
（1）PC＝PG，理由如下：
如图，延长GP交CD于点M，

∵四边形ABCD，BEFG为正方形，
∴CD∥AE∥GF，∠BCD＝90°，
∴∠CDP＝∠PFG，
∵P为DF的中点，
∴DP＝FP，
在△DPM和△FPG中，
，
∴△DPM≌△FPG（ASA），
∴PM＝PG，GF＝DM，
∵PC为Rt△MCG斜边上的中线，
∴PC＝PG＝PM，
∴PC＝PG；
（2）∵四边形ABCD、BEFG为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝3，BG＝GF＝DM，∠CGF＝90°，
设BG＝GF＝DM＝x，
∴CM＝CG＝3﹣x，
∵PC＝PG＝PM＝，
∴MG＝2，
∵MC2+CG2＝MG2，
∴（3﹣x）2+（3﹣x）2＝（2）2，
解得x＝1，
∴GF＝1，CG＝3﹣1＝2，
∴CF＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质的运用，矩形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理，证明三角形全等是解答本题的关键．
23．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E为边AD的中点，点P从点B出发沿射线BE以每秒2个单位的速度运动，Q为线段BP的中点，过点P作BE的垂线，过点Q作BC的平行线，两线交于点M．设点P运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）直接写出线段QM的长．（用含t的代数式表示）
（2）当点M落在边CD上时，求t的值．
（3）当△PQM与矩形ABCD重合部分图形为四边形时，求t的取值范围．
（4）当点Q与点M到矩形ABCD的一个内角的角平分线距离相等时，直接写出t的值．

【分析】（1）先由AB＝4，AD＝6，E为边AD的中点求得AE＝DE＝3，根据勾股定理求出BE的长为5，再证明∠PQM＝∠AEB，则＝cos∠PQM＝cos∠AEB＝，即可求得QM＝t；
（2）延长MQ交AB于点G，当点M落在边CD上时，则四边形AGMD是矩形，可求得GQ＝BQ＝t，由GQ+QM＝6列方程求出t的值即可；
（3）分两种情况，一是从点P与点E重合之后到点M落在边CD上，△PQM与矩形ABCD重合部分图形为四边形，二是从PM经过点D到点Q与点E重合之前，△PQM与矩形ABCD重合部分图形为四边形，分别列不等式组求出t的取值范围即可；
（4）延长MQ交AB于点G，则GQ＝t，再由＝cos∠ABE＝，求得BG＝t，可证明当点Q与点M到矩形ABCD的一个内角的角平分线距离相等时，则该角平分线经过QM的中点，可得OQ＝t，再分别按点O在∠BAD、∠BCD、∠ADC的平分线上，根据等腰直角三角形的性质列方程分别求出相应的t的值，并说明不存在点Q与点M到∠ABC的平分线距离相等的情况即可．
【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝6，E为边AD的中点，
∴∠A＝90°，AE＝DE＝AD＝3，
∴BE＝＝5，
∵BP＝2t，Q为线段BP的中点，
∴PQ＝BQ＝BP＝t，
∵PM⊥BE，
∴∠MPQ＝90°，
∵QM∥BC∥AD，
∴∠PQM＝∠AEB，
∴＝cos∠PQM＝cos∠AEB＝，
∴QM＝t．
（2）当点M落在边CD上时，如图2，延长MQ交AB于点G，
∵∠AGM＝∠ABC＝90°，∠A＝∠D＝90°，
∴四边形AGMD是矩形，
∴GQ+QM＝GM＝AD＝6，
∵∠BGQ＝∠A＝90°，
∴＝sin∠ABE＝，
∴GQ＝BQ＝t，
∴t+t＝6．
解得t＝．
（3）①如图2，从点P与点E重合之后到点M落在边CD上，△PQM与矩形ABCD重合部分图形为四边形，
∴，
解得＜t≤；
②如图3，从PM经过点D到点Q与点E重合之前，△PQM与矩形ABCD重合部分图形为四边形，
∵∠PED＝∠AEB，
∴＝cos∠PED＝cos∠AEB＝，
∴PE＝×3＝，
∴BP＝5+＝，
∴，
解得≤t＜5，
综上所述，t的取值范围是＜t≤或≤t＜5.
（4）延长MQ交AB于点G，则GQ＝t，
∵＝cos∠ABE＝，
∴BG＝t．
如图4，∠BAD的平分线交QM于点O，作QI⊥AO于点I，MJ⊥AO于点J，
∵∠QOI＝∠MOJ，∠OIQ＝∠OJM＝90°，QI＝MJ，
∴△QOI≌△MOJ（AAS），
∴OQ＝OM＝QM＝×t＝t，
∵∠OGA＝90°，∠GAO＝∠BAD＝45°，
∴∠GOA＝∠GAO＝45°，
∴OG＝AG，
∴t+t＝4﹣t，
解得t＝；
如图5，∠BCD的平分线交QM于点O，交BA的延长线于点H，同理可得OQ＝OM＝t，
∵∠OGH＝90°，∠GOH＝∠BCH＝∠BCD＝45°，
∴∠H＝∠GOH＝∠BCH＝45°，
∴OG＝HG，BH＝BC＝6，
∴t+t＝6﹣t，
解得t＝；
如图6，∠ADC的平分线交QM于点O，交AB的延长线于点H，同理可得OQ＝OM＝t，
∵∠OGH＝90°，∠GOH＝∠ADH＝∠ADC＝45°，
∴∠H＝∠GOH＝∠ADH＝45°，
∴OG＝HG，AH＝AD＝6，
∴BH＝6﹣4＝2，
∴t+t＝2+t，
解得t＝；
如图7，∠ABC的平分线交QM于点L，QM的中点为O，
∵∠LGB＝90°，∠GBL＝∠ABC＝45°，
∴∠GLB＝∠GBL＝45°，
∴LG＝BG＝t，
∴LQ＝t﹣t＝t，
∵t＜t，
∴点L不可能与QM的中点O重合，
∴不存在点Q与点M到∠ABC的平分线距离相等的情况，
综上所述，t＝或t＝或t＝．







【点评】此题重点考查矩形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数、等腰直角三角形的判定与性质、不等式组的应用以及数形结合与分类讨论等数学思想的运用等知识与方法，正确地用含t的代数式表示线段的长并且列出相应的方程或不等式组是解题的关键．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为A（﹣2，﹣2）、B（1，1）．抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）交y轴于点C，顶点P在线段AB上运动，当顶点P与点A重合时，点C的坐标为（0，0），设点P的横坐标为m．
（1）求a的值．
（2）用含m的代数式表示点C的纵坐标，并求当m为何值时，点C的纵坐标最小，写出最小值．
（3）当点C在y轴的负半轴上且点C的纵坐标随m的增大而增大时，求m的取值范围．
（4）过点P作x轴的垂线交抛物线y＝﹣2x2+于点Q，将线段PQ绕点P顺时针旋转90°得到线段PQ'，连结QQ'．当△PQQ'的边与坐标轴有四个公共点时，直接写出m的取值范围．

【分析】（1）根据抛物线顶点坐标，利用待定系数法即可求得答案；
（2）利用待定系数法可得直线AB的解析式为y＝x，由顶点P在线段AB上运动，可得P（m，m），设y＝（x﹣m）2+m，令x＝0即可得出点C的纵坐标为m2+m，再运用二次函数的性质即可得出答案；
（3）由题意得：yC＝m2+m＜0，令yC＝0，即m2+m＝0，解得：m1＝0，m2＝﹣2，运用二次函数的性质即可求得答案；
（4）根据题意，画出图象，分类讨论即可得出答案．
【解答】解：（1）∵顶点P与点A重合，即P（﹣2，﹣2），
∴设抛物线解析式为y＝a（x+2）2﹣2，把C（0，0）代入得：4a﹣2＝0，
解得：a＝，
∴a的值为．
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+d，
∵A（﹣2，﹣2）、B（1，1），
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x，
∵顶点P在线段AB上运动，点P的横坐标为m，
∴P（m，m），
∵在平移过程中，抛物线的形状、开口方向和开口大小都不变，
∴在平移的过程中，a＝不变，
∴抛物线解析式为y＝（x﹣m）2+m，
当x＝0时，yC＝m2+m，
∴点C的纵坐标为m2+m；
当m＝﹣＝﹣1时，yC＝m2+m＝×（﹣1）2﹣1＝﹣，
∴当m为﹣1时，点C的纵坐标最小，最小值为﹣．
（3）当点C在y轴的负半轴上时，yC＜0，
即yC＝m2+m＜0，
令yC＝0，即m2+m＝0，
解得：m1＝0，m2＝﹣2，
yC＝m2+m的图象开口向上，
∴当yC＜0时，﹣2＜m＜0，
∵抛物线yC＝m2+m的对称轴为直线m＝﹣1，
∴当m＞﹣1时，yC随m的增大而增大，
∴当点C在y轴的负半轴上且点C的纵坐标随m的增大而增大时，m的取值范围是﹣1＜m＜0．
（4）∵点P在线段AB上，其横坐标为m，
∴点P的坐标为P（m，m）（﹣2≤m≤1），
∵PQ⊥x轴，
∴xP＝xQ，
故xQ＝m，
∵点Q在抛物线y＝﹣2x2+上，
∴点Q的坐标为Q（m，﹣2m2+），
∵PQ绕点P顺时针旋转90°得线段PQ'，
∴∠QPQ'＝90°，PQ＝PQ'，
∴△PQQ'是等腰直角三角形，
∵点P在线段AB上运动，
①当点P在第三象限（m＜0），点Q在x轴下方时，△PQQ'的边与坐标轴没有公共点，如图1，

②当点P在第三象限（m＜0），点Q在x轴上时，点Q的坐标为Q（m，0），如图2，

∵∠QPQ'＝90°，PQ＝PQ'，
∴此时点Q′在y轴上，
∵P在线段y＝x（﹣2≤x≤1）上，
∴∠QOP＝45°，
∵PQ⊥x轴，
∴∠PQO＝90°，
∵∠QPQ′＝90°，
∴四边形QPQ′O是正方形，
∵Q（m，0）在抛物线y＝﹣2x2+上，
∴0＝﹣2m2+，
解得：m1＝，m2＝﹣，
∵m＜0，
∴m＝﹣，
即当m＝﹣时，点Q在x轴上，点Q′在y轴上，△PQQ′的边与坐标轴存在两个公共点，即点Q和点Q′；
③当点P在第三象限（m＜0），点Q在x轴上方且QQ′不经过原点时，
△PQQ′的边与坐标轴存在四个公共点，如图3，

若QQ′经过原点O（0，0），则﹣m＝﹣2m2+，
解得：m＝，
∴此时点P的横坐标m满足：﹣＜m＜0且m≠；
④当点P与坐标原点O重合（m＝0）时，△PQQ′的边PQ在y轴的正半轴上，边PQ′在x轴的正半轴上，△PQQ′的边与坐标轴有无数多个公共点，如图4，

⑤当点P在第一象限（0＜m＜）时，△PQQ′的边与坐标轴没有公共点，如图5，

⑥当点P在第一象限（m＝）时，△PQQ′的边与坐标轴有2个公共点，如图6，

⑦当点P在第一象限（＜m≤1且m≠）时，△PQQ′的边与坐标轴有4个公共点，如图7，

综上所述，当△PQQ′的边与坐标轴存在四个公共点时，m的取值范围是：﹣＜m＜0且m≠或＜m≤1且或m≠．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，等腰直角三角形性质，二次函数的图象和性质，抛物线与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．