2023届江西省上高二中高三上学期第四次月考数学（文）试题含解析

这是一份2023届江西省上高二中高三上学期第四次月考数学（文）试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届江西省上高二中高三上学期第四次月考数学（文）试题 一、单选题1．已知集合，集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出集合A，B，利用交集定义可求结果．【详解】，，因此．故选：A2．已知复数（为虚数单位），则（    ）A． B．5 C． D．【答案】A【分析】根据复数的除法运算法则化简，进而由模长公式即可求解.【详解】，则.故选：A.3．已知命题，命题，则下列判断正确的是（    ）A．是真命题 B．q是真命题C．是真命题 D．是真命题【答案】C【分析】先根据基本不等式判断命题的真假，根据指数函数的单调性判断命题的真假，再根据命题的命题与逻辑连接词关系判断选项.【详解】命题：当时，，根据基本不等式可得，当且仅当即时等号成立，因为当时，故等号不成立，命题为真命题；命题：因为在定义域内为增函数，故，命题为假命题，为真命题.故选：C4．已知函数，下列说法正确的是（    ）A．函数的最小正周期是B．函数的最大值为C．函数的图象关于点对称D．函数在区间上单调递增【答案】D【分析】利用三角恒等变换化简，利用正弦型函数的性质依次判断即可.【详解】由，故函数的周期，A错误；函数的最大值为2，B错误；由，故不是对称中心，C错误；当时，，由于在单调递增，故函数在单调递增，D正确.故选：D5．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中3部产生于汉、魏晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著均是汉、魏晋、南北朝时期专著的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据古典概型的概率公式计算即可【详解】解：从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件总数，设A={所选2部专著均是汉、魏晋、南北朝时期专著}则∴故选：A．6．已知等差数列的前n项和为，若，，则（    ）A．77 B．88 C．99 D．110【答案】B【分析】根据等差数列的性质，计算出等差数列的基本量，即可利用等差数列的求和公式求解.【详解】，得，解得，，得，解得，故，.故选：B7．执行如图的程序框图，输出的值是（    ）A．0 B． C． D．-1【答案】A【分析】根据程序框图理解可得：输出的S的值为有关余弦值求和问题，在解题的过程中，把握住余弦函数的周期性的应用，从而求得结果.【详解】根据题中所给的框图，可知输出的S的值：故选：A8．如图，在中，，，若，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由向量加减法的线性运算即可求解.【详解】，，，而，所以，.故选：B9．将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中B1与C在平面的同侧，则异面直线B1C与OA所成的角的余弦值为（　　）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据圆柱的性质做出异面直线所成角的平面角，根据线段长度关系求解异面直线夹角的余弦值.【详解】设点在下底面圆周上的射影为点B，连接，则，连接，因为长为，长为，圆柱的底面半径为1，则，因为，所以△BOC为等边三角形，则，则，所以即为直线B1C与OA所成的角，因为，所以，则，则，则.故选：D.10．把函数的图象向左平移个单位，再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的倍， 纵坐标不变， 得到函数的图象. 若函数在上恰有 3 个零点， 则正数 的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据图象变换求得，再以为整体结合正弦函数分析运算.【详解】把函数的图象向左平移个单位，得到，再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到，∵，，则，令则，，若函数的图象在上恰有3个交点，则.故正数的取值范围是.故选：B.11．设函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题设构造且在上递减，进而转化为在上恒成立求参数范围即可.【详解】由题设，且，令且，则，故在上递减，所以恒成立，即在上恒成立，而在上值域为，所以.故选：A【点睛】关键点点睛：已知条件构造，在上递减.12．函数，则的图象在内的零点之和为（    ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】由题可知函数与函数的图象在内交点的横坐标即为函数的零点，利用数形结合及函数的对称性即得.【详解】由可得，则函数与函数的图象在内交点的横坐标即为函数的零点，又函数与函数的图象都关于点对称，作出函数与函数的大致图象，由图象可知在内有四个零点，则零点之和为4．故选：B. 二、填空题13．已知向量满足，且，则__________．【答案】【分析】根据的坐标求出，然后将平方后求出，最后将平方即可求.【详解】因为，所以，，所以，所以，.故答案为：.14．已知函数 ，若正实数满足，则的最小值为____【答案】##【分析】本题先判断函数为奇函数，且R上单调递增，则由得，利用基本不等式解决.【详解】因为函数为奇函数，且在定义域上单调递增，又，则 ，所以 ，即，且，所以当且仅当 ，即时取等号，所以的最小值为.故答案为：15．已知、是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为____________．【答案】【分析】根据给定的条件，利用双曲线定义结合余弦定理计算作答.【详解】令双曲线C的半焦距为c，即，又，，则，中，，由余弦定理得，即，整理得，所以C的离心率．故答案为：16．已知直三棱柱的所有顶点都在球O的球面上，，则球的表面积为___________．【答案】【分析】设和外接圆的圆心为，，则球心为的中点，在中由正弦定理可求得其外接圆半径，结合球的性质可求球的半径，进而求得其表面积．【详解】设和的外心分别为D，E．由球的性质可得三棱柱的外接球的球心O是线段的中点，连接，设外接球的半径为R，的外接圆的半径r，因为，由余弦定理可得， 由正弦定理可得，所以，而在中，可知，即，因此三棱柱外接球的表面积为．故答案为：．  三、解答题17．在中，内角，，所对的边分别为，，．已知．(1)求；(2)若，求面积的最大值．【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理、正弦定理结合三角恒等变换求出，再利用同角公式计算作答．（2）利用（1）中信息及均值不等式，再由三角形面积定理计算作答．【详解】（1）在中，，由余弦定理得，，整理得，由正弦定理得：，而，解得（2）由（1）知，而，则，当且仅当时取等号，于是得，所以当时，面积取得最大值．18．某学校共有1000名学生参加数学知识竞赛，其中男生200人.为了了解该校学生在数学知识竞赛中的情况，采取按性别分层抽样，随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在450~950分之间.将分数不低于750分的学生称为“高分选手”.根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示.(1)求的值，并估计该校学生分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)若样本中属于“高分选手”的男生有10人，完成下列列联表，并判断是否有99.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关. 属于“高分选手”不属于“高分选手”合计男生   女生   合计    参考公式：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828  【答案】(1)，670分(2)表格见解析，有99.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关 【分析】（1）根据频率分布直方图特点得到关于的方程，解出，再利用平均数计算公式得到平均数值即可；（2）根据题意计算相关数据，填写联表中数据，再代入公式，计算卡方值，最后得出结论.【详解】（1），解得平均数估计值为（分）（2）由题意可知， 样本中男生有人，则女生有80人，属于“高分选手”的有人，其中男生10人，则高分中女生为人，不属于“高分选手”的男生为人，不属于“高分选手”的女生为人，因此，得到列联表如下： 属于“高分选手”不属于“高分选手”合计男生101020女生156580合计2575100 因此，的观测值，所以有99.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关19．如图，四面体中，是的中点.(1)当在线段上移动时，判断与是否垂直，并说明理由；(2)若，当是线段的中点时，求到平面的距离.【答案】(1)，理由见解析(2) 【分析】（1）可判断，根据线面垂直来证明异面直线垂直即可；（2）利用三棱锥体积转换法求解到平面的距离.【详解】（1）解：，理由如下：连接，，∵，，，∴．∴，又是的中点∴．∵，∴，且，平面．∴平面，又平面．∴．（2）解：由，，可得，∵是的中点，∴．由（1）知，且，∴，．可得．又，，平面∴平面．当是线段中点时到平面的距离与到平面的距离相等．因为是线段中点，所以到平面的距离为，由题可知，设到平面的距离为h，，由，即∴．即到平面的距离为．20．已知函数，其中.(1)求函数的单调区间；(2)设，若对任意的，恒成立，求的最大值.【答案】(1)当时，在上单调递增，无单调递减区间；当时，在上单调递增，在上单调递减.(2) 【分析】（1）先确定函数的定义域，然后求导，通过讨论a的正负判断导函数在定义域内有无零点，无零点时原函数在定义域内单调，有零点时再通过导函数确定各区间的单调性；（2）原不等式恒成立等价于原函数的最大值小于等于0成立，由第一问的单调区间求得原函数的最大值，记为关于a的函数，再通过对新函数求导判断单调性，得到满足新函数小于等于0的自变量a的最大整数值即可.【详解】（1），定义域为当时，，在上递增.当时，，在上递增.当时，令，得；令，得.即在上递增，在上递减.综上：当时，在上单调递增，无单调递减区间；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）在上恒成立，等价于.由（1）得，当时，在上单调递增，无最大值，故此时原不等式无法恒成立；当时，在上单调递增，在上单调递减，则此时即须成立.记函数，且则即在单调递增.因为，所以满足的a的最大整数值为.综上：的最大值为.21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是原点，以x轴为对称轴，且经过点．(1)求抛物线C的方程；(2)已知直线与抛物线C交于A，B两点，在抛物线C上是否存在点Q，使得直线QA，QB分别于y轴交于M，N两点，且，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在； 【分析】（1）首先设抛物线，再代入即可.（2）首先联立抛物线和直线得到，设，，，根据题意得到，再利用根系关系即可得到答案.【详解】（1）∵平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是原点，以x轴为对称轴，设抛物线，因为经过点，所以故抛物线的方程为．（2）如图所示：由可得，设，，∵，∴，且，．设抛物线C上存在点，使得直线，分别于y轴交于M，N两点，且，则，．，∴，即，，故存在点，使得成立．22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为．(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；(2)已知点，，点是曲线上任一点，求面积的最小值．【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用消参法即可求得曲线的普通方程，化简根据即可求得直线的直角坐标方程；（2）设点的坐标为，求出及点到直线的距离的最小值，即可得出答案.【详解】（1）解：曲线的参数方程（为参数）消去参数，得；          化简，得，即，由得直线的直角坐标方程为；（2）解：，设点的坐标为，∴点到直线的距离，当时，，则面积的最小值是．23．已知函数.(1)当a＝1时，解关于x的不等式；(2)已知，若对任意R，都存在R，使得成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2) . 【分析】(1)绝对值函数化为分段函数，分段求解不等式可得不等式的解集；(2)将原问题转化为函数值域之间的包含关系问题，求出函数值域后，列出不等式可得实数a的取值范围.【详解】（1）当时，， 则，当时，由，得；当时，恒成立；当时，由≤6，得.综上，的解集为.（2）∵对任意R，都存在R，使得，∴.又，，∴，解得或，∴实数a的取值范围是.