河北省部分学校2022--2023学年上学期九年级数学期末考试数学试卷(含答案)

这是一份河北省部分学校2022--2023学年上学期九年级数学期末考试数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知，有一题目等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年初三年级第一学期期末考试
数 学
本试卷满分120分，考试用时120分钟
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容:人教版九年级上、下册。
一、单项选择题：共14题，1-8题每题3分，9-14题每题2分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1. 在解一元二次方程x2＋px＋q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是－3，1，小明看错了一次项系数p, 得到方程的两个根是5，－4，则原来的方程是(　　)　　　　　　　　　　　　
A. x2 ＋2x－3＝0 B. x2 ＋2x－20＝0
C. x2－2x－20＝0 D. x2－2x－3＝0
2. 已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，并有以下结论：①函数图象与y轴正半轴相交；②当x＜0时，y随x的增大而增大，则坐标系的原点O可能是(　　)
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
图②
图①

2题图 3题图 5题图 7题图
3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠C＝30°，CD＝2，则阴影部分图形的面积为(　　)
A. 4π B. 2π C. π D.
4．如图，若抛物线y＝－x2＋3与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k，则反比例函数y＝ (x＞0)的图象是(　　)

5.图①是装了液体的高脚杯示意图(数据如图)，用去一部分液体后如图②所示，此时液面AB＝(　　)
A. 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D. 4 cm
6.已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P、Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上．符合条件的示意图是(　　)

A B C D
7.已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示．按下列步骤操作：
将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是(　　)
A. 1.4　　 　B. 1.1　　 　C. 0.8　　 　D. 0.5
8.已知AB是⊙O的任意一条直径，求证：⊙O是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形．下列为证明过程，嘉琪为保证推理更严谨，想在方框中“∵OP＝OP′，”和“∴PM＝MP′，”之间做补充，下列叙述正确的是(　　)

8题图 9题图 12题图 13题图 14题图
证明：如图，设点P是⊙O上除点A、B以外任意一点，
过点P作PP′⊥AB，交⊙O于点P′，垂足为点M，
若点M与圆心O不重合，
连接OP，OP′，在△OPP′中，∵OP＝OP′，∴PM＝MP′，则AB是PP′的垂直平分线，
若点M与圆心O重合，显然AB是PP′的垂直平分线，
∴对于圆上任意一点P，在圆上都有关于直线AB的对称点P′
∴⊙O是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形．
A. 推理严谨，不必补充 B. 应补充：∴△OPP′是等腰三角形
C. 应补充：又∵PP′⊥AB D. 应补充：∴△OPP′是等腰三角形，又∵PP′⊥AB
9.有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A.”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC，如图．由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°.
而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是(　　)
A. 淇淇说的对，且∠A的另一个值是115° B. 淇淇说的不对，∠A就得65°
C. 嘉嘉求的结果不对，∠A应得50° D. 两人都不对，∠A应有3个不同值
10.某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为x厘米，当x＝3时，y＝18，那么当成本为72元时，边长为(　　)
A. 6厘米 B. 12厘米 C. 24厘米 D. 36厘米
11. 函数y＝的图象上有两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，针对y1与 y2的大小关系，三人的说法如下，
甲：若x1＜0＜x2，则y1＞y2； 乙：若x1＋x2＝0，则y1＝y2；
丙：若0＜x1＜x2，则y1＞y2.
下列判断正确的是(　　)
A. 只有甲错 B. 只有丙对 C. 甲、丙都对 D. 甲、乙、丙都错
12.如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6 km到达l；从P出发向北走6 km也到达l.下列说法错误的是(　　)
A. 从点P向北偏西45°走 3 km到达l
B. 公路l的走向是南偏西45°
C. 公路l的走向是北偏东45°
D. 从点P向北走3 km后，再向西走3 km到达l
13. 如图，对于抛物线G：y＝x(4－x＋m)与直线L：y＝m(m为常数)，针对m的不同取值，三人的说法如下，
甲：无论m为何值，G与x轴总有两个交点；
乙：无论m为何值，G与L不会有交点；
丙：无论m为何值，G与L总有两个交点．下列判断正确的是(　　)
A. 只有甲错 B. 只有丙对
C. 甲、乙、丙都对 D. 甲、乙、丙都错
14.如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点P(a，b)，针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，
甲：若b＝5，则点P的个数为0； 乙：若b＝4，则点P的个数为1；
丙：若b＝3，则点P的个数为1.
下列判断正确的是(　　)
A. 乙错，丙对 B. 甲和乙都错 C. 乙对，丙错 D. 甲错，丙对
二、填空题：共5题，每空2分，共32分。
15.如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO＝2，在ON上方有五个台阶T₁～T₅(各拐角均为90°)，每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶T₁到x轴距离OK＝10.从点A处向右上方沿抛物线L：y＝－x2＋4x＋12发出一个带光的点P.

15题图 16题图 17题图 18题图
(1)点A的横坐标为 ，且在图中补画出y轴， P会落在 台阶上；
(2)当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，则C的解析式为 ，并说明其对称轴是否与台阶T₅ （选填有或无）交点；【注：(2)中不必写x的取值范围】
16.如图，点A在数轴上对应的数为26，以原点O为圆心，OA为半径作优弧AB，使点B在O右下方，且tan∠AOB＝4/3.在优弧AB上任取一点P，且能过P作直线l∥OB交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP.
(1)若优弧AB上一段AP的长为13π，则∠AOP的度数为 ，x的值为 ；
(2)x的最小值为 ，此时直线l与弧AB所在圆的位置关系为
17.小亮和小明在篮球场练习投篮，小亮投篮时篮球出手的高度是1.7米，篮球的运行路线是抛物线的一部分，篮球运行的水平距离为3米时达到最高点，最高点的高度是3.5米，篮筐的高度是3.05米，结果小亮恰好命中篮筐，建立如图所示的平面直角坐标系(篮球和篮筐均看作一个点)，y轴经过抛物线的顶点，解答下列问题．
(1)小亮投篮时篮球运行路线所在抛物线的解析式为 ；
(2)小亮投篮时与篮筐的水平距离L为 ；
(3)小亮投篮后篮球被篮筐弹了出来，恰被离篮筐水平距离为5米处的小明跳起来接住．已知篮球弹出后运行路线也是抛物线的一部分(两抛物线在同一平面内)，运行的水平距离为2米时到达最高点，小明接球的高度为2.3米．则篮球弹出后最高点的高度为 ；
18.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，cosA＝5(3)，BC＝12，D是AB的中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E.
(1)线段CD的长为 ；
(2)cos∠DBE的值为 ．
19. 如图，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为An(n为1～12的整数)，过点A7作⊙O的切线交A1A11延长线于点P.
(1)比较直径和劣弧A7A11长度 更长；
(2)连接A7A11，则A7A11 PA1；
(3)切线长PA7的值为 ．
三、解答题：共5题，共52分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
20.（9分）
已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，tanA＝，D是斜边AB上一点，连接CD.
(1)当D是AB的中点时．
①如图①，求CD的长；
②如图②，过点D作AB的垂线交AC于点E，求DE的长；
③如图③，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于点M，求sin∠DAM的值；
(2)将△ACD沿直线CD翻折，使得点A落在同一平面内的点A′处，当A′D∥BC时，求AD的长．





21.（9分）
如图①，点E是线段BC的中点，分别以B，C为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形，且在BC的同侧．
(1)AE和ED的数量关系为________，AE和ED的位置关系为________；
(2)在图①中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GH、HD，分别得到了图②和图③.
①在图②中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比是1∶2，H是EC的中点．求证：GH＝HD，GH⊥HD；
②在图③中，点F在BE的延长线上，△EGF与△EAB的相似比是k∶1，若BC＝2，请直接写出CH的长为多少时，恰好使得GH＝HD且GH⊥HD(用含k的代数式表示)．




22. （10分）
某公司为了宣传一种新产品，在某地先后举行18场产品促销会，已知该产品每台成本为4万元，设第x场产品的销售量为y(台)，在销售过程中获得以下信息：
信息1：已知第一场销售产品38台，然后每增加一场，产品就少卖出2台；
信息2：产品的每场销售单价p(万元)由基本价和浮动价两部分组成，
其中基本价保持不变，第1场—第10场浮动价与销售场次x成正比，第11场—第18场浮动价与销售场次x成反比，经过统计，得到如下数据：
x(场)
4
8
15
p(万元)
5
6
7
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)求销售单价p与销售场次x之间的函数关系式；
(3)当产品销售单价为6.5万元时，求销售场次是第几场？
(4)在这18场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？(结果保留整数)


23.（12分）
如图，延长⊙O的直径AB，交直线DG于点D，且BD＝1/2AB＝10，∠ADG＝60°.射线DM从DG出发绕点D逆时针旋转，旋转角为α；同时，线段OC从OB出发绕点O逆时针旋转，旋转角为2α，直线AC与射线DM相交于点H，与直线DG相交于点F，其中0°<α<180°，且α≠90°.
(1)当α＝20°时，弧BC的长为________；
(2)当α＝120°时，判断△ADH的形状，并求它的周长；
(3)△ADH的外心能否在边DH上，如果能，求出α的度数；如果不能，请说明理由；
(4)若射线DM与⊙O有公共点，直接写出α的取值范围；
(5)当tan∠BAC＝时，求线段HF的长度．




















24.（12分）
如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x－b与y轴交于点B；抛物线L：y＝－x2＋bx的顶点为C，且L与x轴正半轴的交点为D.
(1)若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；
(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；
(3)设x₀≠0，点(x₀，y₁)，(x₀，y₂)，(x₀，y₃)分别在l，a和L上，且y3是y₁，y₂的平均数，求点(x₀，0)与点D间的距离；
(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2019和b＝2019.5时“美点”的个数．
























2022-2023学年初三年级第一学期期末考试
数学参考答案
一、单项选择题：共14题，1-8题每题3分，9-14题每题2分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
题号
1
2
3
4
5

6
7
8
9
10

11
12
13
14
答案
B
B
D
D
C
D
C
D
A
A
A
A
B
C
二、填空题：共5题，每空2分，共32分。
15（1）－2 T4 2）y＝－(x－7)2＋11 有
16 （1）90° x＝ （2）x＝－. 相切
17 （1）y＝－0.2x2＋3.5（2）4.5米（3）3.65米
18 （1）（2）
19(1)劣弧A7A11(2) ⊥(3)
三、解答题：共5题，共52分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
20. （9分）
(1)①∵∠ACB＝90°，AC＝8，tanA＝，∴BC＝6，∴AB＝10，
∵D是AB的中点，
∴CD＝ AB＝5；
②如解图，连接BE，

∵DE垂直平分BA，
∴BE＝AE.∴CE＝AC－BE＝8－BE.
∵CE2＋BC2＝BE2，
∴BE2＝(8－BE)2＋62，
∴BE＝.
又∵BD＝5，
∴在Rt△BDE中，DE＝＝；
③∵点D为AB的中点，∴CD＝DA＝5，
∴∠CAB＝∠DCA，
∴tan∠BAC＝tan∠DCA＝＝.
∴AM＝CM.
∵AM2＋CM2＝AC2，∴( CM)2＋CM2＝82，
∴CM＝，∴DM＝CM－CD＝.
∴sin∠DAM＝＝；
(2)如解图③，设A′C交AB于点G.

∵A′D∥BC，
∴∠B＝∠A′DB，
由折叠的性质可知，∠A′＝∠A，
∵∠A＋∠B＝90°，
∴∠A′＋∠A′DB＝90°，
∴∠CGD＝90°.
∵ CG·AB＝AC·BC，
∴CG＝＝，
∴A′G＝A′C－CG＝AC－CG＝，
∵cosA′＝cosA＝＝，
∴AD＝A′D＝4.
21. （9分）
(1) AE＝ED AE⊥ED
【解法提示】∵△EAB和△EDC均为等腰直角三角形，且点E是线段BC的中点，即BE＝CE，∠AEB＝∠DEC＝45°，∴△ABE≌△DCE(ASA)，
∴AE＝ED，∠AED＝180°－∠AEB－∠DEC＝90°，
即AE⊥ED.(2分)
(2)①证明：由题意可知，∠B＝∠C＝90°，AB＝BE＝EC＝DC.
∵△EGF与△EAB位似且位似比是1∶2，
∴∠GFE＝∠B＝90°，GF＝1/2AB，EF＝1/2EB，
∴∠GFE＝∠C.
∵EH＝HC＝1/2EC，
∴GF＝HC，FH＝FE＋EH＝1/2EB＋1/2EC＝1/2BC＝EC＝CD，
∴△HGF≌△DHC(SAS)，(5分)
∴GH＝HD，∠GHF＝∠HDC.
又∵∠HDC＋∠DHC＝90°，
∴∠GHF＋∠DHC＝90°，
∴∠GHD＝90°，
∴GH⊥HD；(7分)
②【解法提示】当GH＝HD，GH⊥HD时，∠FHG＋∠CHD ＝90°，∵∠FHG＋∠FGH＝90°，∴∠FGH＝∠CHD.
在△GFH与△HCD中，

∴△GFH≌△HCD(AAS)，
∴CH＝FG.
∵△EGF∽△EAB，△EAB为等腰直角三角形，
∴EF＝FG，∴EF＝CH.
∵BC＝2，
∴BE＝EC＝1.
∵△EGF与△EAB的相似比是k∶1，
∴
∴EF＝k，∴CH的长为k.
∴CH的长为k.(9分)
22. （10分）
【思维教练】根据信息1求关系式，注意是从第二场开始每场减少2台．
解：(1)由题意可得，y与x的函数关系式为y＝38－2(x－1)＝－2x＋40；
【思维教练】“成正比”转化为一次函数，“成反比”转化为反比例函数，利用待定系数法求解．
(2)设基本价为b，
①∵第1场—第10场浮动价与销售场次x成正比，
∴设p与x的函数关系式为p＝ax＋b，
依题意得解得
∴p＝x＋4(1≤x≤10)；
②∵第11场—第18场浮动价与销售场次x成反比，由①知b＝4，
∴设p与x的函数关系式为p＝ ＋4，
依题意得7＝＋4，解得m＝45，
∴p＝＋4(11≤x≤18)；
综上所述，销售单价p与销售场次x之间的函数关系式为
p＝ ；
【思维教练】已知函数值求自变量时可将问题转化为解方程．
(3)当p＝6.5时，6.5＝x＋4或6.5＝＋4，解得x＝10或x＝18.
∴当产品销售单价为6.5万元时，销售场次是第10场和第18场；
(4)设每场获得的利润为w(万元)．
①当1≤x≤10时，w＝(x＋4－4)(－2x＋40)＝－ (x－10)2＋50，
∵－＜0，
∴当x＝10时，w最大，最大利润为50万元；
②当11≤x≤18时，w＝(＋4－4)(－2x＋40)＝－90，
∵1800＞0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝11时，w最大，最大利润w＝ －90≈74(万元)，
∵50＜74，
∴在这18场产品促销会中，第11场获得的利润最大，最大利润约为74万元 .
23. （12分）
(1)【思维教练】运用弧长公式求解．
(2)如解图①，

当α＝120°时，∠AOC＝2α－180°＝60°，
∵OA＝OC，∴△AOC为等边三角形，∴∠OAC＝60°.
∵∠ADH＝∠MDG －∠ADG＝120°－60°＝60°，
∴△ADH为等边三角形．
∵BD＝ 1/2AB＝10，∴AD＝3BD＝30，
∴△ADH的周长为3AD＝90；
【思维教练】根据旋转角度及圆的半径相等，判断三角形形状．
(3)不能．理由如下：

若△ADH的外心在边DH上，则∠DAH＝90°，如解图②所示．
∵∠DAH＝90°，
∴HF与⊙O相切于点A.
∵点C是直线HF与⊙O的交点，
∴点C为切点，点A与点C重合．
∴∠BOC＝180°，即2α＝180°，
解得α＝90°，不合题意(α≠90°)，舍去．
∴符合条件的△AHD不存在，即△AHD的外心不能在边DH上；
【思维教练】若△ADH的外心在边DH上，则边DH应为直角三角形的斜边，即转化为判断∠DAH是否可以为90°的问题．
(4)30°≤α＜90°；
【思维教练】根据射线DM与⊙O有公共点，可判断有两个临界点即与圆的切点．
【解法提示】如解图③，设射线DM与⊙O相切于点Q，连接OQ，

则∠OQD＝90°，OB＝OQ，
∵BD＝AB＝10，
∴BD＝OB＝OQ，
∴∠ODQ＝30°，
∴α＝∠ADG－∠ODQ＝30° .
射线DM继续绕点D逆时针旋转，与⊙O有两个公共点，当射线DM旋转到再次与⊙O相切时，如解图②所示，此时α＝90° .
综上所述，α的取值范围为30°≤α＜90°.
(5)情况1：当点H在AD右侧时，
如解图④，过点F作FT⊥AD于点T.
设TD＝t，由∠ADG＝60°可得，FT＝TD·tan60°＝ t，
又∵tan∠BAC＝，即 ＝，
∴AT＝5t，
∴AD＝AT＋TD＝5t＋t＝30，
∴TD＝5，FT＝5 ，AT＝25.
∴AF＝＝10，
在Rt△DTF中，DF＝＝10，
∵∠DHF＝∠ADM＋∠BAC＝(60°－α)＋α＝60°＝∠ADF，∠DFH＝∠AFD，
∴△DHF∽△ADF，
∴＝ ，
∴DF2＝AF·HF，即102＝10·HF，
∴HF＝；
情况2：当点H在AD左侧时，
如解图⑤，过点F作FK⊥AD，交AD的延长线于点K，

设DK＝t，由∠FDK＝∠ADG＝60°，
同理可得FK＝t，AK＝5t，
∴AD＝AK－DK＝5t－t＝30，
∴t＝，
∴FK＝，AK＝.
∴DF＝ ＝15，
在Rt△AFK中，由勾股定理得FA＝ ＝15，
∵∠FDH＝180°－α，∠AOC＝2α－180°，OA＝OC，
∴∠OAC＝×[180°－(2α－180°)]＝180°－α，
∴∠FDH＝∠OAC，
∵∠HFD＝∠DFA，
∴△HFD∽△DFA，
∴ ＝，
∴FD2＝AF·HF，即152＝15·HF，
∴HF＝.
综上所述，当tan∠BAC＝时，HF的值为或.
【思维教练】分点H在AD左侧和右侧两种情况，再结合相似三角形求解．
24. （12分）
解：(1)当x＝0时，y＝x－b＝－b，
∴B(0，－b)，
∵AB＝8，A(0，b)，
∴b－(－b)＝8，
∴b＝4；(2分)
∴L的解析式为y＝－x2＋4x，
∴L的对称轴为直线x＝2，
将x＝2代入直线a的解析式中得y＝2－4＝－2，
∴L的对称轴与直线a的交点坐标为(2，－2)；(4分)
(2)∵y＝－x2＋bx＝－(x－)2＋，
∴L的顶点C的坐标为(,)．
∵点C在l下方，
∴点C与l的距离为b－＝－(b－2)2＋1≤1，
∴点C与l距离的最大值为1；(7分)
(3)由题意可得，y1＝b，y2＝x0－b，y3＝－＋bx0，
∵y3是y1，y2的平均数，
∴y3＝ ，即－＋bx0＝，
化简得x0(2x0－2b＋1)＝0，
解得x0＝0或x0＝b－，
∵x0≠0，
∴x0＝b－，
对于抛物线L，当y＝0时，0＝－x2＋bx，即0＝－x(x－b)．
解得x1＝0，x2＝b，
∵b＞0，∴D点坐标为(b，0)，
∴点(x0，0)与点D间的距离为b－(b－)＝；(10分)
(4)当b＝2019时，“美点”的个数为4040；(11分)
当b＝2019.5时，“美点”的个数为1010.(12分)
【解法提示】当b＝2019时，直线a的解析式为y＝x－2019，抛物线L的
解析式为y＝－x2＋2019x，
联立可得
解得或
∴抛物线L和直线a的交点坐标为(－1，－2020)，(2019，0)．
∴当x取－1～2019中的任何整数时，对应的y值也都是整数，所以在L和a所围成的封闭图形的边界(抛物线＋线段)上，各有2021个“美点”，再减去交点重复的两个点，共有美点的个数为2021＋2019＝4040个；当b＝2019.5时，直线a的解析式为y＝x－2019.5，
抛物线L的解析式为y＝－x2＋2019.5x，
联立可得
解得或
∴抛物线L和直线a的交点坐标为(－1，－2020.5)，(2019.5，0)，
∴当x取－1～2019.5中的任何整数时，在y＝x－2019.5中，y的值都不为整数，
∴封闭图形的线段a上没有“美点”，
在y＝－x2＋2019.5x中，只有当x取个位上是0、2、4、6、8的整数时，y的值才是整数．∴－1～2019.5中符合条件的x共有1010个数．综上所述，当b＝2019时，“美点”的个数为4040个；当b＝2019.5时，“美点”的个数为1010个．