2023届江西省南昌二中百校联盟高三上学期联合测评卷-数学（文）试题含解析

  2023届高三联合测评卷·数学（文科）

（120分钟   150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，，则（    ）

A.   B.   C.   D.

2.给出下列命题：

①“若，则”的逆命题为“若，则”；

②“，”的否定是“，”；

③命题“若，则”的否命题为“若，则”；

④“若，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则”.

其中正确的命题序号是（    ）

A.①②    B.①③    C.②④     D.③④

3.已知a，，则“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件       B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件     D.充要条件

4.体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为370N，则该学生的体重（单位：kg）约为（参考数据：取重力加速度大小为，）（    ）

A.60    B.64    C.70     D.76

5.已知向量，满足，其中是单位向量，则在方向上的投影为（    ）

A.1     B.     C.     D.

6.已知，则（    ）

A.    B.    C.     D.

7.函数的图象大致为（    ）

A.  B. C.  D.

8.若函数在区间上单调递增，则实数a 的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

9.在中，a，b，c分别为角A，B，C 的对边，，，的面积为，则的周长为（    ）

A.6      B.8      C.     D.

10.为了得到函数的图象，只需将函数的图象（    ）

A.所有点的横坐标缩短，纵坐标不变，再向右平移个单位长度

B.所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度

C.向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

D.向左平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

11.已知定义在R上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（    ）

A.      B.

C.         D.

12.设，，，则（    ）

A.    B.    C.    D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.函数的单调递增区间是______.

14.已知是定义域R上的奇函数，当时，，若，则______.

15.如图是构造无理数的一种方法：线段；第一步，以线段为直角边作直角三角形，其中；第二步，以为直角边作直角三角形，其中；第三步，以为直角边作直角三角形，其中；…，如此延续下去，可以得到长度为无理数的一系列线段，如，，…，则______.

16.已知函数，当时，关于x的方程 恰有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是______.

三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）命题p：，；命题q：，.

（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；

（2）若命题p，q至少有一个为真命题，求实数a的取值范围.

18.（12分）已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且.

（1）求A；

（2），求边长a.

19.（12分）已知函数.

（1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求实数a的值；

（2）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围.

20.（12分）如图所示，在中，点D是边BC的中点，点E是线段AD的中点.过点E的直线与边AB，AC分别交于点P，Q.设，，其中λ，.

（1）试用与表示、；

（2）求证：为定值，并求此定值；

（3）设的面积为，的面积为，求的取值范围.

21.（12分）如图，从A地到C地有两条路线，第一条经过B地，第二条经过D地，且B地与D地相距10千米.张三和李二从A地同时出发，前往C地游玩.张三选择第一条路线前往C地，李二选择第二条路线前往C地.已知，.

（1）若张三以速度v（单位：千米/小时）匀速前往，且50分钟之内（包含50分钟）到达C地，求v的最小值；

（2）若张三以20千米/小时的速度匀速前往C地，李二以60千米/小时的速度匀速前往C地，由于堵车，李二在路上停留了15分钟，试问张三和李二谁先到达C地？

22.（12分）已知函数.

（1）若，试讨论的单调性；

（2）若有三个极值点，求a的取值范围.

2023届高三联合测评卷·数学（文科）

参考答案

一、1.C 【解析】，，.故选C.

2.A 【解析】“若，则”的逆命题为“若，则”，①正确；“，”的否定是“，”，②正确；命题“若，则”的否命题为“若，则”，③不正确；“若，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0，则”，④不正确.故选A.

3.A 【解析】由“”成立可推出，继而可得到；当时，比如，，推不出成立，故“”是“”的充分不必要条件.故选A.

4.B 【解析】如图，由题意可知，，夹角，所以，即，所以（N），则该学生的体重约为（kg）.故选B.

5.A 【解析】∵，，∴，∴，∴在方向上的投影的数量是.故选A.

6.C 【解析】因为，所以，所以，所以，所以，所以，即，所以，故.故选C.

7.D 【解析】因为函数的定义域为，，所以是偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A，B；当时，，当时，，排除C.故选D.

8.D 【解析】当时，函数在R上单调递增，所以在上单调递增，则符合题意；当时，函数是二次函数，又在上单调递增，由二次函数的性质知， 解得.综上，实数a的取值范围是.故选D.

9.C

【解析】因为的面积为，，故，即，由于，且，故，故，所以，所以的周长为.故选C.

10.A 【解析】将函数的图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数，故A正确，B错误；将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度得到函数，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的.故C，D错误.故选A.

11.B 【解析】当时，，所以当时，，令，则当时，，故在时，单调递减，又因为在R上为偶函数，所以在R上为奇函数，故在R上单调递减，因为，所以，当时，可变形为，即，因为在R上单调递减，所以且，得；当时，可变形为，即，因为在R上单调递减，所以且，得；综上：不等式的解集为.故选B.

12.B 【解析】令，所以，当时，当时，即函数在上单调递减，在上单调递增，所以，即，当且仅当时取等号，令，可得.令，，则在时，，∴在上单调递增，∴，∴时，，∴，令，则，所以当时，当时，即函数在上单调递增，在上单调递减，所以，即，当且仅当时取等号，所以当，可得，所以a最小，设，则，∴在上单调递增，∴，∴，∴，综上可得.故选B.

二、13.  [此题也可以]  【解析】的定义域为R，且，令，解得，即函数的单调递增区间是.

14.2 【解析】因为定义域R上的奇函数，所以，所以，所以，又当时，所以，即，解得.

15. 【解析】由题，，，，所以，，，，所以，所以.

16. 【解析】原方程可化为，解得，，因为，则，，的图象如图所示：

因为方程恰有两个不同的实数根，所以当时，则，解得；当时，，此时方程有三个不同的实数根，不成立；当时，则，此时无解；当时，则，解得；当时，此时方程无实数根，不成立.综上：或.

三、17.解：（1）若命题p为真命题，，解得，故实数a的取值范围是.

（2）当命题q为假命题，则q的否定“，”为真命题，则，解得，所以q为真命题时，实数a的取值范围是.

若命题p与命题q均为假命题，则解得.故命题p与命题q中至少有一个为真命题时，，所以实数a的取值范围是.

18.解：（1）在中，，

即s，所以由正弦定理可得，

所以，因为，所以.

（2）∵，∴.

∴.

19.解：（1）由题意知，.

切线斜率，故a=2.

（2）由题意知，.因为函数在上单调递增，

所以当时，，即恒成立.

令，则，时，，时，，

∴在上单调递增，在上单调递减，则，所以，即.

故实数a的取值范围．

20.解：（1）；.

（2）证明：.

∵P，E，Q三点共线，∴，故为定值，定值为2.

（3）设.∵，，，

∴，。

∴.

∵λ，，，∴，∴.

21.解：（1）因为，所以千米，.在中，由正弦定理可得，则千米.由题意可得，则，即v的最小值为千米/小时.

（2）在中，由余弦定理可得，则千米，因为，，所以.在中，由正弦定理得，则千米，

故李二所用的时间分钟.张三所用的时间分钟.

因为，且，

所以，即李二先到达C地.

22.解：（1），.

若，则，，

故在上单调递减，在上单调递增；

若，令，得，，

①当即时，或，在和上单调递增，，在上单调递减；

②当即时，或，在和上单调递增，，在单调递减；

③当即时，恒成立，故在R上单调递增.

综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；

当时，在和上单调递增，在上单调递减；

当时，在R上单调递增；

当时，在和上单调递增，在上单调递减.

（2）.

若有3个极值点，则恰有3个互不相等的实根，分别记为，，.

因为，所以为的一个根.所以方程有2个异于-1的实根.

令，则.

①当时，在R上单调递增，所以至多有1个根，不符合题意.

②当时，令，即，解得.

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

，.

当，即时，，至多有1个零点，不符合题意.

当时，，，，

因为，且，

所以存在，，使得，，

所以当时，若，则，，则，，

则，，则，所以有3个极值点，，.

所以a的取值范围为.