2023届甘肃省张掖市某重点校高三上学期11月月考数学（理）试题含解析

2023届甘肃省张掖市某重点校高三上学期11月月考数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出集合，然后根据交集、并集的定义求解即可．

【详解】，所以，所以．

故选：B．

2．已知复数z满足，其中i为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】根据复数除法计算出，再根据共轭复数定义写出，最后确定对应点在复数平面的位置.

【详解】由可知，则

故选:A

3．已知数列，均为公差不为0的等差数列，且满足，，则（    ）

A．2 B．1 C． D．3

【答案】A

【分析】根据等差数列性质：，运算求解.

【详解】设数列，的公差分别为

∵，，则

∴，则

故选：A.

4．已知指数函数的图象与直线y＝x相切于点P，则的解析式可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据切点处的斜率为1可求解A,C,D，求导，利用导数研究通过的单调性确定其零点，即可判断B.

【详解】由题意可知直线y＝x是指数函数的一条切线，故切线斜率，

对于A,，则，令，此时切点不在上，故A不可能，

对于B,，令，设该方程的解为，即,

则切点为，则由于，所以，令则，单调递增，且，

所以存在，使得当时，，当时，，因此在单调递减，在单调递增，

又，故当时，,因此在上无实数根，因此不存在满足，因此故B不可能，

对于C,,令，此时切点为刚好也在上，故C可能，

对于D,,令，该方程无解，所以D不可能是，

故选：C

5．若x，y满足约束条件则z＝y－3x的最大值为（    ）

A． B． C．－1 D．

【答案】C

【分析】根据约束条件画出可行域，根据目标函数的几何意义即可求解最值.

【详解】根据约束条件画出可行域（如图），联立，故，

当直线经过点时，最大，此时 ，

故选：C

6．记为各项均为正数的等比数列的前n项和，，，则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【分析】根据题意求出数列的首项和公比，即可根据通项公式求得答案.

【详解】由为各项均为正数的等比数列，且，,

设数列公比为 ,可得 ，且，则，

解得 ，

故 ,

故选：D.

7．如图是某个函数的图象的一部分，则该函数可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据选项判断函数的奇偶性并计算的值，根据的图象即可求解.

【详解】对于A,,为偶函数，且，

对于B，，为奇函数，且

对于C,，为偶函数，且，

对于D,,为奇函数，且，

由的图象可知：的图象关于原点对称且过，

故选：B

8．《天才引导的过程——数学中的伟大定理》的作者威廉·邓纳姆曾写道：“如果你想要做加法你需要0，如果你想要做乘法你需要1，如果你想要做微积分你需要e，如果你想要做几何你需要，如果你想要做复分析你需要i，这是数学的梦之队，他们都在这个方程里”.这里指的方程就是：，令，，则，令，，则，若数列满足，为数列的前n项和，则下列结论正确的个数是（    ）

①是等比数列  ②  ③  ④

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】根据题意可知，进而即可根据所给式子逐一判断.

【详解】，

故是公比为的等比数列，A正确，

，B正确，

，故C错误，

由的定义可知，故D正确，

故选：C

9．在△ABC中，点F为AB的中点，，BE与CF交于点P，且满足，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据三点共线的结论：三点共线，则，结合平面向量基本定理求，再根据向量的线性运算分析求解.

【详解】以为基底向量，则有

∵三点共线，则

又∵三点共线，则

∴，解得

即

则

∴，即

故选：A.

10．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】令，则，构造函数，利用的单调性得出；又得，从而得出答案．

【详解】令，则，

设，则，

当时，，所以在上单调递增，故，即；

又因为，所以，

综上，．

故选：D．

11．已知是定义域为R的奇函数，若的最小正周期为1，则下列说法一定正确的是（    ）

A． B．1是的一个周期

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的周期性和奇函数即可根据选项逐一求解.

【详解】的最小正周期为1，则，所以是以2周期的周期函数，因此，故B错误，

对于A,,故A错误，

对于C，由周期得，又，因此，故C正确，

对于D,，故D错误，

故选：C

12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】B

【分析】利用正弦定理、余弦定理，结合三角恒等变换公式，把已知条件转化为各边的关系式，即可得出答案．

【详解】，化简得．

由正弦定理、余弦定理，得，化简得，

由，展开整理得，

则，即，

所以，

故选：B．

二、填空题

13．若单位向量，满足，则与的夹角为______．

【答案】

【分析】由展开化简即可得.

【详解】因为，为单位向量，所以，

，

，

解得：，又，.

故答案为：.

14．若的图象向右平移个单位长度得到的图象，则的值可以是______．（写出满足条件的一个值即可）

【答案】（答案不唯一，满足均可）

【分析】根据图象平移得平移后的函数，从而可得，再根据，取合适的一个的值即可.

【详解】解：的图象向右平移后得到的函数为

则，解得，又

所以的值可以是当时，.

故答案为：（答案不唯一，满足均可）

15．已知点P（m，n）是函数图象上的点，当时，2m＋n的最小值为______．

【答案】

【分析】根据基本不等式即可求解最小值.

【详解】P（m，n）是函数图象上的点，所以，

因为，所以，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为.

故答案为：

16．已知关于x的方程有4个不等实数根，则a的取值范围是______．

【答案】

【分析】由因式分解可将问题转化为直线与有4个不同的交点，利用导数求解的单调性即可根据图象进行求解.

【详解】由得,

由于，所以问题转化为和共有4个不同的交点，

记，则，当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增，

故，又因此，当时，，当时，，故的图象如图所示，

要使为和共有4个不同的交点，则需要且，

解得

故答案为：

【点睛】本题主要考查了函数的零点，函数与方程等知识点，属于较难题判断函数零点个数的常用方法：

(1) 直接法： 令则方程实根的个数就是函数零点的个；

(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.

三、解答题

17．已知，．

(1)若，且，时，与的夹角为钝角，求的取值范围；

(2)若，函数，求的最小值．

【答案】(1)

(2)的最小值为.

【分析】(1)又与的夹角为钝角，可得且与不能共线，列不等式求的范围；

(2) 化简得，利用将转化为关于的二次函数，利用二次函数性质求值域.

【详解】（1）当时， ，若与的夹角为钝角，

则且与不能共线，

，所以，

又，所以，所以，

当与共线时，，故，所以与不共线时，.

综上：.

（2）

令，则

而函数在上为增函数，故当时有最小值.

故的最小值为.

18．已知数列满足，，．

(1)若数列为数列的奇数项组成的数列，为数列的偶数项组成的数列，求出，，，并证明：数列为等差数列；

(2)求数列的前22项和．

【答案】(1)，证明见详解；

(2).

【分析】（1）由题意，，由递推关系计算，，，再由递推关系可得，分析即得证；

（2）由递推关系可证明为等差，求解的通项公式，结合等差数列求和公式可得，求解即可.

【详解】（1）由题意，，，

故，，，

又

，

即，

故数列为等差数列；

（2）由（1）数列为等差数列，且公差为，首项，

即，

又，

且，故，

故数列的前22项和：

.

19．已知公比的绝对值大于1的无穷等比数列中的前三项恰为－32，－2，3，8中的三个数，为数列的前n项和．

(1)求；

(2)设数列的前n项和为，求证：．

【答案】(1)

(2)见详解

【分析】第（1）问先根据条件得出，代入后通过错位相减法求得.第（2）问裂项相消法求得分析的最大值和最小值即可证明不等式.

【详解】（1）由已知中的前三项满足，进计算只有 满足题意，故，，解得.则

   ①

②

两式相减得：

则

（2）由题意得：

故的最大值即的最小值，即时的最大值，易知

当时，最大且小于0，则最小值为

则最大值为

同理：当时，最小值为

综上可知：

20．如图，△ABC中，点D为边BC上一点，且满足．

(1)证明：；

(2)若AB＝2，AC＝1，，求△ABD的面积．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）根据正弦定理即可求证，

（2）根据余弦定理得，进而可得,，根据比例即可由面积公式求解.

【详解】（1）在中，由正弦定理得,

在中，由正弦定理得,

又，故，

由于，所以，因此，

（2）由AB＝2，AC＝1，以及余弦定理可得,

由于为三角形内角,所以，由(1)知,故

因此,

进而得

21．已知．

(1)当时，恒成立，求a的取值范围；

(2)当时，求在上的零点个数．

【答案】(1)；

(2)3

【分析】（1）由端点得恒成立需，得，再结合导数法说明成立即可；

（2）分别讨论、、、，由导数法研究函数单调性，结合零点存在定理即可判断

【详解】（1），，，由恒成立，则需，得，

∵，则，易得，故单调递增，故，恒成立.

故a的取值范围为；

（2）i. 当时，，故单调递增， ，故区间有一个零点；

ii. 当时，单调递增，，，故存在使，故在单调递减；在单调递增，

，，故存在使，故在单调递增，在单调递减，

，，故区间没有零点；

iii. 由得为零点；

iv. 当时，，∴单调递增，，

又，故存在使，故在单调递减，在单调递增，

由，，故区间有一个零点；

综上，在上的零点个数为3.

【点睛】（1）含参不等式恒成立问题，一般通过构造函数解决.

i. 一般将参数分离出来，用导数法讨论不含参数部分的最值；或者包含参数一起，用导数法对参数分类讨论.

ii. 当参数不能分离出来时，也可尝试将不等式左右变形成一致形式，即可将该形式构造成函数，通过导数法分析单调性，将问题等价成对应自变量的不等式.

（2）含参函数零点个数问题，

i. 一般对参数分类讨论，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象与零点存在定理判断；

ii. 将参数分离出来，用导数法讨论不含参数部分的单调性，由数形结合，转化成两个图象交点的问题；

22．在直角坐标系 中，曲线的参数方程为 （t为参数），曲线的参数方程为 （为参数）．

(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线的极坐标方程与的普通方程；

(2)若 分别为曲线，曲线上的动点，求的最小值．

【答案】(1)的普通方程为，曲线的极坐标方程为.

(2).

【分析】（1）根据消参法可求得的普通方程，利用直角坐标与极坐标的转化公式可求得曲线的极坐标方程；

（2）设，求得其与点距离的表达式，利用导数求得其最小值，结合几何意义即可求得的最小值．

【详解】（1）由题意曲线的参数方程为 （t为参数）。

消去t可得，即的普通方程为；

曲线的参数方程为 （为参数），消去参数可得 ，

将 代入上式，

可得曲线的极坐标方程为；

（2）设，曲线表示圆，半径为1，圆心设为，

则 ，

令，则，

为时的递增函数，且，

当时，，递减，当时，，递增，

故，

则最小值为20，

即最小值为 ，分别为曲线上的动点，

所以的最小值为.

23．已知函数．

(1)若对，恒成立，求实数n的取值范围；

(2)若的最小值为4，且正数a，b，c满足a＋2b＋c＝n，求的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由绝对值三角不等式得，由题意知，即可得出的取值范围；

（2）由题意得，利用基本不等式求出的最小值，从而得出答案．

【详解】（1）由绝对值三角不等式得，当且仅当时等号成立，即，

由题意知，所以或，即或．

综上，的取值范围是．

（2）由（1）知，的最小值为，所以，解得或．

当时，，不符合题意，故舍去．

从而，即．

，当且仅当，即时等号成立，所以，

综上，的最小值为．