河南省信阳高级中学2022-2023学年高一数学上学期12月测试试题（Word版附解析）

这是一份河南省信阳高级中学2022-2023学年高一数学上学期12月测试试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了已知函数，则函数y＝f，下列命题中，真命题的个数有，已知定义在R+上的函数f，下列函数值中符号为正的是，已知函数f等内容，欢迎下载使用。
河南省信阳高级中学2022-2023学年高一上期12月测试
数学试题（一）
一．单选题（共8小题，40分）
1．设集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0，x∈N*}，集合B＝{x|y＝}，则集合A∩B等于（　　）
A．1 B．[1，2） C．{1} D．{x|x≥1}
2.设a＝30.7，b＝（）﹣0.8，c＝log0.73，则a，b，c的大小关系为（　　）
2． A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
3．已知函数，则函数y＝f（1﹣x）的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
4．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα＝，则sinβ＝（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
5．下列命题中，真命题的个数有（　　）
①∀x∈R，x2﹣x+≥0；
②∃x＞0，lnx+≤2；
③“a＞b”是“ac2＞bc2”的充要条件；
④f（x）＝3x﹣3﹣x是奇函数．公众号高中试卷资料下载
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．若a＞0，b＞0，则下面结论正确的有（　　）
A．2（a2+b2）≤（a+b）2
B．若，则
C．若ab+b2＝2，则a+b≥4
D．若a+b＝1，则ab有最大值
7．“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝eax+b（a，b为常数），若该果蔬在6℃的保鲜时间为216小时，在24℃的保鲜时间为8小时，那么在12℃时，该果蔬的保鲜时间（　　）小时．
A．72 B．36 C．24 D．16
8．已知定义在R+上的函数f（x）单调递减，且对任意x∈（0，+∞）恒有f（f（x）﹣）＝1，则函数f（x）的零点为（　　）
A． B． C．2 D．4
二．多选题（共4小题，20分）
9．下列函数值中符号为正的是（　　）
A．sin（﹣1000°） B．cos（﹣）
C．tan2 D．
10．已知正实数x，y满足，则下列结论正确的是（　　）
A． B．x3＜y3 C．ln（y﹣x+1）＞0 D．2x﹣y＜
11.设函数f（x）的定义域为R，f（x﹣1）为奇函数，f（x+1）为偶函数，当x∈（﹣1，1]时，f（x）＝﹣x2+1，则下列结论正确的是 （　　）
A．
B．f（x）在（6，8）上为减函数
C．点（3，0）是函数f（x）的一个对称中心
D．方程f（x）+lgx＝0仅有6个实数解
12．已知函数f（x）＝ln（+x）+x5+3，函数g（x）满足g（﹣x）+g（x）＝6．则（　　）
A．f（lg3）+f（lg）＝6
B．函数g（x）的图象关于点（3，0）对称
C．若实数a，b满足f（a）+f（b）＞6，则a+b＞0
D．若函数f（x）与g（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），则x1+x2+x3+y1+y2+y3＝6
三．填空题（共4小题，20分）
13．已知集合A＝{x|2ax2+（2a﹣8）x+1＝0}有且仅有两个子集，则a的取值集合为 　 　．
14．函数f（x）为R上的奇函数，在（﹣∞，0）上是增函数，f（5）＝0，则xf（x）＞0的解集是　 　．
15．已知幂函数f（x）＝（m∈N*）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，则满足（a+1）＜（3﹣2a）的a的取值范围是　 　．
16．已知函数，设a，b，c是三个不相等的实数，且满足f（a）＝f（b）＝f（c），则abc的取值范围为　 　．
四．解答题（共7小题，70分）
17．（10分）求下列各式的值：
（1）；
（2）．
18．（12分）设函数y＝ax2+（b﹣2）x+3．
（1）若不等式y＞0的解集为{x|﹣1＜x＜3}，求a，b的值；
（2）若x＝1时，y＝2，a＞0，b＞﹣1，求的最小值；
（3）若b＝﹣a，求不等式y≤1的解集．
19．（12分）某种股票类理财产品在过去的一个月内（以30天计，包括第30天），第x天每份的交易价格P（x）（元）满足P（x）＝135.5﹣|x﹣14.5|（1≤x≤30，x∈N+），第x天的日交易量Q（x）（万份）的部分数据如表所示：
第x（天）
1
2
5
10
Q（x）（万份）
20
15
12
11
（1）给出以下两种函数模型：①Q（x）＝ax+b，②．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该股票类理财产品日交易量Q（x）（万份）与时间第x天的函数关系（简要说明理由），并求出该函数的关系式；
（2）根据（1）的结论求出该股票类理财产品在过去一个月内第x天的日交易额f（x）的函数关系式，并求其最小值．
20．（12分）已知函数
（1）若f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，判断函数f（x）在[﹣1，1]上是否有零点，并说明理由；
（3）若函数f（x）在R上有零点，求a的取值范围．
21．（12分）已知函数，其中a是大于0的常数．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）当a∈（1，4）时，求函数f（x）在[2，+∞）上的最小值；
（3）若对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，试确定a的取值范围．
22．（12分）已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f（x）+g（x）＝2x．
（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；
（2）判断并证明函数f（x）在定义域上的单调性；
（3）求函数h（x）＝f（g（x））+g（f（x））的最小值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：∵x2﹣x﹣2＜0⇒（x+1）（x﹣2）＜0，∴﹣1＜x＜2，
又x∈N*，∴A＝{1}，
∵y＝，
∴log2x≥0且x＞0，
∴x≥1，即B＝{x|x≥1}，
∴A∩B＝{1}
故选：C．
2．【解答】解：∵＝30.8＞30.7＞30＝1，∴b＞a＞1，
∵log0.73＜log0.71＝0，∴c＜0，
∴c＜a＜b，
故选：D．
3．【解答】解：∵当x＝0时y＝2，∴函数 y＝f （1﹣x） 的点为：（0，f（1）），即（0，2）在函数的图象上，排除A，B选项；
当x＝﹣1时，1﹣x＝2，f[（1﹣（﹣1）]＝f（2）＝＝﹣1＜0．排除C；
∵1﹣x≤1时，即x≥0时，∴f（1﹣x）＝＞0，
∴此函数在x＞0时函数值为正，排除B，
故选：D．
4．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，公众号高中试卷资料下载
∴α+β＝π+2kπ，k∈Z，
∵sinα＝，
∴sinβ＝sin（π+2kπ﹣α）＝sinα＝．k∈Z．
故选：B．
5．【解答】解：对于①，∵，∴∀x∈R，x2﹣x+≥0正确；
对于②，∵lnx∈R，∴∃x＞0，lnx+≤2正确；
对于③，“a＞b”⇒“ac2≥bc2”，故错；
对于④，∵f（﹣x）＝3﹣x﹣3x＝﹣f（x），且定义域为R，是奇函数，故正确．
故选：C．
6．【解答】解：对于A：∵a2+b2≥2ab，∴2（a2+b2）≥（a+b）2，当且仅当a＝b时取等号，所以A不正确，
对于B：若a＞0，b＞0，，
则，
当且仅当且，即时取等号，所以B正确，
对于C：∵a＞0，b＞0，ab+b2＝2，
∴a＝＞0，∴b2﹣2＜0，且b＞0，解得0＜b＜，∴a+b＝，所以C不正确，
对于D：∵a＞0，b＞0，∴，当且仅当时取等号，则ab有最大值，所以D不正确，
故选：B．
7．【解答】解：当x＝6时，e6a+b＝216；
当x＝24时，e24a+b＝8，
则，整理可得，
所以eb＝648，
从而当x＝12时，．
故选：A．
8．【解答】解：设f（x）﹣＝t，则f（x）＝+t
方程等价为f（t）＝1，
令x＝t，则f（t）＝+t＝1，解得t＝1，
∵函数f（x）单调递减，
∴t值唯一，
∴f（x）＝+1，
由f（x）＝+1＝0得＝﹣1，
解得x＝2，
故选：C．
二．多选题（共4小题）
9．【解答】解：对于A，sin（﹣1000°）＝sin（﹣360°×3+80°）＝sin80°＞0，所以选项A满足题意；
对于B，cos（﹣）＝cos＝＞0，所以选项B满足题意；
对于C，因为＜2＜π，所以tan2＜0，所以选项C不满足题意；
对于D，＝＝＞0，所以选项D满足题意．
故选：ABD．
10．【解答】解：∵正实数x，y满足，∴log2x﹣2﹣x＜log2y﹣2﹣y．
令f（x）＝log2x﹣2﹣x，则 f（y）＝log2y﹣2﹣y，则 f（x）＜f（y）．
∵函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，故由f（x）＜f（y）可得 0＜x＜y，∴＞，故A错误；
∴x3＜y3，故B正确；
∴y﹣x+1＞1，∴ln（y﹣x+1）＞ln1＝0，故C正确；
根据 2x﹣y＜20＝1，故D不一定正确，
故选：BC．
11．【解答】解：因为f（x﹣1）为奇函数，所以f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1），即f（﹣x）＝﹣f（x﹣2），
所以f（x）关于点（﹣1，0）对称；
因为f（x+1）为偶函数，所以f（﹣x+1）＝f（x+1），即f（﹣x）＝f（x+2），
所以f（x）关于x＝1对称，
由f（﹣x）＝﹣f（x﹣2），f（﹣x）＝f（x+2）得f（x+2）＝﹣f（x﹣2），
所以f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），即f（x）是周期为8的周期函数；
对于A，f（）＝f（+2）＝f（﹣）＝﹣（﹣）2+1＝，A错误；
对于C，因为f（x+6）＝﹣f（x+2）＝﹣f（﹣x），即f（x+6）+f（﹣x）＝0，
所以f（x）关于点（3，0）成中心对称，C正确；
对于BD，由周期性和对称性可得f（x）图象如下图所示：

由图象可知：f（x）在（6，8）上单调递增，B错误；
方程f（x）+lgx＝0的解的个数等价于f（x）与y＝﹣lgx的交点个数，
因为f（12）＝f（4）＝﹣f（0）＝﹣1，﹣lg12＜﹣lg10＝﹣1，
所以结合图象可知：f（x）与y＝﹣lgx共有6个交点，即f（x）+lgx＝0有6个实数解，D正确．
故选：CD．
12．【解答】解：因为函数f（x）＝ln（+x）+x5+3，
所以函数f（x）的定义域为R，
又f（x）+f（﹣x）＝ln（+x）+x5+3+ln（﹣x）﹣x5+3＝6，
因为lg3＝，
则f（lg3）+f（lg）＝6，
故选项A正确；
因为g（x）+g（﹣x）＝6，
所以g（x）关于点（0，3）对称，
故选项B错误；
因为f（x）＝ln（+x）+x5+3，
所以＝，
故函数f（x）在R上单调递增，
因为f（a）+f（b）＞6，则f（a）+f（b）＞f（a）+f（﹣a），
所以f（b）＞f（﹣a），
故b＞﹣a，所以a+b＞0，
故选项C正确；
因为f（x）+f（﹣x）＝6，
所以f（x）关于点（0，3）对称，
又g（x）关于点（0，3）对称，
令x＝0，则f（0）＝3，g（0）＝3，
因为函数f（x）与g（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），
不妨设x1＜x2＜x3，
根据对称性可知，x1+x3＝0，x2＝0，y1+y3＝6，y2＝3，
则x1+x2+x3+y1+y2+y3＝9，
故选项D错误．
故选：AC．
三．填空题（共4小题）
13．【解答】解：集合A＝{x|2ax2+（2a﹣8）x+1＝0}有且仅有两个子集，
则集合A只有一个元素，
当a＝0时，﹣8x+1＝0，解得x＝，符合题意，
当a≠0时，Δ＝（2a﹣8）2﹣4×2a×1＝0，解得a＝2或a＝8，
综上所述，a的取值集合为{0，2，8}．
故答案为：{0，2，8}．
14．【解答】解：函数f（x）为R上的奇函数，f（5）＝0且在（﹣∞，0）上是增函数，则其大致图象如图：
xf（x）＞0⇒或，
由图象分析可得：x＜﹣5或x＞5，即不等式的解集为（﹣∞，﹣5）∪（5，+∞）；
故答案为：（﹣∞，﹣5）∪（5，+∞）．

15．【解答】解：∵f（x）＝（m∈N*）在（0，+∞）上是减函数，
∴m2﹣2m﹣3＜0，
解得﹣1＜m＜3．
∵m∈，
∴m＝1，或m＝2．
又∵f（x）＝（m∈N*）的图象关于y轴对称，
∴m2﹣2m﹣3是偶数，
∴m＝1．
∵g（x）＝在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是减函数，
且当x＜0时，g（x）＜0，当x＞0时，g（x）＞0，
（a+1）＜（3﹣2a），
∴0＞a+1＞3﹣2a，或a+1＞3﹣2a＞0，或a+1＜0＜3﹣2a，
解得＜a＜或a＜﹣1．
故答案为（﹣∞，﹣1）∪（，）．
16．【解答】解：作出f（x）的图象如图：．
当x＞4时，由f（x）＝3﹣＝0，得＝3，得x＝9，
若a，b，c互不相等，不妨设a＜b＜c，
因为f（a）＝f（b）＝f（c），
所以由图象可知0＜a＜2＜b＜4，4＜c＜9，
由f（a）＝f（b），
得1﹣log2a＝log2b﹣1，
即log2a+log2b＝2，
即log2（ab）＝2，
则ab＝4，
所以abc＝4c，
因为4＜c＜9，
所以16＜4c＜36，
即16＜abc＜364，
所以abc的取值范围是（16，36）．
故答案为：（16，36）．

四．解答题（共7小题）
17．【解答】解：（1）原式＝，
＝，
＝；
（2）原式＝；
＝．
18．【解答】解：（1）∵不等式y＞0的解集为{x|﹣1＜x＜3}，
∴﹣1和3是方程ax2+（b﹣2）x+3＝的两个根，且a＜0，
由韦达定理可得，
解得，
即a＝﹣1，b＝4．
（2）∵x＝1时，y＝2，∴a+b﹣2+3＝2，即a+b＝1，
∴a+（b+1）＝2，
又∵a＞0，b＞﹣1，∴b+1＞0，
∴＝×＝（5+）＝，
当且仅当＝，即a＝，b＝时，等号成立，
∴的最小值．
（3）当b＝﹣a时，不等式f（x）≤1即ax2﹣（a+2）x+2≤0，即（ax﹣2）（x﹣1）≤0，
①当a＝0时，﹣2x+2≤0，解得x≥1，
②当a＜0时，不等式可化为（x﹣1）（x﹣）≥0，
∴x或x≥1，
③当a＞0时，不等式化为（x﹣1）（x﹣）≤0，
若0＜a＜2，则1，
若a＝2，则x＝1，
若a＞2，则，
综上所述，当a＝0时，解集为{x|x≥1}；当a＜0时，解集为{x|x或x≥1}；当0＜a＜2时，解集为{x|1}；当a＝2时，解集为{x|x＝1}；当a＞2时，解集为{x|}．
19．【解答】解：（1）对于函数Q（x）＝ax+b，根据题意，把点（1，20），（2，15）代入可求得a＝﹣5，b＝25，
此时Q（x）＝﹣5x+25，点（5，12）、（10，11）均不在函数Q（x）＝﹣5x+25的图象上；
对于函数，根据题意，把点（1，20），（2，15）代入可求得a＝10，b＝10，
此时，点（5，12）、（10，11）均在函数的图象上；
所以，Q（x）＝+10（1≤x≤30，x∈N+）．
（2）依题意得，
所以，
当1≤x≤14，x∈N+时，，
当且仅当x＝11时等号成立；
当15≤x≤30，x∈N+时，函数单调递减，
此时，
综上所述，当x＝30时，该产品在过去一个月内的日交易额最小值为1240元．
20．【解答】解：（1）∵＝
，且f（﹣x）＝﹣f（x），
∴，解之得a＝1；
（2）∵a＝1，∴＝1﹣
∵t＝是R上的减函数，∴f（x）是R上的增函数．
∵f（﹣1）＝﹣＜0，f（1）＝＞0，f（0）＝0
∴f（x）在[﹣1，1]上有唯一零点x＝0．
（3）＝a﹣
∵函数f（x）在R上有零点，
∴方程a＝在R上有实数根
∵t＝上是减函数，2x+1＞1
∴t＝∈（0，2）
由此可得，当a∈（0，2）时，方程a＝在R上有实数根
综上所述，若函数f（x）在R上有零点，a的取值范围是（0，2）．
21．【解答】解：（1）由得，
解得a＞1时，定义域为（0，+∞）
a＝1时，定义域为{x|x＞0且x≠1}，
0＜a＜1时，定义域为或}
（2）设，因为a∈（1，4），所以g(x)在(0,a]上单调递减，在[a，+∞）上单调递增，因为[2，+∞）⊆ [a，+∞）
∴在[2，+∞）上是增函数，
∴在[2，+∞）上是增函数，
∴在[2，+∞）上的最小值为；
（3）对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，
即对x∈[2，+∞）恒成立
∴a＞3x﹣x2，而在x∈[2，+∞）上是减函数，
∴h（x）max＝h（2）＝2，∴a＞2
22．【解答】解：（1）由题意可知f（﹣x）+g（﹣x）＝2﹣x⇒f（x）﹣g（x）＝2﹣x，①
f（x）+g（x）＝2x，②
联立①②解得：f（x）＝（2x+2﹣x），g（x）＝（2x﹣2﹣x）．
（2）f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
证明：∀x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）＝（+）﹣（+）＝（﹣）（1﹣），
因为＜，＞1，
所以＜1，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，
因为f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减．
（3）由题意知：h（x）的定义域为R，
h（﹣x）＝f（g（﹣x））+g（f（﹣x））＝f（﹣g（x））+g（f（x））＝f（g（x））+g（f（x））＝h（x），
所以h（x）为定义在R上的偶函数，
当x≥0时，因为y＝2x为增函数，y＝2﹣x为减函数，所以g（x）为增函数，所以g（x）≥g（0）＝0，
令t＝g（x），则t≥0，由（2）知：f（x）在[0，+∞）上单调递增，
所以f（g（x））＝f（t）≥f（0）＝1；
当x≥0时，f（x）≥f（0）＝1，
令m＝f（x），则m≥1，所以g（f（x））＝g（m）≥g（1）＝，
所以当x≥0时，f（g（x）），g（f（x））都在x＝0处取得最小值，则此时h（x）min＝1+＝．
因为h（x）为偶函数，所以当x∈R时，h（x）min＝．