四川省泸州市纳溪区2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷(含答案)

这是一份四川省泸州市纳溪区2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷(含答案)，共23页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年四川省泸州市纳溪区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，12个小题，共36分）以下每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．1，﹣2，﹣3 B．1，﹣2，3 C．1，2，3 D．1，2，﹣3
2．（3分）已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0，必有实数解”是假命题，则在下列选项中，b的值可以是（　　）
A．b＝﹣3 B．b＝﹣2 C．b＝﹣1 D．b＝2
3．（3分）某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数y＝x2（x＞0），若该车某次的刹车距离为4m，则开始刹车时的速度为（　　）
A．4m/s B．5m/s C．8m/s D．10m/s
4．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣3
﹣2
﹣3
﹣6
﹣11
…
则该函数图象的顶点坐标为（　　）
A．（﹣3，﹣3） B．（﹣2，﹣2） C．（﹣1，﹣3） D．（0，﹣6）
5．（3分）如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转40°得到△A'B'C，若AC⊥A'B'，则∠BAC等于（　　）

A．60° B．50° C．70° D．80°
6．（3分）若抛物线y＝x2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（　　）
A．抛物线开口向上
B．抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）
C．抛物线的对称轴是直线x＝1
D．当x＝1时，y的最大值为﹣4
7．（3分）下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为（　　）

A．65° B．130° C．50° D．100°
9．（3分）九年级学生李明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，设十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到绿灯的概率为（　　）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（　　）

A．45° B．30° C．75° D．60°
11．（3分）二次函数y＝a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的图象只有在2＜x＜6这一段位于x轴的下方，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
12．（3分）如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，已知AC＝6，BC＝4，则线段AB扫过的图形的面积为（　　）

A．π B．π C．6π D．π
二、填空题：（本大题4个小题，共12分，每小题3分）把答案直接填在答题卡中的相应题中横线上.
13．（3分）方程kx2﹣9x+8＝0的一个根为1，则k＝　 　．
14．（3分）在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有3个红球且摸到红球的概率为，那么口袋中球的总个数为 　 　．
15．（3分）如图，将弧长为6π，圆心角为120°的圆形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合（粘连部分忽略不计）则圆锥形纸帽的高是　 　．

16．（3分）已知抛物线y＝x2+（m+1）x+m﹣1与x轴交于A，B两点，顶点为C，则△ABC面积的最小值为　 　．
三、（本大题3个小题，共18分，每小题6分）
17．（6分）解方程：（x﹣5）2＝2（5﹣x）
18．（6分）如图，点A的坐标为（3，3），点B的坐标为（4，0）．点C的坐标为（0，﹣1）．
（1）请在直角坐标系中画出△ABC绕着点C逆时针旋转90°后的图形△A′B′C；
（2）直接写出：点A′的坐标（　 　，　 　），点B′的坐标（　 　，　 　）．

19．（6分）已知关于x的方程x2+2x+a﹣2＝0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
四、（本大题2个小题，共14分，每小题7分）
20．（7分）小明、小刚和小红打算各自随机选择本周日的上午或下午去兴化李中水上森林游玩．
（1）小明和小刚都在本周日上午去游玩的概率为　 　；
（2）求他们三人在同一个半天去游玩的概率．
21．（7分）李大爷今年开了一家商店，10月份盈利2400元，12月份的盈利达到3456元，求10月到12月每月盈利的平均增长率．
五、（本大题2个题，共16分，每题8分）
22．（8分）如图，△ABC的边AB为⊙O的直径，BC与圆交于点D，D为BC的中点，过D作DE⊥AC于E．
（1）求证：AB＝AC；
（2）求证：DE为⊙O的切线．

23．（8分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的价格是30元/件，根据市场调查：在一段时间内，当销售价格是40元/件时，销售量是600件，当销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
（1）不妨设该种品牌玩具的销售价格为x元/件（x＞40），请你分别用含x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得的利润w元．
（2）在第（1）间的条件下，若商场获得了10000元的销售利润，求该玩具的销售价格应定为多少元/件．
六、（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）
24．（12分）如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED＝∠C．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）求证：ED平分∠BEP．

25．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C，其顶点为D，对称轴为直线x＝1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ACM是以AC为一腰的等腰三角形时，求点M的坐标．


2021-2022学年四川省泸州市纳溪区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，12个小题，共36分）以下每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．1，﹣2，﹣3 B．1，﹣2，3 C．1，2，3 D．1，2，﹣3
【分析】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可．
【解答】解：一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，﹣2，﹣3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．
2．（3分）已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0，必有实数解”是假命题，则在下列选项中，b的值可以是（　　）
A．b＝﹣3 B．b＝﹣2 C．b＝﹣1 D．b＝2
【分析】根据判别式的意义，当b＝﹣1时Δ＜0，从而可判断原命题为是假命题．
【解答】解：△＝b2﹣4，当b＝﹣1时，Δ＜0，方程没有实数解，
所以b取﹣1可作为判断命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0，必有实数解”是假命题的反例．
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
3．（3分）某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数y＝x2（x＞0），若该车某次的刹车距离为4m，则开始刹车时的速度为（　　）
A．4m/s B．5m/s C．8m/s D．10m/s
【分析】本题实际是告知函数值求自变量的值，代入求解即可，另外实际问题中，负值舍去．
【解答】解：当刹车距离为4m时，即可得y＝4，
代入二次函数解析式得：4＝x2．
解得x＝±10，（x＝﹣10舍），
故开始刹车时的速度为10m/s．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的应用，明确x、y代表的实际意义，刹车距离为4m，即是y＝4，难度一般．
4．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣3
﹣2
﹣3
﹣6
﹣11
…
则该函数图象的顶点坐标为（　　）
A．（﹣3，﹣3） B．（﹣2，﹣2） C．（﹣1，﹣3） D．（0，﹣6）
【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可．
【解答】解：∵x＝﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，
∴二次函数的对称轴为直线x＝﹣2，
∴顶点坐标为（﹣2，﹣2）．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，仔细观察表格数据确定出对称轴是解题的关键．
5．（3分）如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转40°得到△A'B'C，若AC⊥A'B'，则∠BAC等于（　　）

A．60° B．50° C．70° D．80°
【分析】由旋转的性质可得∠BAC＝∠A'，∠ACA'＝40°，由直角三角形的性质可得∠A'＝50°，即可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点C按顺时针方向旋转40°得到△A'B'C，
∴∠BAC＝∠A'，∠ACA'＝40°
∵AC⊥A'B'，
∴∠A'＝50°
∴∠BAC＝50°
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
6．（3分）若抛物线y＝x2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（　　）
A．抛物线开口向上
B．抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）
C．抛物线的对称轴是直线x＝1
D．当x＝1时，y的最大值为﹣4
【分析】把（0，﹣3）代入抛物线解析式求c的值，然后再求出顶点坐标、与x轴的交点坐标．
【解答】解：把（0，﹣3）代入y＝x2﹣2x+c中得c＝﹣3，
抛物线为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4＝（x+1）（x﹣3），
所以：抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1，
当x＝1时，y的最小值为﹣4，
与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）；
观察选项，D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质．要求掌握抛物线的性质并对其中的a，b，c熟悉其相关运用．
7．（3分）下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形；故A正确；
B、是中心对称图形，也是轴对称图形；故B错误；
C、是中心对称图形，也是轴对称图形；故C错误；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形；故D错误；
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
8．（3分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为（　　）

A．65° B．130° C．50° D．100°
【分析】由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知∠C的度数求出∠AOB的度数，在四边形PABO中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数．
【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
又∵∠AOB＝2∠C＝130°，
则∠P＝360°﹣（90°+90°+130°）＝50°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了切线的性质，四边形的内角与外角，以及圆周角定理，熟练运用性质及定理是解本题的关键．
9．（3分）九年级学生李明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，设十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到绿灯的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，遇到每种信号灯的概率之和为1，进而求出即可．
【解答】解：∵十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，
∴他遇到绿灯的概率为：1﹣﹣＝．
故选：C．
【点评】本题考查了概率公式，掌握遇到每种信号灯的概率之和为1是关键．
10．（3分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（　　）

A．45° B．30° C．75° D．60°
【分析】作半径OC⊥AB于D，连接OA、OB，如图，根据折叠的性质得OD＝CD，则OD＝OA，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠OAD＝30°，接着根据三角形内角和定理可计算出∠AOB＝120°，
然后根据圆周角定理计算∠APB的度数．
【解答】解：作半径OC⊥AB于D，连接OA、OB，如图，
∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，
∴OD＝CD，
∴OD＝OC＝OA，
∴∠OAD＝30°，
又OA＝OB，
∴∠OBA＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠APB＝∠AOB＝60°．
故选：D．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和折叠的性质．
11．（3分）二次函数y＝a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的图象只有在2＜x＜6这一段位于x轴的下方，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】根据题意得出x＝2和x＝6是方程a（x﹣4）2﹣4＝0的两个根，解方程即可．
【解答】解：∵y＝a（x﹣4）2+4（a≠0），
∴抛物线的对称轴为x＝4，
又∵图象只有在2＜x＜6这一段位于x轴的下方，
∴x＝2和x＝6是方程a（x﹣4）2﹣4＝0的两个根，且a＞0，
把x＝2或x＝6代入a（x﹣4）2﹣4＝0得：4a﹣4＝0，
解得a＝1，
故选：A．
【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，利用二次函数的性质得到∴x＝2和x＝6是方程a（x﹣4）2﹣4＝0的两个根是解题的关键．
12．（3分）如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，已知AC＝6，BC＝4，则线段AB扫过的图形的面积为（　　）

A．π B．π C．6π D．π
【分析】根据图形可以得出AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′+S△ABC﹣S扇形BCB′﹣S△A′B′C，由旋转的性质就可以得出S△ABC＝S△A′B′C就可以得出AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′﹣S扇形BCB′求出其值即可．
【解答】解：∵△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴S△ABC＝S△A′B′C，∠BCB′＝∠ACA′＝60°．
∵AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′+S△ABC﹣S扇形BCB′﹣S△A′B′C，
∴AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′﹣S扇形BCB′，
∴AB扫过的图形的面积＝×π×36﹣×π×16＝π．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的性质的运用，扇形的面积公式的运用，解答时根据旋转的性质求解是关键．
二、填空题：（本大题4个小题，共12分，每小题3分）把答案直接填在答题卡中的相应题中横线上.
13．（3分）方程kx2﹣9x+8＝0的一个根为1，则k＝　1　．
【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于k的方程，
从而求得k的值．
【解答】解：把x＝1代入方程得：k﹣9+8＝0．解得k＝1．
【点评】本题就是考查了方程的根的定义，是一个基础的题目．
14．（3分）在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有3个红球且摸到红球的概率为，那么口袋中球的总个数为 　15　．
【分析】由在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有3个红球且摸到红球的概率为，利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有3个红球且摸到红球的概率为，
∴口袋中球的总个数为：3÷＝15．
故答案为：15．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．（3分）如图，将弧长为6π，圆心角为120°的圆形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合（粘连部分忽略不计）则圆锥形纸帽的高是　6　．

【分析】根据弧长求得圆锥的底面半径和扇形的半径，利用勾股定理求得圆锥的高即可．
【解答】解：∵弧长为6π，
∴底面半径为6π÷2π＝3，
∵圆心角为120°，
∴＝6π，
解得：R＝9，
∴圆锥的高为＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是能够利用圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长求得圆锥的底面半径，难度一般．
16．（3分）已知抛物线y＝x2+（m+1）x+m﹣1与x轴交于A，B两点，顶点为C，则△ABC面积的最小值为　1　．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可以求得AB＝，再根据顶点的纵坐标公式求得点C的纵坐标，显然要求三角形ABC的面积的最小值，即求m2﹣2m+5的最小值，从而得解．
【解答】解：
设抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），令y＝0，可得x2+（m+1）x+m﹣1＝0，
∴x1+x2＝﹣（m+1），x1x2＝m﹣1，
∴AB＝|x1﹣x2|＝，点C的纵坐标是﹣（m2﹣2m+5），
∴三角形ABC的面积＝××（m2﹣2m+5），
又∵m2﹣2m+5的最小值是4，
∴三角形ABC的面积的最小值是1．
故答案为1．
【点评】此题考查了抛物线与x轴两交点间距离的求法及抛物线顶点坐标的求法，将问题转化为完全平方式是解题的关键．
三、（本大题3个小题，共18分，每小题6分）
17．（6分）解方程：（x﹣5）2＝2（5﹣x）
【分析】本题可对方程进行移项，提取公因式x﹣5，将原式化为两式相乘值为0的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”来解题．
【解答】解：原方程变形成：
（x﹣5）2﹣2（5﹣x）＝0
化简得：（x﹣5）2+2（x﹣5）＝0
提取公因式：（x﹣5）（x﹣5+2）＝0
∴x1＝5，x2＝3
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．
18．（6分）如图，点A的坐标为（3，3），点B的坐标为（4，0）．点C的坐标为（0，﹣1）．
（1）请在直角坐标系中画出△ABC绕着点C逆时针旋转90°后的图形△A′B′C；
（2）直接写出：点A′的坐标（　﹣4　，　2　），点B′的坐标（　﹣1　，　3　）．

【分析】（1）利用旋转的性质，找出各个关键点的对应点，连接即可；
（2）根据（1）得到的图形即可得到所求点的坐标．
【解答】解：（1）如图所示：
；
（2）由（2）可得，
点A′的坐标（﹣4，2），点B′的坐标（﹣1，3）．
故答案为：﹣4，2，﹣1，3．
【点评】本题考查了坐标与图形的变化﹣旋转，作出图形，利用数形结合求解更加简便．
19．（6分）已知关于x的方程x2+2x+a﹣2＝0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
【分析】（1）关于x的方程x2﹣2x+a﹣2＝0有两个不相等的实数根，即判别式Δ＝b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．
（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．
【解答】解：（1）∵b2﹣4ac＝（2）2﹣4×1×（a﹣2）＝12﹣4a＞0，
解得：a＜3．
∴a的取值范围是a＜3；

（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：
，
解得：，
则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
四、（本大题2个小题，共14分，每小题7分）
20．（7分）小明、小刚和小红打算各自随机选择本周日的上午或下午去兴化李中水上森林游玩．
（1）小明和小刚都在本周日上午去游玩的概率为　　；
（2）求他们三人在同一个半天去游玩的概率．
【分析】（1）画树状图展示所有4种等可能的结果数，找出小明和小刚都在本周日上午去游玩的结果数，然后根据概率公式求解；
（2）画树状图展示所有8种等可能的结果数，找出小明和小刚都在本周日上午去游玩的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）画树状图为：

共有4种等可能的结果数，其中小明和小刚都在本周日上午去游玩的结果数为1，
所以小明和小刚都在本周日上午去游玩的概率＝；
故答案为
（2）画树状图为：

共有8种等可能的结果数，其中他们三人在同一个半天去游玩的结果数为2，
所以他们三人在同一个半天去游玩的概率＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
21．（7分）李大爷今年开了一家商店，10月份盈利2400元，12月份的盈利达到3456元，求10月到12月每月盈利的平均增长率．
【分析】设10月到12月每月盈利的平均增长率为x，由10月份盈利额×（1+增长率）2＝12月份的盈利额，列出方程求解即可．
【解答】解：设10月到12月每月盈利的平均增长率为x，
由题意得：2400（1+x）2＝3456，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），
答：10月到12月每月盈利的平均增长率为20%．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
五、（本大题2个题，共16分，每题8分）
22．（8分）如图，△ABC的边AB为⊙O的直径，BC与圆交于点D，D为BC的中点，过D作DE⊥AC于E．
（1）求证：AB＝AC；
（2）求证：DE为⊙O的切线．

【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理得到AD⊥BC，根据线段垂直平分线的性质证明即可；
（2）连接OD，根据三角形中位线定理得到OD∥AC，根据平行线的性质得到DE⊥OD，根据切线的判定定理证明即可．
【解答】证明：（1）如图1，连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵BD＝DC，
∴AB＝AC；
（2）如图2，连接OD，
∵BO＝OA，BD＝DC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线．


【点评】本题考查的是切线的判定、圆周角定理，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
23．（8分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的价格是30元/件，根据市场调查：在一段时间内，当销售价格是40元/件时，销售量是600件，当销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
（1）不妨设该种品牌玩具的销售价格为x元/件（x＞40），请你分别用含x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得的利润w元．
（2）在第（1）间的条件下，若商场获得了10000元的销售利润，求该玩具的销售价格应定为多少元/件．
【分析】（1）由题意得y＝600﹣10（x﹣40）＝1000﹣10x，再由销量×每件利润＝总利润得w＝（x﹣30）（1000﹣10x）＝﹣10x2+1300x﹣30000；
（2）由商场获得了10000元的销售利润，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），
则y＝600﹣10（x﹣40）＝1000﹣10x，
∴w＝（x﹣30）（1000﹣10x）＝﹣10x2+1300x﹣30000；
（2）依题意得：﹣10x2+1300x﹣30000＝10000，
解得：x1＝50，x2＝80，
答：该玩具的销售价格应定为50元/件或80元/件．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
六、（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）
24．（12分）如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED＝∠C．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）求证：ED平分∠BEP．

【分析】（1）连接OE，如图，利用圆周角定理得到∠CED＝90°，即∠CEO+∠OED＝90°，加上∠C＝∠CEO，∠PED＝∠C．则∠PED+∠OED＝90°，即∠OEP＝90°，然后根据切线的性质定理可判定PE是⊙O的切线；
（2）利用圆周角定理得到∠AEB＝90°，再利用AE∥CD得到∠EFD＝90°，接着利用等角的余角相等可判断∠FED＝∠C，所以∠PED＝∠FED．
【解答】证明：（1）连接OE，如图，
∵CD为直径，
∴∠CED＝90°，即∠CEO+∠OED＝90°，
∵OC＝OE，
∴∠C＝∠CEO，
∴∠C+∠OED＝90°，
∵∠PED＝∠C．
∴∠PED+∠OED＝90°，即∠OEP＝90°，
∴OE⊥PE，
∴PE是⊙O的切线；
（2）∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
而AE∥CD，
∴∠EFD＝90°，
∴∠FED+∠EDF＝90°，
而∠C+∠EDC＝90°，
∴∠FED＝∠C，
∴∠PED＝∠FED，
∴ED平分∠BEP．

【点评】本题考查了切线的性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了圆周角定理．
25．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C，其顶点为D，对称轴为直线x＝1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ACM是以AC为一腰的等腰三角形时，求点M的坐标．

【分析】（1）利用对称性可得B（3，0），则利用交点式得抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，所以﹣3a＝3，解得a＝1，于是得到抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）分类讨论：当AC＝AM时，易得点M1（0，3），如图；②当CM＝CA时，先计算出AC＝，再以C点为圆心，CA为半径画弧交y轴于M2，M3，如图，易得M2（0，﹣3），M3（0，﹣﹣3）．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）和点B关于直线x＝1对称，
∴B（3，0），
∴抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴﹣3a＝-3，解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）当AC＝AM时，点M1与点C关于x轴对称，则M1（0，3），如图；
②当CM＝CA时，AC＝＝，
以C点为圆心，CA为半径画弧交y轴于M2，M3，如图，则OM2＝﹣1，OM3＝OC+CM3＝3+，则M2（0，﹣3），M3（0，﹣﹣3）．
综上所述，满足条件的点M的坐标为（0，3），（0，﹣3），（0，﹣﹣3）．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．解决（2）小题的关键是利用等腰三角形的性质画出点M的坐标．