【寒假自学】2023年人教A版高一数学必修第二册-第11讲《复数的四则运算》寒假精品讲学案（含解析）

第11讲 复数的四则运算

【学习目标】

1、掌握复数集中的运算问题．

【考点目录】

考点一：复数的加减运算

考点二：复数的乘除运算

考点三：复数代数形式的四则运算

考点四：复数方程

考点五：复数的几何意义

【基础知识】

知识点一、复数的加减运算

1、复数的加法、减法运算法则：

设，（），我们规定：

知识点诠释：

（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样．很明显，

两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形．

（2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式．

2、复数的加法运算律：

交换律：z1+z2=z2+z1

结合律：：（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）

知识点二、复数的加减运算的几何意义

1、复数的表示形式：

代数形式：（）

几何表示：

①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）；

②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数．

知识点诠释：

复数复平面内的点平面向量

2、复数加、减法的几何意义：

如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量．

设复数z1=a+bi，z2=c+di，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为=（a，b），=（c，d）以、为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是，

由于，所以和的和就是与复数（a+c）+（b+d）i对应的向量

知识点诠释：

要会运用复数运算的几何意义去解题，利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理

知识点三、复数的乘除运算

1、乘法运算法则：

设，（），我们规定：

知识点诠释：

（1）两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数．

（2）在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数（分母实数化），化简后写成代数形式．

2、乘法运算律：

（1）交换律：

（2）结合律：

（3）分配律：

【考点剖析】

考点一：复数的加减运算

例1．（2022·黑龙江·大庆中学高三期中（理））设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

设，则，则，

所以，，解得，因此，.

故选：C.

例2．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高一期中）若复数，，，则___________.

【答案】

【解析】

解：由题意得，

则，

故答案为：.

考点二：复数的乘除运算

例3．（2022·山西怀仁·高三期末（文））复数z满足，则对应复平面内的点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

不妨设复数，则有：

则有：

故有：

解得：

故选：B

考点三：复数代数形式的四则运算

例4．（2022·云南·高三期中（理））已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

解：由，得，

所以虚部为.

故选：A．

例5．（2022·新疆·一模（文））已知复数，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【解析】

∵，∴.

故选：C

例6．（2022·福建龙岩·高三期中）已知复数满足，，则正数（    ）

A．-2 B．-1 C．4 D．2

【答案】C

【解析】

因为，所以，

又因为，所以，解得正数．

故选：C

考点四：复数方程

例7．（2022·江苏·扬州中学高二期中）已知是复数，和都是实数.

（1）求复数；

（2）设关于的方程有实根，求纯虚数.

【解析】

（1）设，

，所以，，

，所以，，

所以；

（2）设，又，

，

所以，解得．所以．

例8．（2022·福建·泉州五中高一期中）已知复数是方程的一个解.

（1）求、的值；

（2）若复数满足，求的最小值.

【解析】

（1）依题意得，，即，

所以，解得，；

（2）由（1）可得，设，

则，，

因为，所以，整理得.

，

故当时，取得最小值.

考点五：复数的几何意义

例9．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0，3＋2i，－2＋4i．求：

（1）向量对应的复数；

（2）向量对应的复数；

（3）向量对应的复数．

【解析】

（1）因为，所以向量对应的复数为－3－2i；

（2）因为＝－，所以向量对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i；

（3）因为＝＋，所以向量对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i．

例10．（2022·全国·高一课时练习）已知四边形是复平面内的平行四边形，是原点，点分别表示复数，是，的交点，如图所示，求点表示的复数.

【解析】

因为,分别表示复数,,

所以表示的复数为,即点表示的复数为,

又,所以表示的复数为,即点表示的复数为

【真题演练】

1．（2022·北京·高考真题）若复数z满足，则（    ）

A．1 B．5 C．7 D．25

【答案】B

【解析】由题意有，故．

故选：B．

2．（2022·全国·高考真题（理））若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

故选 ：C

3．（2022·全国·高考真题）（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，

故选：D.

4．（2022·全国·高考真题）若，则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【解析】由题设有，故，故，

故选：D

5．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意可得：.

故选：D.

6．（2021·全国·高考真题（理））设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设，则，则，

所以，，解得，因此，.

故选：C.

7．（2021·全国·高考真题（文））已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，

.

故选：B.

8．（2021·全国·高考真题）已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，故，故

故选：C.

9．（2022·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为_______．

【答案】

【解析】．

故答案为：．

10．（2021·天津·高考真题）是虚数单位，复数_____________．

【答案】

【解析】.

故答案为：.

【过关检测】

一、单选题

1．（2022·上海市第三女子中学高一期末）下列命题中，真命题的个数是（    ）

（1）若复数、，且，则或

（2）若复数、，且，则．

（3）若复数，则．

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】设、，且，，，均为实数.

对于（1），，则有，则有或，所以、中至少有一个为，（1）正确；

对于（2），若，，此时，但此时，故（2）错误；

对于（3），若，则，而，此时，（3）错误.

故选：B

2．（2022·上海·华东师范大学第三附属中学高一期末）方程有一个根为，求的值为（    ）

A．5 B．3 C．4 D．2

【答案】A

【解析】由可得，.

故选：A

3．（2022·上海市向明中学高一期末）设是虚数单位，则的值为（    ）

A． B． C． D．0

【答案】B

【解析】，的取值周期为4，连续4项的和为0，所以，

故选:B.

4．（2022·河南·高一期末）已知复数z满足，则（    ）

A． B． C．2 D．5

【答案】B

【解析】由题意，复数z满足，则

故选:B．

5．（2022·安徽省岳西县汤池中学高一阶段练习）已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】复数满足，

，

在复平面内所对应的点位于第四象限．

故选：D．

6．（2022·浙江·永嘉中学高一竞赛）已知复数（其中为虚数单位），的共轭复数为，则下列说法错误的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】复数，有，

，所以A正确；

，所以B正确；

，所以C正确；

，所以D错误.

 故选：D

7．（2022·上海市香山中学高一期末）已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，则的值为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【解析】因为方程有两个虚根和，

所以，则，

又由求根公式知两虚根为，，

所以，则，解得，满足要求，

所以.

故选：C.

8．（2022·上海市七宝中学高一期末）非零复数、在复平面内分别对应向量、（为坐标原点），若，则（    ）

A．、、三点共线 B．是直角三角形

C．是等边三角形 D．以上都不对

【答案】B

【解析】设，

则，故，

因为，所以，

所以，

所以或，

故或，

当时，，

当时，，

所以，所以是直角三角形，

故、、三点不共线且不是等边三角形.

故选：B.

二、多选题

9．（2022·黑龙江·哈师大青冈实验中学高一期末）已知复数，则（       ）

A．z的实部是 B．z的虚部是

C．z的共轭复数为 D．

【答案】ACD

【解析】∵，则有：

z的实部是，A正确；

z的虚部是，B错误；

z的共轭复数为，C正确；

，D正确；

故选：ACD.

10．（2022·河南·商水县实验高级中学高一阶段练习）已知i为虚数单位，以下四种说法中正确的是（    ）

A．是纯虚数 B．若，则复平面内对应的点位于第四象限

C．若，则 D．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线

【答案】CD

【解析】是实数，故A错误；

因为，所以，所以复平面内对应的点位于第三象限，故B错误，

若，则，故，故C正确，

令，则，所以，化简得，所以，所以z在复平面内对应的点的轨迹为直线，故D正确，

故选：CD

11．（2022·河北·石家庄市藁城区第一中学高一阶段练习）设z为复数，则下列命题中正确的是（    ）

A．z2＝|z|2 B．

C．若|z|＝1，则|z+i|的最大值为2 D．若，则z是纯虚数

【答案】BC

【解析】可设，

对于A，由，，则，故A错误；

对于B，由，则，故B正确；

对于C，，则，

，易知当时，取得最大值，故C正确；

对于D，，但当时，，故D错误.

故选：BC.

12．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高一期末）已知复数，满足，，则（    ）

A． B．

C． D．在复面内对应的点位于第一象限

【答案】ACD

【解析】由题意得，所以.

对于A，，故A正确；

对于B，，故B不正确；

对于C，，故C正确；

对于D，，在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．（2022·上海市朱家角中学高一期末）若复数满足（为虚数单位），则______．

【答案】

【解析】由，，

则，

故答案为：.

14．（2022·上海市浦东中学高一期末）下列说法中正确的个数是__．

（1）；

（2）若一个复数是纯虚数，则其实部不存在；

（3）虚轴上的点表示的数都是纯虚数；

（4）设（为虚数单位），若复数在复平面内对应的向量为，则向量的模长为2；

（5）若，则对应的点在复平面内的第四象限．

【答案】1

【解析】当复数不是实数时，不能比较大小，与为虚数，不能比较大小，故(1)错误；

若一个复数是纯虚数，则其实部为0，并非不存在，故(2)错误；

虚轴上的点表示的数并非都是纯虚数，虚轴上原点表示的数是实数，故(3)错误；

，复数，在复平面内对应的向量的模长为2，故（4）正确；

若，则在复平面内对应的点为（1,1），在复平面内的第一象限．故（5）错误．

正确的只有1个.

故答案为：1．

15．（2022·上海市第三女子中学高一期末）若复数和复数满足，则_____．

【答案】

【解析】设，

且，

则，

又，所以，

也即，则，

因为，

所以

故答案为：.

16．（2022·浙江·高一期中）已知，关于x的一元二次方程的一个根z是纯虚数，则________．

【答案】

【解析】设，则，

因为，故 ，解得，

故，故，

故答案为：

四、解答题

17．（2022·上海市第三女子中学高一期末）关于的方程（）的两个根为，．

(1)若，求实数的值；

(2)若，求实数的值．

【解析】（1）由得方程有一对共轭复数根，所以，

所以，所以.

（2）①当，即时，方程有两实数根，

所以，，

则，

解得；

②当，即时，方程有两虚数根，

即，不妨设，；

则

解得；

综上：实数的值为或．

18．（2022·上海市朱家角中学高一期末）已知关于的一元二次方程的两根为、．

(1)若为虚数，求的取值范围；

(2)若，求的值．

【解析】（1）因为为虚数，所以，即.

（2）因为，所以，，

①当时，，则；

②当时，，则；

综上，的值为或．

19．（2022·上海市金山中学高一期末）已知复数为虚数单位．

(1)若是关于的实系数方程的一个复数根，求的值；

(2)若为实数，求的值．

【解析】（1）若是关于的实系数方程的一个复数根，

则，所以，

所以，

所以或；

（2）由题意得为实数，

所以，所以．

20．（2022·上海市七宝中学附属鑫都实验中学高一期末）设、为实数，关于的方程有四个互不相同的根，它们在复平面上对应四个不同的点.

(1)当时，求方程在复数集上的解集，并求对应四点围成图形的面积；

(2)若对应的四个点构成正方形，求实数、的值.

【解析】（1）当时，方程为，

解得

其在复平面对应的点的坐标分别为：，如图

四点围成的图形为等腰梯形

面积为

（2）若对应的四个点构成正方形，

由（1）的解为，

则的解为或

则或，

解得或.

21．（2022·上海市浦东中学高一期末）已知复数.

(1)若是纯虚数，求的值；

(2)若是方程的一个根，求的实部.

【解析】（1）由已知可得，解得.

（2）由可得，解得，

若，可得，解得 ；

若，可得，无实数解.

综上所述，，则，所以，复数的实部为.

22．（2022·湖北·罗田县育英高级中学高一阶段练习）已知复数满足（其中是虚数单位），且复数在复平面内对应的点在第一象限．若，且是纯虚数，求实数的值．

【解析】设，

由得，即，

故，解得或，即或，

因为复数在复平面内对应的点在第一象限，所以，

又，所以，

因为是纯虚数，所以且，故