八年级数学上册期末难点特训（三）和一次函数图像有关的压轴题

这是一份八年级数学上册期末难点特训（三）和一次函数图像有关的压轴题，共61页。试卷主要包含了求函数y3＝mx＋n的表达式，数学概念，已知等内容，欢迎下载使用。

期末难点特训三 和一次函数图像有关的压轴题
1．如图，已知函数y1=x＋1的图像与y轴交于点A，一次函数y2＝kx＋b的图像经过点B（0，-1），并且与x轴以及y1＝x＋1的图像分别交于点C、D，点D的横坐标为1．

（1）求y2函数表达式；
（2）在y轴上是否存在这样的点P，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形．如果存在，求出点P坐标；如果不存在，说明理由．
（3）若一次函数y3＝mx＋n的图像经过点D，且将四边形AOCD的面积分成1：2．求函数y3＝mx＋n的表达式．
2．已知：如图，一次函数y=x+3的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点C(2，0)的一次函数y=kx+b的图象相交于点D，点D的横坐标为4，直线CD与y轴相交于点E．
(1)直线CD的函数表达式为______；(直接写出结果)
(2)在x轴上求一点P使△PAD为等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．
(3)若点Q为线段DE上的一个动点，连接BQ．点Q是否存在某个位置，将△BQD沿着直线BQ翻折，使得点D恰好落在直线AB下方的y轴上？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

3．数学概念：百度百科上这样定义绝对值函数：y＝│x│＝
并给出了函数的图像（如图）．

方法迁移
借鉴研究正比例函数y＝kx与一次函数y＝kx＋b（k，b是常数，且k≠0）之间关系的经验，我们来研究函数y＝│x＋a│（a是常数）的图像与性质．
“从‘1’开始”
我们尝试从特殊到一般，先研究当a＝1时的函数y＝│x＋1│．
按照要求完成下列问题：
（1）观察该函数表达式，直接写出y的取值范围；
（2）通过列表、描点、画图，在平面直角坐标系中画出该函数的图像．
“从‘1’到一切”
（3）继续研究当a的值为－2，－，2，3，…时函数y＝│x＋a│的图像与性质，
尝试总结：
①函数y＝│x＋a│（a≠0）的图像怎样由函数y＝│x│的图像平移得到？
②写出函数y＝│x＋a│的一条性质．
知识应用
（4）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝│x＋a│的图像上的任意两点，且满足x1＜x2≤－1时， y1＞y2，则a的取值范围是 ．
4．已如，在平面直角坐标系中，点的坐标为、点的坐标为，点在轴上，作直线.点关于直线的对称点刚好在轴上，连接.
（1）写出一点的坐标，并求出直线对应的函数表达式；
（2）点在线段上，连接、、，当是等腰直角三角形时，求点坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，点从点出发以每秒2个单位长度的速度向原点运动，到达点时停止运动，连接，过作的垂线，交轴于点，问点运动几秒时是等腰三角形.

5．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，长方形 OABC，点 B 的坐标为（3，8），点 A、C 分别在坐标轴上，D 为 OC 的中点.
（1）在 x 轴上找一点 P，使得 PD＋PB 最小，则点 P 的坐标为 ；
（2）在 x 轴上找一点 Q，使得|QD－QB|最大，求出点 Q 的坐标并说明理由.

6．已知：如图，一次函数的图像分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过x轴负半轴上的点C的一次函数y＝kx＋b的图像相交于点D，直线CD与y轴相交于点E，E与B关于x轴对称，OA＝3OC．

(1)直线CD的函数表达式为______；点D的坐标______；（直接写出结果）
(2)点P为线段DE上的一个动点，连接BP．
①若直线BP将△ACD的面积分为两部分，试求点P的坐标；
②点P是否存在某个位置，将△BPD沿着直线BP翻折，使得点D恰好落在直线AB上方的坐标轴上？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线AB为y＝﹣x＋b交y轴于点A（0，3），交x轴于点B，直线x＝1交AB于点D，交x轴于点E，P是直线x＝1上一动点，且在点D的上方，设P（1，n）．

(1)求点B的坐标及点O到直线AB的距离；
(2)求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；
(3)当S△ABP＝时，在第一象限找点C，使△PBC为等腰直角三角形，直接写出点C的坐标．
8．如图，正比例函数与一次函数的图像相交于点，过点作轴的垂线，且，交一次函数的图像于点，交正比例函数的图像于点，连接．
（1）求值；
（2）设的面积为，求与之间的函数关系式；
（3）当时，在正比例函数与一次函数的图像上分别有一动点、，是否存在点、，使是等腰直角三角形，且，若存在，请直接写出点、的坐标；若不存在，请说明理由．

10．（1）[探究]对于函数y＝|x|，当x≥0时，y＝x；当x＜0时，y＝﹣x．
在平面直角坐标系中画出函数图象，由图象可知，函数y＝|x|的最小值是　 　．

（2）[应用]对于函数y＝|x﹣1|＋|x＋2|．
①当x≥1时，y＝　 　；当x≤﹣2时，y＝　 　；当﹣2＜x＜1时，y＝　 　．
②在平面直角坐标系中画出函数图象，由图象可知，函数y＝|x﹣1|＋|x＋2|的最小值是　 　．
（3）[迁移]当x＝　 　时，函数y＝|x﹣1|＋|2x﹣1|＋|3x﹣1|＋…＋|8x﹣1|取到最小值．
（4）[反思]上述问题解决过程中，涉及了一些重要的数学思想或方法，请写出其中一种．
11．如图，已知一次函数y=﹣x+8的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，与一次函数y=x的图象相交于点C．

（1）求点C坐标．
（2）若点Q在直线AB上，且△OCQ的面积等于12，请求出点Q的坐标．
（3）小明在探究中发现：若P为x轴上一动点，将线段PC绕点P按顺时针方向旋转90°得线段PC'，在点P的运动过程中，点C′始终在某一直线上运动．请直接写出该直线所对应的函数关系式：　 ．
12．如图1，直线y＝2x+b过点A（﹣1，﹣4）和B（m，8），它与y轴交于点G，点P是线段AB上的一个动点．
（1）求出b的值，并直接写出m＝　 　，点G的坐标为　 　；
（2）点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y＝﹣x﹣上，求点P的坐标；
（3）过点P作y轴的平行线PE，过点G作x轴的平行线GE，它们相交于点E．
①如图2，将△PGE沿直线PG翻折，当点E的对应点E′落在x轴上时，求点P的坐标；
②在点P从A运动到点B的过程中，点E′也随之运动，直接写出点E′的运动路径长为　 　．

13．如图1所示，直线与轴负半轴，轴正半轴分别交于、两点．

（1）当时，求直线的解析式；
（2）在（1）的条件下，如图2所示，设线段延长线上一点，作直线，过、两点分别作于点，于点，若，BN=3，求的长；
（3）如图3，当取不同的值时，点在轴正半轴上运动，分别以、为边，点为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角和等腰直角，连接交轴于点，当点在轴正半轴上运动时，试猜想的面积是否改变；若不改变，请求出其值；若改变，请说明理由．
（4）如图3，当取不同的值时，点在轴正半轴上运动，以为边，点为直角顶点，在第二象限作等腰直角，则动点在直线______上运动．（直接写出直线的解析式）
14．如图所示，已知点M（1，4），N（5，2），P（0，3），Q（3，0），过P，Q两点的直线的函数表达式为y＝﹣x+3，动点P从现在的位置出发，沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，设移动时间为ts．
（1）若直线PQ随点P向上平移，则：
①当t＝3时，求直线PQ的函数表达式．
②当点M，N位于直线PQ的异侧时，确定t的取值范围．
（2）当点P移动到某一位置时，△PMN的周长最小，试确定t的值．
（3）若点P向上移动，点Q不动．若过点P，Q的直线经过点A（x0，y0），则x0，y0需满足什么条件？请直接写出结论．

15．
(1)问题解决：如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，点A、B、C的坐标分别为______、______、______ ．
(2)综合运用：①如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标（0，﹣6），点B坐标（8，0），过点B作x轴垂线l，点P是l上一动点，点D是在一次函数y＝﹣2x+2图像上一动点，若△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．
②如图 2，在⑵的条件中，若 M 为 x 轴上一动点，连接 AM，把 AM 绕 M 点逆时针旋转90°至线段 NM，ON+AN 的最小值是______．
16．给出如下定义：在平面直角坐标系中，已知点，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最短间距”，例如：如图，点的“最短间距”是1（即的长）．

(1)点的最短间距是_________；
(2)已知点，点在第三象限．
①若点O，A，B的最短间距是1，求y的值；
②点O，A，B的“最短间距”的最大值为__________；
(3)已知直线l与坐标轴分别交于点和，点是线段上的一个动点，当点的最短间距取到最大值时，则此时点P的坐标_________．
17．建立模型：如图1，已知△ABC，AC=BC，∠C=90°，顶点C在直线l上．
实践操作：过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E，求证：△CAD≌△BCE．
模型应用：（1）如图2，在直角坐标系中，直线l1：y=x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，将直线l1绕着点A顺时针旋转45°得到l2．求l2的函数表达式．
（2）如图3，在直角坐标系中，点B（8，6），作BA⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P是线段BC上的一个动点，点Q（a，2a﹣6）位于第一象限内．问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时a的值，若不能，请说明理由．

18．如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．OA、OB的长度分别为m和n，且满足m2+n2＝2mn．
（1）判断△AOB的形状．
（2）如图②，正比例函数y＝kx（k＜0）的图象与直线AB交于点Q，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM＝13，MN＝6，求BN的长．
（3）如图③，E为线段AB上一动点，以AE为斜边作等腰直角△ADE，P为BE的中点，连接PD、PO．试问：线段PD、PO是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明．

19．已知：如图，一次函数y＝x+3的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点C（2，0）的一次函数y＝kx+b的图象相交于点D，点D的横坐标为4，直线CD与y轴相交于点E．

（1）直线CD的函数表达式为　 　；（直接写出结果）
（2）点Q为线段DE上的一个动点，连接BQ．
①若直线BQ将△BDE的面积分为1：2两部分，试求点Q的坐标；
②点Q是否存在某个位置，将△BQD沿着直线BQ翻折，使得点D恰好落在直线AB下方的坐标轴上？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．


答案与解析
1．如图，已知函数y1=x＋1的图像与y轴交于点A，一次函数y2＝kx＋b的图像经过点B（0，-1），并且与x轴以及y1＝x＋1的图像分别交于点C、D，点D的横坐标为1．

（1）求y2函数表达式；
（2）在y轴上是否存在这样的点P，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形．如果存在，求出点P坐标；如果不存在，说明理由．
（3）若一次函数y3＝mx＋n的图像经过点D，且将四边形AOCD的面积分成1：2．求函数y3＝mx＋n的表达式．
【答案】（1）y＝3x−1；（2）（0，5），（0，−1−），（0，−1），（0，）．
（3）y3＝x＋或y3＝x．
【分析】（1）把D坐标代入y＝x＋1求出n的值，确定出D坐标，把B与D坐标代入y＝kx＋b中求出k与b的值，确定出直线BD解析式；
（2）如图所示，设P（0，p）分三种情况考虑：当BD＝PD；当BD＝BP时；当BP＝DP时，分别求出p的值，确定出所求即可；
（3）先求出四边形AOCD的面积，再分情况讨论即可求解．
【详解】解：（1）把D坐标（1，n）代入y＝x＋1中得：n＝2，即D（1，2），
把B（0，−1）与D（1，2）代入y＝kx＋b中得：，
解得：，
∴直线BD解析式为y＝3x−1，
即y2函数表达式为y＝3x−1；
（2）如图所示，设P（0，p）分三种情况考虑：
当BD＝PD时，可得（0−1）2＋（−1−2）2＝（0−1）2＋（p−2）2，
解得：p＝5或p＝−1（舍去），此时P1（0，5）；
当BD＝BP时，可得（0−1）2＋（−1−2）2＝（p＋1）2，
解得：p＝−1±，
此时P2（0，−1＋），P3（0，−1− ）；
当BP＝DP时，可得（p＋1）2＝（0−1）2＋（p−2）2，
解得：p＝，即P4（0，），
综上，P的坐标为（0，5），（0，−1−），（0，−1），（0，）．

（3）对于直线y＝x＋1，令y＝0，得到x＝−1，即E（−1，0）；令x＝0，得到y＝1，
∴A（0，1）
对于直线y＝3x−1，令y＝0，得到x＝，即C（，0），
则S四边形AOCD＝S△DEC−S△AEO＝××2− ×1×1＝
∵一次函数y3＝mx＋n的图像经过点D，且将四边形AOCD的面积分成1：2．
①设一次函数y3＝mx＋n的图像与y轴交于Q1点，
∴S△ADQ1=S四边形AOCD＝
∴
∴AQ1=
∴Q1（0，）
把D（1，2）、Q1（0，）代入y3＝mx＋n得
解得
∴y3＝x＋；
②设一次函数y3＝mx＋n的图像与x轴交于Q2点，
∴S△CDQ2=S四边形AOCD＝
∴
∴CQ2=
∴Q2（，0）
把D（1，2）、Q2（，0）代入y3＝mx＋n得
解得
∴y3＝x；
综上函数y3＝mx＋n的表达式为y3＝x＋或y3＝x．

【点睛】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握一次函数性质是解本题的关键．
2．已知：如图，一次函数y=x+3的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点C(2，0)的一次函数y=kx+b的图象相交于点D，点D的横坐标为4，直线CD与y轴相交于点E．
(1)直线CD的函数表达式为______；(直接写出结果)
(2)在x轴上求一点P使△PAD为等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．
(3)若点Q为线段DE上的一个动点，连接BQ．点Q是否存在某个位置，将△BQD沿着直线BQ翻折，使得点D恰好落在直线AB下方的y轴上？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)y=3x-6；(2)点P的坐标为(，0)或(6，0)或(-14，0)或(12，0)；(3)存在，点Q的坐标为(，)
【分析】(1)求出D的坐标，即可求解；
(2)分PA=PD、当PA=AD、DP=AD三种情况，分别求解即可；
(3)利用BD=BD′，DQ=D′Q，即可求解．
【详解】解：(1)将点D的横坐标为4代入一次函数y=x+3表达式，解得：y=6，即点D的坐标为(4，6)，
将点C、D的坐标代入一次函数表达式y=kx+b得：
解得：
故答案为y=3x-6；
(2)①当PA=PD时，
点B是AD的中点，
故：过点B且垂直于AD的直线方程为：y=-x+3，
令y=0，则x=，
即点P的坐标为(，0)；
②当PA=AD时，
AD= =10，
故点P的坐标为(6，0)或(-14，0)；
③当DP=AD时，
同理可得：点P的坐标为(12，0)；
故点P的坐标为(，0)或(6，0)或(-14，0)或(12，0)；
(3)设翻转后点D落在y轴上的点为D′，设点Q的坐标为(x，3x-6)，
则：BD=BD′，DQ=D′Q，
BD′=BD= =5，故点D′的坐标为(0，-2)，
DQ2=D′Q2，即：x2+(3x-6+2)2=(x-4)2+(3x-6-6)2，
解得：x=，
故点Q的坐标为(，)．
【点睛】本题考查的是一次函数的综合运用，涉及到图象翻折、勾股定理运用等知识点，其中(2)要分类讨论，避免遗漏．
3．数学概念：百度百科上这样定义绝对值函数：y＝│x│＝
并给出了函数的图像（如图）．

方法迁移
借鉴研究正比例函数y＝kx与一次函数y＝kx＋b（k，b是常数，且k≠0）之间关系的经验，我们来研究函数y＝│x＋a│（a是常数）的图像与性质．
“从‘1’开始”
我们尝试从特殊到一般，先研究当a＝1时的函数y＝│x＋1│．
按照要求完成下列问题：
（1）观察该函数表达式，直接写出y的取值范围；
（2）通过列表、描点、画图，在平面直角坐标系中画出该函数的图像．
“从‘1’到一切”
（3）继续研究当a的值为－2，－，2，3，…时函数y＝│x＋a│的图像与性质，
尝试总结：
①函数y＝│x＋a│（a≠0）的图像怎样由函数y＝│x│的图像平移得到？
②写出函数y＝│x＋a│的一条性质．
知识应用
（4）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝│x＋a│的图像上的任意两点，且满足x1＜x2≤－1时， y1＞y2，则a的取值范围是 ．
【答案】（1）y≥0．（2）见解析；（3）①见解析；②答案不唯一，如当x＞－a时，y随x的增大而增大；当x＜－a时，y随x的增大而减小．（4）a≤1．
【分析】（1）根据绝对值的概念可以写出答案；
（2）通过列表、描点、连线，即可画出函数图象；
（3）当a的值为-2和3时，通过列表、描点、连线，画出函数图象，通过观察图象得出①、②的答案；
（4）通过观察图象：函数y＝│x＋a│的对称轴为直线,根据函数的增减性，可以求得a的取值范围.
【详解】（1）根据绝对值的性质得： y≥0．
（2）列表：
x

-4
-3
-2
-1
0
1
2

y＝│x＋1│

3
2
1
0
1
2
3


通过描点、连线，射线CA、CB就是所求作；

（3）当a的值为-2和3时，仿照(2)的方法在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，如下图：
x

-1
2
5

y＝│x-2│

3
0
3


x

-6
-3
0

y＝│x+3│

3
0
3



①函数y＝│x＋a│（a≠0）的图像是由函数y＝│x│的图像向左（a＞0）或向右（a＜0）平移│a│个单位得到．
②答案不唯一，如：当x＞－a时，y随x的增大而增大；当x＜－a时，y随x的增大而减小．
（4）通过观察函数的图象知：函数y＝│x＋a│的对称轴为直线,
根据题意：满足x1＜x2≤－1时， y1＞y2，属于减函数，是在对称轴的左侧，
所以-1≤-a，
所以．
【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，利用数形结合、从特殊到一般的方法是解题的关键．
4．已如，在平面直角坐标系中，点的坐标为、点的坐标为，点在轴上，作直线.点关于直线的对称点刚好在轴上，连接.
（1）写出一点的坐标，并求出直线对应的函数表达式；
（2）点在线段上，连接、、，当是等腰直角三角形时，求点坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，点从点出发以每秒2个单位长度的速度向原点运动，到达点时停止运动，连接，过作的垂线，交轴于点，问点运动几秒时是等腰三角形.

【答案】（1），（2）点坐标为，（3）点运动时间为1秒或秒或3.75秒.
【分析】（1）由勾股定理求出AB=10，即可求出A=10，从而可求出，设C（0，m），在直角三角形中，运用勾股定理可求出m的值，从而确定点C的坐标，再利用待定系数法求出AC的解析式即可；
（2）由垂直平分可证，过点作轴于点，轴于点，证明可得DE=DF，设D（a，a）代入求解即可；
（3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，分类讨论即可得解：
【详解】（1），
，
，
，
，
，
点、关于直线的对称，
垂直平分，
，
，
设点坐标为，则，
，
在中，，
，

，
点坐标为.
设直线对应的函数表达式为，
把代入，
得，
解得，
直线对应的函数关系是为，
（2）垂直平分，
，
是等腰直角三角形，

过点作轴于点，轴于点.

，
，，
，
，
，
，
，
设点坐标为，
把点代入，
得
，
点坐标为，
（3）同（2）可得
又


①当时，
轴，



点运动时间为1秒.

②当时，


，


点运动时间为秒.

③当时，

设，则
在中，，




点运动时间为3.75秒.
综上所述，点运动时间为1秒或秒或3.75秒.
【点睛】此题涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键，第三问题要注意分类讨论，不要丢解．
5．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，长方形 OABC，点 B 的坐标为（3，8），点 A、C 分别在坐标轴上，D 为 OC 的中点.
（1）在 x 轴上找一点 P，使得 PD＋PB 最小，则点 P 的坐标为 ；
（2）在 x 轴上找一点 Q，使得|QD－QB|最大，求出点 Q 的坐标并说明理由.

【答案】(1) P（1，0）;(2)见解析.
【分析】（1）作点D关于x轴的对称点D'，根据轴对称性质有PD=PD'，又根据三角形两边之和PD'+PB大于第三边BD'，故B、P、D'在同一直线上时，PD+PB有最小值．求直线BD'的解析式后令y=0，求出其与x轴的交点，即此时的点P坐标;
（2）根据三角形两边之差|QD-QB|小于第三边BD，故当B、D、Q在同一直线上时，|QD-QB|=BD有最大值．求直线BD解析式后令y=0，求出此时Q的坐标．
【详解】解：（1）作D关于x轴的对称点D'，连接BD'，交x轴于点P
∵PD=PD'
∴PD+PB=PD'+PB
∴当B、P、D'在同一直线上时，PD+PB=BD'最小
∵四边形OABC是矩形，B（3，8）
∴C（0，8）
∵D为OC中点
∴D（0，4）
∴D'（0，-4）
设直线BD'解析式为：y=kx+b
，    解得：，
∴直线BD'：y=4x-4
当4x-4=0时，解得：x=1
故答案为P（1，0）


（2）根据三角形两边之差小于第三边，|QD-QB|＜BD
∴当B、D、Q在同一直线上时，|QD-QB|=BD最大
设直线BD解析式为：y=ax+c
，   解得：
∴直线BD：y=x+4
当x+4=0时，解得：x=-3
∴点Q（-3，0）

【点睛】本题考查了轴对称下的最短路径问题，解决此类问题的关键是找准动点在运动过程中不变的量，利用“两点之间线段最短”的来解题．
6．已知：如图，一次函数的图像分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过x轴负半轴上的点C的一次函数y＝kx＋b的图像相交于点D，直线CD与y轴相交于点E，E与B关于x轴对称，OA＝3OC．

(1)直线CD的函数表达式为______；点D的坐标______；（直接写出结果）
(2)点P为线段DE上的一个动点，连接BP．
①若直线BP将△ACD的面积分为两部分，试求点P的坐标；
②点P是否存在某个位置，将△BPD沿着直线BP翻折，使得点D恰好落在直线AB上方的坐标轴上？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，（-4，-6）
(2)①点坐标为或；②存在，点坐标为或

【分析】（1）由求出与的交点坐标，进而得到E，C两点坐标，然后代入，求解的值，进而可得直线CD的函数表达式；D点为直线AB与直线CD的交点，联立方程组求解即可．
（2）①分情况求解：情况一，如图1，当P在CD上，设，过B作轴交CD于点M，将代入求解得到点M的坐标，根据，求解的值，进而得到点坐标；情况二，如图2，当P在CE上，设PB与x轴交于G ，根据，解得的值，得到点坐标，设直线的解析式为，将B，G点坐标代入求解的值，得直线的解析式，P为直线与直线CD的交点，联立方程组求解即可．
②分情况求解：情况一，如图3，当D落在x轴上（记为）时，作DH⊥y轴于点H，BH＝OB＝3，由翻折可知，，证明 ，，可得，PB∥x轴，可得P点纵坐标，代入解析式求解即可得点的坐标；情况二，如图4，当D落在y轴上（记为）时，作PM⊥BD，PN⊥OB，由翻折可知：，证明，有PM＝PN，由，，，解得的值，将代入中得的值，即可得到点坐标．
（1）
解：将代入得
∴点B的坐标为
将代入得，解得
∴点A的坐标为
∴由题意知点E，C坐标分别为，
将E，C两点坐标代入得
解得：
∴直线CD的函数表达式为；
联立方程组
解得
∴D点坐标为；
故答案为：；．
（2）
①解：分情况求解，情况一，如图1，当P在CD上，设，过B作轴交CD于点M

∴将代入中得
解得
∴点M的坐标为
由题意得
∴
解得
∴点坐标为；
情况二，如图2，当P在CE上，设PB与x轴交于G

由题意知：
解得
∴点坐标为
设直线的解析式为
将B，G点坐标代入得
解得
∴直线的解析式为
联立方程组
解得
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或．
②解：分情况求解：情况一，如图3，当D落在x轴上（记为）时，作DH⊥y轴于点H

∴BH＝OB＝3
由翻折可得：，
∵°
在和中

∴
∴
∵
∴
∴°
∴PB∥x轴
∴P点纵坐标为
将代入中得
解得
∴点的坐标为；
情况二，如图4，当D落在y轴上（记为）时，作PM⊥BD于M，PN⊥OB于N

由翻折可得：
在和中

∴
∴PM＝PN
∵，，
∴解得
将代入中得
解得
∴点坐标为；
综上所述，存在点，且点坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数的解析式，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，解二元一次方程组．解题的关键在于对知识的灵活运用．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线AB为y＝﹣x＋b交y轴于点A（0，3），交x轴于点B，直线x＝1交AB于点D，交x轴于点E，P是直线x＝1上一动点，且在点D的上方，设P（1，n）．

(1)求点B的坐标及点O到直线AB的距离；
(2)求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；
(3)当S△ABP＝时，在第一象限找点C，使△PBC为等腰直角三角形，直接写出点C的坐标．
【答案】(1)B（4，0），
(2)
(3)（5，7）或（8，3）或（，）

【分析】（1）求出直线AB的解析式，可求点B坐标，由面积法可求解；
（2）求出点D坐标，由三角形的面积公式可求解；
（3）先计算当S△ABP=时，P的坐标，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，分三种情况讨论：分别以三个顶点为直角顶点画三角形，根据图形可得C的坐标．
（1）
解：∵直线AB为y=x+b交y轴于点A（0，3），
∴b=3，AO=3，
∴直线AB解析式为：y=x+3，
令y=0，则0=x+3，x=4，
∴B（4，0），
∴OB=4，
∴AB==5，
∴S△AOB=×OA×OB=×AB×点O到直线AB的距离，
∴点O到直线AB的距离==；
（2）
∵点D在直线AB上，
∴当x=1时，y=，即点D（1，），
∴PD=n-，
∵OB=4，
∴S△ABP＝＝；
（3）
当S△ABP=时，，解得n=4，
∴点P（1，4），
∵E（1，0），
∴PE=4，BE=3，
第1种情况，如图，当∠CPB=90°，BP=PC时，过点C作CN⊥直线x=1于点N．

∵∠CPB=90°，
∴∠CPN+∠BPE=90°，又∠CPN+∠PCN=90°，
∴∠BPE=∠PCN，
又∵∠CNP=∠PEB=90°，BP=PC，
∴△CNP≌△PEB（AAS），
∴PN=EB=3，PE=CN=4，
∴NE=NP+PE=3+4=7，
∴C（5，7）；
第2种情况，如图，当∠PBC=90°，BP=BC时，过点C作CF⊥x轴于点F．

同理可证：△CBF≌△BPE（AAS），
∴CF=BE=3，BF=PE=4，
∴OF=OB+BF=4+4=8，
∴C（8，3）；
第3种情况，如图3，当∠PCB=90°，CP=CB时，
过点C作CH⊥BE，垂足为H，过点P作PG⊥CH，垂足为G，

同理可证：△PCG≌△CBH（AAS），
∴CG=BH，PG=CH，
∵PE=4，BE=3，设CG=BH=x，PG=CH=y，
则PE=GH=x+y=4，BE=PG-BH=y-x=3，
解得：x=，y=，
∴C（，），
∴以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，点C的坐标是（5，7）或（3，8）或（，）．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，三角形面积公式，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
8．如图，正比例函数与一次函数的图像相交于点，过点作轴的垂线，且，交一次函数的图像于点，交正比例函数的图像于点，连接．
（1）求值；
（2）设的面积为，求与之间的函数关系式；
（3）当时，在正比例函数与一次函数的图像上分别有一动点、，是否存在点、，使是等腰直角三角形，且，若存在，请直接写出点、的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）存在，，或，．
【分析】（1）把P（4，n）代入可求出n值，可得点P坐标，把点P坐标代入即可得a值；
（2）如图，过P作PD⊥l于D，根据a值可得一次函数解析式，可得B（t，-t+7），C（t，），根据可用含t的代数式表示BC的长，根据S△OBP=S△OBC+S△PBC，利用三角形面积公式即可得答案；
（3）如图，当点N在直线上方时，过点N作x轴的平行线，分别过C、M作平行线的垂线，垂足为Q、P，根据t值可得点C坐标，根据同角的余角相等可得∠QCN=∠PNM，利用AAS可证明△QCN≌△PNM，可得PN=QC，QN=PM，设M（m，），N（n，-n+7），列方程组求出m、n的值即可得M、N坐标，同理可得出点N在直线下方时M、N的坐标，即可得答案．
【详解】（1）∵点P（4，n）在图象上，
∴，
∴P（4，3），
∵点P（4，3）在图象上，
∴，
解得：．
（2）如图，过P作PD⊥l于D，
∵,
∴一次函数解析式为，
∵过点作轴的垂线，交的图像于点，交的图像于点，
∴B（t，-t+7），C（t，），
∵，P（4，3），
∴BC=-t+7-=，OA+PD=4，
∴S△OBP=S△OBC+S△PBC====，
∴与之间的函数关系式为：．

（3）如图，当点N在直线上方时，过点N作x轴的平行线，分别过C、M作平行线的垂线，垂足为Q、P，
∵t=2，
∴C（2，），
∵△CMN是等腰直角三角形，，
∴CN=MN，
∴∠PNM+∠CNQ=90°，
∵∠QCN+∠CNQ=90°，
∴∠QCN=∠PNM，
在△QCN和△PNM中，，
∴△QCN≌△PNM，
∴PN=QC，QN=PM，
∵t=2，
∴C（2，），
设M（m，），N（n，-n+7），
∴PN=，=，QN=n-2，PM=，
∴，
解得：，
∴，=，
∴M（，），N（，）．

如图，当点N在直线下方时，过点N作x轴的平行线，分别过C、M作平行线的垂线，垂足为H、G，
同理可得：CH=NG，HN=MG，
设M（m，），N（n，-n+7），
∴CH=，NG=，HN=，MG==，
∴，
解得：，
∴5，，
∴M（，5），N（，）．

综上所述：存在点M、N，坐标为M（，），N（，）或M（，5），N（，）．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及三角形面积，熟练掌握相关性质及判定定理并灵活运用分类讨论的思想是解题关键．
10．（1）[探究]对于函数y＝|x|，当x≥0时，y＝x；当x＜0时，y＝﹣x．
在平面直角坐标系中画出函数图象，由图象可知，函数y＝|x|的最小值是　 　．

（2）[应用]对于函数y＝|x﹣1|＋|x＋2|．
①当x≥1时，y＝　 　；当x≤﹣2时，y＝　 　；当﹣2＜x＜1时，y＝　 　．
②在平面直角坐标系中画出函数图象，由图象可知，函数y＝|x﹣1|＋|x＋2|的最小值是　 　．
（3）[迁移]当x＝　 　时，函数y＝|x﹣1|＋|2x﹣1|＋|3x﹣1|＋…＋|8x﹣1|取到最小值．
（4）[反思]上述问题解决过程中，涉及了一些重要的数学思想或方法，请写出其中一种．
【答案】（1）见解析；0；（2）①x，﹣x，﹣x＋2，②见解析；；（3）；（4）分段去绝对值．
【分析】（1）画出函数图象，直接得出结论；
（2）先去绝对值，得出函数关系式，再画出函数图象，即可得出结论；
（3）分段去绝对值，合并同类项，得出函数关系式，即可得出结论；
（4）直接得出结论．
【详解】解：（1）[探究]图象如图1所示，函数y＝|x|的最小值是0，
故答案为0；

（2）[应用]①当x≥1时，y＝x﹣1＋（x＋2）＝x；
当x≤﹣2时，y＝﹣x＋1﹣（x＋2）＝﹣x；
当﹣2＜x＜1时，y＝﹣x＋1＋（x＋2）＝﹣x＋2；
②函数图象如图2所示，

由图象可知，函数y＝|x﹣1|＋|x＋2|的最小值是，
故填：①x，﹣x，﹣x＋2，②；
（3）[迁移]
当x≤时，y＝﹣x＋1﹣2x＋1﹣3x＋1﹣4x＋1﹣5x＋1﹣6x＋1﹣7x＋1﹣8x＋1＝﹣36x＋8，
∴y≥，
当＜x≤时，y＝﹣x＋1﹣2x＋1﹣3x＋1﹣4x＋1﹣5x＋1﹣6x＋1﹣7x＋1＋8x﹣1＝﹣20x＋6，
∴≤y＜，
当＜x≤时，y＝﹣x＋1﹣2x＋1﹣3x＋1﹣4x＋1﹣5x＋1﹣6x＋1＋7x﹣1＋8x﹣1＝﹣6x＋4，
∴3≤y＜，
当＜x≤时，y＝﹣x＋1﹣2x＋1﹣3x＋1﹣4x＋1﹣5x＋1＋6x﹣1＋7x﹣1＋8x﹣1＝6x＋2，
∴3＜y≤，
当＜x≤时，y＝﹣x＋1﹣2x＋1﹣3x＋1﹣4x＋1＋5x﹣1＋6x﹣1＋7x﹣1＋8x﹣1＝16x，
∴＜y≤4，
当＜x≤时，y＝﹣x＋1﹣2x＋1﹣3x＋1＋4x﹣1＋5x﹣1＋6x﹣1＋7x﹣1＋8x﹣1＝24x﹣2，
∴4＜y≤6，
当＜x≤时，y＝﹣x＋1﹣2x＋1＋3x﹣1＋4x﹣1＋5x﹣1＋6x﹣1＋7x﹣1＋8x﹣1＝30x﹣4，
∴6＜y≤11，
当＜x≤1时，y＝﹣x＋1＋2x﹣1＋3x﹣1＋4x﹣1＋5x﹣1＋6x﹣1＋7x﹣1＋8x﹣1＝34x﹣6，
∴11＜y≤28，
当x＞1时，y＝x﹣1＋2x﹣1＋3x﹣1＋4x﹣1＋5x﹣1＋6x﹣1＋7x﹣1＋8x﹣1＝36x﹣8，
∴y＞28，
∴当x＝时，函数y＝|x﹣1|＋|2x﹣1|＋|3x﹣1|＋…＋|8x﹣1|取到最小值；
（4）[反思]
用到的数学思想有：数形结合的数学思想，分段去绝对值，
故答案为：分段去绝对值．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，去绝对值，函数图象的画法，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
11．如图，已知一次函数y=﹣x+8的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，与一次函数y=x的图象相交于点C．

（1）求点C坐标．
（2）若点Q在直线AB上，且△OCQ的面积等于12，请求出点Q的坐标．
（3）小明在探究中发现：若P为x轴上一动点，将线段PC绕点P按顺时针方向旋转90°得线段PC'，在点P的运动过程中，点C′始终在某一直线上运动．请直接写出该直线所对应的函数关系式：　 ．
【答案】（1）点C的坐标为（4，3）；（2）Q点的坐标为（1，）或（7，﹣）；（3）y=x﹣7．
【分析】（1）解析式联立，解方程组即可求得C的坐标；
（2）求得A、B点的坐标，分两种情况讨论求得即可；
（3）设P的坐标为（m，0），作CM⊥x轴于M，C′N⊥x轴于N，通过证得△PCM≌△C′PN（AAS），求得C′（3+m，m-4），即可得出结论．
【详解】（1）由方程组得，
∴点C的坐标为（4，3）；
（2）∵一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，
∴A（，0），B（0，8），
∵点Q在直线AB上，
∴设Q（x，），
当Q点在C的上方时，S△OCQ=S△OBC﹣S△OBQ=12，
∴×8×4﹣=12，解得，x=1，
∴此时Q的坐标为（1，）；
当Q点在线段AC上时，
S△OAC=××3=9.6<12，不存在，舍去；
当Q点在A的下方时，S△OCQ=S△OAC+S△OAQ=12，
∴××3+=12，解得，x=7，
∴此时Q的坐标为（7，﹣），
故Q点的坐标为（1，）或（7，﹣）；
（3）设P的坐标为（m，0），作CM⊥x轴于M，C′N⊥x轴于N，

∵C（4，3），
∴OM=4，CM=3，
∴PM=，
∵∠CPM+∠C′PN=90°=∠CPM+∠PCM，
∴∠C′PN=∠PCM，
在△PCM和△C′PN中，
，
∴△PCM≌△C′PN（AAS），
∴PN=CM=3，C′N=PM=4﹣m，
∴ON=3+m，
∴C′（3+m，m﹣4），
∴点C′始终在直线上y=x﹣7运动，
故答案为：y=x﹣7．
【点睛】本题考查了两条直线相交问题，一次函数图像上点的坐标特征，三角形的面积，解题的关键：（1）解由解析式联立构成的方程组；（2）分类讨论；（3）表示出C′的坐标．
12．如图1，直线y＝2x+b过点A（﹣1，﹣4）和B（m，8），它与y轴交于点G，点P是线段AB上的一个动点．
（1）求出b的值，并直接写出m＝　 　，点G的坐标为　 　；
（2）点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y＝﹣x﹣上，求点P的坐标；
（3）过点P作y轴的平行线PE，过点G作x轴的平行线GE，它们相交于点E．
①如图2，将△PGE沿直线PG翻折，当点E的对应点E′落在x轴上时，求点P的坐标；
②在点P从A运动到点B的过程中，点E′也随之运动，直接写出点E′的运动路径长为　 　．

【答案】（1）b=-2，m=5，G（0，-2）；（2）或；（3）①；②6．
【分析】（1）把点A（﹣1，﹣4）代入直线y＝2x+b即可求出b=-2，再把点B（m，8）代入y=2x-2即可求出m，把x=0,代入解析式即可求出点G坐标；
（2）设点P坐标为（p，2p-2），分点P与Q关于y轴对称，点P与Q关于x轴对称两种情况分别表示出点Q坐标，代入直线入y＝﹣x﹣求出p，即可分别求出点P坐标；
（3））①设直线AB与x轴交于点M，根据对称与平行的性质证明E'M=E'G，设GE=GE'= E'M=m，
根据勾股定理构造方程，求出m，即可求出点P坐标；②根据点E的位置求出点E的运动路径为6，根据对称的性质即可确定点E′的运动路径长也为6．
【详解】解：（1）把点A（﹣1，﹣4）代入直线y＝2x+b得
-2+b=-4，
解得 b=-2，
所以直线解析式为y=2x-2，
把点B（m，8）代入y=2x-2得
2m-2=8，
解得m=5，
令x=0，则y=-2，
∴点G坐标为（0，-2）
故答案为：b=-2，m=5，G（（0，-2））；
（2）∵点P在直线AB上，
∴设点P坐标为（p，2p-2）．
当点P与Q关于y轴对称时，则点Q坐标为（-p，2p-2），代入y＝﹣x﹣得
，
解得 ，
此时2p-2=，
∴P1坐标为，
当点P与Q关于x轴对称时，则点Q坐标为（p，-2p+2），代入y＝﹣x﹣得
，
解得 ，
则2p-2=，
∴P2坐标为，
∴点P的坐标为或；
（3）①如图2，设直线AB与x轴交于点M，
则2x-2=0，
∴x=1，
∴点M坐标为（1,0），
∵GE∥x轴，
∴∠EGM=∠E'MG，
∵△PGE沿直线PG翻折得到△△PGE'
∴∠EGM=∠E'GM，
∴∠E'MG=∠E'GM，
∴E'M=E'G，
设GE=GE'= E'M=m，
在Rt△GE'O中，，
解得 ，
∴点P横坐标为
把x=代入y=2x-2得y=3，
∴点P坐标为；

②由题意得，当点P位于点A时，点E的横坐标为-1，当点P运动点B时，点E横坐标为5，
∴P从A运动到点B的过程中,点E的运动路径长为6，
∵点E′与点E关于直线AB对称，
∴P从A运动到点B的过程中,点E′的运动路径长也为6．
故答案为为：6
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，综合性较强，理解函数图象上点的特点，轴对称的性质等腰三角形的判定，勾股定理等知识是解题关键．
13．如图1所示，直线与轴负半轴，轴正半轴分别交于、两点．

（1）当时，求直线的解析式；
（2）在（1）的条件下，如图2所示，设线段延长线上一点，作直线，过、两点分别作于点，于点，若，BN=3，求的长；
（3）如图3，当取不同的值时，点在轴正半轴上运动，分别以、为边，点为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角和等腰直角，连接交轴于点，当点在轴正半轴上运动时，试猜想的面积是否改变；若不改变，请求出其值；若改变，请说明理由．
（4）如图3，当取不同的值时，点在轴正半轴上运动，以为边，点为直角顶点，在第二象限作等腰直角，则动点在直线______上运动．（直接写出直线的解析式）
【答案】（1）y＝x＋5；（2）7；（3）的面积不改变，；（4）y=5-x．
【分析】（1）令y＝0可求得x＝−5，从而可求得点A的坐标，令x＝0得y＝5m，由OA＝OB可知点B的纵坐标为5，从而可求得m的值；
（2）依据AAS证明△AMO≌△ONB，由全等三角形的性质可知ON＝AM，OM＝BN，最后由MN＝AM＋BN可求得MN的长；
（3）过点E作EG⊥y轴于G点，先证明△ABO≌△EGB，从而得到BG＝5，然后证明△BFP≌△GEP，从而得到BP＝GP＝BG，进而求出的面积；
（4）由△ABO≌△BEG，得BG＝AO＝5，OB＝EG=5m（m＞0），从而得到点E的坐标，进而即可得到答案．
【详解】（1）令y=0，代入，得，解得：x=-5，
令x=0，代入，得y=5m，
∴A（−5，0），B（0，5m），
∵OA＝OB，
∴5m＝5，即m＝1．
∴直线的解析式为：y＝x＋5；
（2）∵AM⊥OQ，BN⊥OQ，
∴∠AMO＝∠BNO＝90°，
∴∠AOM＋∠MAO＝90°，
∵∠AOM＋∠BON＝90°，
∴∠MAO＝∠NOB，
在△AMO和△ONB中，
，
∴△AMO≌△ONB，
∴ON＝AM，OM＝BN．
∵AM＝4，BN＝3，
∴MN＝AM＋BN＝7；
（3）的面积不改变，理由如下：
如图3所示：过点E作EG⊥y轴于G点，连接AP，

∵△AEB为等腰直角三角形，
∴AB＝EB，∠ABO＋∠EBG＝90°，
∵EG⊥BG，
∴∠GEB＋∠EBG＝90°．
∴∠ABO＝∠GEB．
在△ABO和△EGB中，

∴△ABO≌△BEG，
∴BG＝AO＝5，OB＝EG，
∵△OBF为等腰直角三角形，
∴OB＝BF，
∴BF＝EG．
在△BFP和△GEP中，

∴△BFP≌△GEP，
∴BP＝GP＝BG＝，
∴的面积=BP∙OA=××5=；
（4）由（3）可知：△ABO≌△BEG，
∴BG＝AO＝5，OB＝EG=5m（m＞0）
∴OG=5+5m，
∵点E在第二象限，
∴点E（-5m，5+5m），
设x=-5m，y=5+5m，
∴y=5-x，即动点在直线y=5-x上运动，
故答案是：y=5-x．
【点睛】本题主要考查一次函数的图像和性质与几何图形的综合，添加合适的辅助线构造“一线三直角”全等三角形模型，是解题的关键．
14．如图所示，已知点M（1，4），N（5，2），P（0，3），Q（3，0），过P，Q两点的直线的函数表达式为y＝﹣x+3，动点P从现在的位置出发，沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，设移动时间为ts．
（1）若直线PQ随点P向上平移，则：
①当t＝3时，求直线PQ的函数表达式．
②当点M，N位于直线PQ的异侧时，确定t的取值范围．
（2）当点P移动到某一位置时，△PMN的周长最小，试确定t的值．
（3）若点P向上移动，点Q不动．若过点P，Q的直线经过点A（x0，y0），则x0，y0需满足什么条件？请直接写出结论．

【答案】（1）①y＝﹣x+6，②2＜t＜4；（2）；（3）x0＜3时，y0＞﹣x+3，当x0＞3时，y0＜﹣x0+3．
【分析】（1）①设平移后的函数表达式为：y＝﹣x+b，其中b＝3+t，即可求解；
②当直线PQ过点M时，将点M的坐标代入y＝﹣x+3+t得：4＝﹣1+3+t，解得：t＝2；同理当直线PQ过点N时，t＝4，即可求解；
（2）作点N关于y轴的对称轴N′（﹣5，2），连接MN′交y轴于点P，则点P为所求点，即可求解；
（3）由题意得：x0＜3时，y0＞﹣x+3，当x0＞3时，y0＜﹣x0+3．
【详解】解：（1）①设平移后的函数表达式为：y＝﹣x+b，其中b＝3+t，
故y＝﹣x+3+t，
当t＝3时，PQ的表达式为：y＝﹣x+6；
②当直线PQ过点M时，将点M的坐标代入y＝﹣x+3+t得：4＝﹣1+3+t，解得：t＝2；
同理当直线PQ过点N时，t＝4，
故t的取值范围为：2＜t＜4；
（2）作点N关于y轴的对称轴N′（﹣5，2），连接MN′交y轴于点P，则点P为所求点，

则PN＝PN′，
△PMN的周长＝MN+PM+PN＝MN+PM+PN′＝MN+MN′为最小，
设直线MN′的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，
故直线MN′的表达式为：y＝x+，
当x＝0时，y＝，故点P（0，），
∴t＝﹣3＝；
（3）点A（x0，y0），点Q（3，0），点P（0，t+3）
由题意得：x0＜3时，y0＞﹣x+3，当x0＞3时，y0＜﹣x0+3．
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、点的对称性、图形的平移等，综合性强，难度适中．
15．
(1)问题解决：如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，点A、B、C的坐标分别为______、______、______ ．
(2)综合运用：①如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标（0，﹣6），点B坐标（8，0），过点B作x轴垂线l，点P是l上一动点，点D是在一次函数y＝﹣2x+2图像上一动点，若△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．
②如图 2，在⑵的条件中，若 M 为 x 轴上一动点，连接 AM，把 AM 绕 M 点逆时针旋转90°至线段 NM，ON+AN 的最小值是______．
【答案】(1)A（﹣4，0），B（0，1）， C（﹣5，4）
(2)①D（0，2）或（）；②

【分析】（1）利用坐标轴上点的特点可得出A、B的坐标，过点C作CD⊥x轴于D，构造出△ADC≌△BOA，求出AD，CD，即可得出结论；
（2）①过点D作DF⊥y轴于F，延长FD交BP于G，设点D（m，﹣2m+2），求出
AF，证明△AFD≌△DGP，根据DF+DG＝DF+AF＝8列式计算即可；
②设M（t，0）过点N作NH⊥x轴交x轴于H，易证△AOM≌△MHN，可得ON+AN＝＝S，故S可以看作点（t，t）到（﹣6，0）和（﹣6，6）两点距离之和，（t，t）在y＝x上，如图，F（﹣6，0），E（﹣6，6），作F关于y＝x的对称点为P，可知当E、D、P三点共线时，S取得最小值为EP，求出EP即可．
（1）解：对于一次函数y＝x+1，令x＝0，y＝1，∴B（0，1），令y＝0，则x+1＝0，∴x＝﹣4，∴A（﹣4，0），∴OA＝4，OB＝1，即A（﹣4，0），B（0，1），过点C作CD⊥x轴于D，∴∠ADC＝∠BOA＝90°，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠CAD+∠BAO＝90°，∴∠ACD＝∠BAO，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝AB，在△ADC和△BOA中， ，∴△ADC≌△BOA（AAS），∴CD＝OA＝4，AD＝OB＝1，∴OD＝OA+AD＝5，∴C（﹣5，4）；故答案为：（﹣4，0），（0，1），（﹣5，4）；
（2）解：①如图，过点D作DF⊥y轴于F，延长FD交BP于G，∵点A坐标（0，﹣6），点B坐标（8，0），∴DF+DG＝OB＝8，∵点D在直线y＝﹣2x+2上，∴设点D（m，﹣2m+2），∴F（0，﹣2m+2），OF＝|2m﹣2|，AF＝|2m﹣2﹣6|＝|2m﹣8|，∵BP⊥x轴，B（8，0），∴G（8，﹣2m+2），同（1）的方法得，△AFD≌△DGP（AAS），∴AF＝DG，DF＝PG，∵DF+DG＝DF+AF＝8，∴m+|2m﹣8|＝8，∴m＝或m＝0，∴D（0，2）或（，）；（3）设M（t，0），过点N作NH⊥x轴交x轴于H，根据旋转的性质易证△AOM≌△MHN，∴OM＝HN，OA＝HM，∴N（t+6，t），∴ON+AN＝＝S，故S可以看作点（t，t）到（﹣6，0）和（﹣6，6）两点距离之和，（t，t）在y＝x上，如图，∵D（t，t）是y＝x上的动点，F（﹣6，0），E（﹣6，6），∴S＝DE+DF，∵F关于y＝x的对称点为P（0，﹣6），DF＝DP，∴当E、D、P三点共线时，S取得最小值为EP＝，即ON+AN的最小值是．故答案为： ．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图像和性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，方程的思想，勾股定理等，构造全等三角形是解本题的关键．
16．给出如下定义：在平面直角坐标系中，已知点，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最短间距”，例如：如图，点的“最短间距”是1（即的长）．

(1)点的最短间距是_________；
(2)已知点，点在第三象限．
①若点O，A，B的最短间距是1，求y的值；
②点O，A，B的“最短间距”的最大值为__________；
(3)已知直线l与坐标轴分别交于点和，点是线段上的一个动点，当点的最短间距取到最大值时，则此时点P的坐标_________．
【答案】(1)2
(2)①-1；②3
(3)（，）

【分析】（1）分别计算出Q1Q2，Q2Q3，Q1Q3的长度，比较得出最小值即可；
（2）①分别计算出OA，AB的长度，由于斜边大于直角边，故OB＞OA，OB＞AB，所以“最佳间距”为OA或者AB的长度，由于“最佳间距”为1，而OA=3，故OB=1，即可求解y的值；
②由①可得，“最佳间距”为OA或AB的长度，当OA≤AB时，“最佳间距”为OA=3，当OA＞AB时，“最佳间距”为AB＜3，比较两个“最大间距”，即可解决；
（3）同（2），当点O（0，0），E（m，0），P（m，n）的“最佳间距”为OE或者PE的长度，先求出直线CD的解析式，用m表示出线段OE和线段PE的长度，分两类讨论，当OE≥PE和OE＜PE时，求出各自条件下的“最佳间距”，比较m的范围，确定“最佳间距”的最大值，进一步求解出P点坐标．
(1)
解：∵Q1（2，1），Q2（4，1），
∴Q1Q2∥x轴，
∴Q1Q2=2，
同理，Q2Q3=3，
在Rt△Q1Q2Q3中，Q1Q3=，
∵2＜3＜，
∴“最短间距”为2，
故答案为：2；
(2)
①∵O（0，0），A（-3，0），
∴OA=3，
同理，AB=|y|，
在直角△ABO中，
OB＞OA，OB＞AB，
又∵点O，A，B的“最佳间距”是1，
且3＞1，
∴|y|=1，
∵点在第三象限，
∴y=-1，
故答案为：-1；
②由①可得，OB＞OA，OB＞AB，
∴“最佳间距”的值为OA或者是AB的长，
∵OA=3，AB=|y|，
当AB≥OA时，“最佳间距”为3，
当AB＜OA时，“最佳间距”为|y|＜3，
∴点O，A，B的“最佳间距”的最大值为3，
故答案为：3；
(3)
设直线CD为y=kx+3，代入点D得，如图2，

4k+3=0
∴k=，
∴直线CD的解析式为：，
∵P（m，n），E（m，0），且P是线段CD上的一个动点，
∴PE∥y轴，
∴OE=m，PE=n=m+3，
①当m≥m+3时，即OE≥PE时，m≥，“最佳间距”为m+3，此时m+3≤；
②当m＜m+3时，即OE＜PE时，m＜，“最佳间距”为m，此时m＜；
∴点O（0，0），E（m，0），P（m，n）的“最佳间距”取到最大值时，m+3=，
∴m=，
∴n=m+3=，
∴P（，）．
【点睛】本题是一次函数背景下的新定义题目，提炼出新定义的规则，根据规则，分类讨论是解决问题的关键，（2）中OA与AB的长度大小不确定时，需要分类讨论，是解决此题的突破口．
17．建立模型：如图1，已知△ABC，AC=BC，∠C=90°，顶点C在直线l上．
实践操作：过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E，求证：△CAD≌△BCE．
模型应用：（1）如图2，在直角坐标系中，直线l1：y=x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，将直线l1绕着点A顺时针旋转45°得到l2．求l2的函数表达式．
（2）如图3，在直角坐标系中，点B（8，6），作BA⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P是线段BC上的一个动点，点Q（a，2a﹣6）位于第一象限内．问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时a的值，若不能，请说明理由．

【答案】实践操作：详见解析；模型应用：（1）y=x+4；（2）A、P、Q可以构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，a的值为或4．
【分析】操作：根据余角的性质，可得∠ACD＝∠CBE，根据全等三角形的判定，可得答案；
应用（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B点坐标，根据全等三角形的判定与性质，可得CD，BD的长，根据待定系数法，可得AC的解析式；
（2）分两种情况讨论：①当Q在直线AP的下方时，②当Q在直线AP的上方时．根据全等三角形的性质，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．
【详解】操作：如图1：

∵∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE．
在△ACD和△CBE中，∵，∴△CAD≌△BCE（AAS）；
（1）∵直线yx+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，∴A（0，4）、B（﹣3，0）．如图2：

过点B做BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴．
在△BDC和△AOB中，∵，∴△BDC≌△AOB（AAS），∴CD＝BO＝3，BD＝AO＝4．OD＝OB+BD＝3+4＝7，∴C点坐标为（﹣7，3）．
设l2的解析式为y＝kx+b，将A，C点坐标代入，得：，解得：，l2的函数表达式为yx+4；
（2）由题意可知，点Q是直线y＝2x﹣6上一点．分两种情况讨论：
①当Q在直线AP的下方时，如图3，过点Q作EF⊥y轴，分别交y轴和直线BC于点E、F．
在△AQE和△QPF中，∵，∴△AQE≌△QPF（AAS），AE＝QF，即6﹣（2a﹣6）＝8﹣a，解得：a＝4．

②当Q在直线AP的上方时，如图4，过点Q作EF⊥y轴，分别交y轴和直线BC于点E、F，AE＝2a﹣12，FQ＝8﹣a．
在△AQE和△QPF中，∵，∴△AQE≌△QPF（AAS），AE＝QF，即2a﹣12＝8﹣a，解得：a．

综上所述：A．P、Q可以构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，a的值为或4．
【点睛】本题考查了一次函数综合题，利用余角的性质得出∠ACD＝∠CBE是解题的关键，又利用了全等三角形的判定；利用了全等三角形的性质得出CD，BD的长是解题的关键，又利用了待定系数法求函数解析式；利用全等三角形的性质得出关于a的方程是解题的关键，要分类讨论，以防遗漏．
18．如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．OA、OB的长度分别为m和n，且满足m2+n2＝2mn．
（1）判断△AOB的形状．
（2）如图②，正比例函数y＝kx（k＜0）的图象与直线AB交于点Q，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM＝13，MN＝6，求BN的长．
（3）如图③，E为线段AB上一动点，以AE为斜边作等腰直角△ADE，P为BE的中点，连接PD、PO．试问：线段PD、PO是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明．

【答案】（1）△AOB是等腰直角三角形，理由见解析；（2）BN＝7；（3）PO＝PD，PO⊥PD
【分析】（1）把m2+n2＝2mn变形后，因式分解，得到m=n即可判断；
（2）证△MAO≌△NOB，利用线段和差可求；
（3）延长DP到点C，使PC＝DP，连接CB、OD、OC，证△DOC为等腰直角三角形，根据三线合一可得结论．
【详解】解：（1）△AOB是等腰直角三角形，
理由：
∵m2+n2＝2mn，
∴m2+n2﹣2mn＝0，
∴（m﹣n）2＝0，
∴m＝n，即OA＝OB，
∵∠AOB＝90°，
∴△AOB为等腰直角三角形；
（2）∵AM⊥ON，BN⊥ON，
∴∠AMO＝∠BNO＝90°，
∴∠MOA+∠MAO＝90°，
∵∠MOA+∠NOB＝90°，
∴∠MAO＝∠NOB，
在△MAO和△NOB中，
，
∴△MAO≌△NOB（AAS），
∴OM＝BN，AM＝ON＝13，
∵MN＝ON﹣OM，MN＝6，
∴6＝13﹣OM，
∴OM＝7，
∴BN＝7；
（3）PO＝PD且PO⊥PD，
如图3，延长DP到点C，使PC＝DP，连接CB、OD、OC，

在△DEP和△CBP，
，
∴△DEP≌△CBP（SAS），
∴CB＝DE＝DA，∠DEP＝∠CBP＝135°，
则∠CBO＝∠CBP﹣∠ABO＝135°﹣45°＝90°，
又∵∠BAO＝45°，∠DAE＝45°，
∴∠DAO＝90°，
在△OAD和△OBC，
，
∴△OAD≌△OBC（SAS），
∴OD＝OC，∠AOD＝∠COB，
∴∠DOC＝∠AOB＝90°，
∴△DOC为等腰直角三角形，
∵PC＝DP，
∴PO=PD，PO⊥PD．
【点睛】本题考查了一次函数和全等三角形的综合，解题关键是恰当的作辅助线，通过全等求线段长或线段的关系．
19．已知：如图，一次函数y＝x+3的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点C（2，0）的一次函数y＝kx+b的图象相交于点D，点D的横坐标为4，直线CD与y轴相交于点E．

（1）直线CD的函数表达式为　 　；（直接写出结果）
（2）点Q为线段DE上的一个动点，连接BQ．
①若直线BQ将△BDE的面积分为1：2两部分，试求点Q的坐标；
②点Q是否存在某个位置，将△BQD沿着直线BQ翻折，使得点D恰好落在直线AB下方的坐标轴上？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝3x﹣6；（2）①Q的坐标为（，﹣2）或（，2）；②点Q的坐标为（3，3）或（，）．
【分析】（1）求出C、D两点坐标即可解决问题；
（2）①分两种情形S△BEQ＝S△BDE或S△BEQ＝S△BDE分别构建方程即可；
②分两种情形当：点D落在x正半轴上（记为点D1）时，如图2中．当点D落在y负半轴上（记为点D2）时，如图3中．分别求解即可
【详解】解：（1）由题意：D（4，6），C（2，0），
设直线CD的解析式为y＝kx+b，则有 ，
解得 ，
∴直线CD的解析式为y＝3x﹣6．
故答案为y＝3x﹣6．
（2）①∵直线BQ将△BDE的面积分为1：2两部分，

∴S△BEQ＝S△BDE或S△BEQ＝S△BDE．
在y＝x+3中，当x＝0时，y＝3；当x＝4时，y＝6．
∴B（0，3），D（4，6）．
在y＝3x﹣6中，当x＝0时，y＝﹣6．
∴E（0，﹣6）．
∴BE＝9．
如图1中，过点D作DH⊥y轴于点H，则DH＝4．
∴S△BDE＝BE•DH＝×9×4＝18．
∴S△BEQ＝×18＝6或S△BEQ＝×18＝12．
设Q（t，3t﹣6），由题意知t＞0．
过点Q作QM⊥y轴于点M，则QM＝t．
∴×9×t＝6或×9×t＝12．
解得t＝ 或 ．
当t＝时，3t﹣6＝﹣2；当t＝时3t﹣6＝2．
∴Q的坐标为（，﹣2）或（，2）．
②当点D落在x正半轴上（记为点D1）时，如图2中．

由（2）知B（0，3），D（4，6），
∴BH＝BO＝3．
由翻折得BD＝BD1．
在△Rt△DHB和Rt△D1OB中，
，
∴Rt△DHB≌Rt△D1OB．
∴∠DBH＝∠D1BO．
由翻折得∠DBQ＝∠D1BQ．
∴∠HBQ＝∠OBQ＝90°．
∴BQ∥x轴．
∴点Q的纵坐标为3．
在y＝3x﹣6中，当y＝3时，x＝3．
∴Q（3，3），
当点D落在y负半轴上（记为点D2）时，如图3中．

过点Q作QM⊥BD，QN⊥OB，垂足分别为点M、N．
由翻折得∠DBQ＝∠D2BQ．
∴QM＝QN．
由（2）知S△BDE＝18，即S△BQD+S△BQE＝18．
∴BD•QM+BE•QN＝18．
在Rt△BDH中，由勾股定理，得BD＝ ＝＝5．
∴×5•QN+×9•QN＝18．
解得QN＝．
∴点Q的横坐标为．
在y＝3x﹣6中，当x＝时，y＝．
∴Q（，）．
综合知，点Q的坐标为（3，3）或（，）．
故答案为（1）y＝3x﹣6；（2）①Q的坐标为（，﹣2）或（，2）；②点Q的坐标为（3，3）或（，）．
【点睛】本题考查一次函数综合题、三角形的面积、角平分线的性质定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．