辽宁省葫芦岛市南票区2022-2023学年上学期八年级期中数学试卷

这是一份辽宁省葫芦岛市南票区2022-2023学年上学期八年级期中数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年辽宁省葫芦岛市南票区八年级（上）期中
数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）一个多边形每一个外角都等于18°，则这个多边形的边数为（　　）
A．10 B．12 C．16 D．20
2．（3分）已知三角形的三个外角的度数比为2：3：4，则它的最大内角的度数为（　　）
A．90° B．110° C．100° D．120°
3．（3分）如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E、F分别是线段AD、CE的中点，则△ABC的面积等于△BEF的面积的（　　）

A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．5倍
4．（3分）如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝（　　）度．

A．180 B．270 C．360 D．540
5．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC＝3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（　　）

A．3：2 B．6：4 C．4：9 D．不能确定
6．（3分）若一个图形上所有点的纵坐标不变，横坐标乘以﹣1，则所得图形与原图形的关系为（　　）
A．关于x轴成轴对称图形
B．关于y轴成轴对称图形
C．关于原点成中心对称图形
D．无法确定
7．（3分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若∠DBC＝76°，则∠A的度数为（　　）

A．36° B．38° C．40° D．45°
8．（3分）如图，已知△ABC的周长是20，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的面积是（　　）

A．20 B．25 C．30 D．35
9．（3分）如图，将长方形ABCD沿EF折叠，B，C分别落在点H，G的位置，CD与HE交于点M．下列说法中，不正确的是（　　）

A．∠MFE＜∠HMF B．FG+FM＝EB C．ME＝MF D．∠GFM＝∠MEA
10．（3分）如图所示，已知△ABC（AC＜AB＜BC），用尺规在线段BC上确定点P，使得PA+PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共36分）
11．（3分）在△ABC中，AB＝6，AC＝10，那么中线AD边的取值范围是 　 　．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为　 　．

13．（3分）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝　 　．

14．（3分）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠1＝47°，∠2＝20°，那么∠3＝　 　．

15．（3分）两个全等的三角尺重叠摆放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转到△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F．已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，AB＝16cm，则AF＝　 　．

16．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝40°，AE平分∠BAC，AD⊥BC，垂足为点D，那么∠DAE＝　 　度．

17．（3分）如图，∠AOB＝15°，P是OA上一点，P与P′关于OB对称，作P′M⊥OA于点M，OP＝4，则MP′＝　 　．

18．（3分）如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为　 　cm．

19．（3分）点P关于x轴对称点是（a，2），点P关于y轴对称点是（﹣3，b），则a+b的值为 　 　．
20．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为　 　．
21．（3分）如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，过点D作DE⊥DF，交AB于点F，交BC于点E．若S四边形DFBE＝16，则AB的长为 　 　．

22．（3分）如图，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论要：
①AE＝BD；
②AG＝BF；
③FG∥BE；
④OC平分∠BOE，
其中结论正确的个数是 　 　（填序号）

三、解答题（共54分）
23．（10分）如图所示的坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标依次为A（﹣1，2），B（﹣4，1），C（﹣2，﹣2）．
（1）请在这个坐标系中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
（2）分别写出点A1、B1、C1的坐标．
（3）△A1B1C1的面积为　 　．

24．（10分）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B＝30°，∠ACB＝40°，求∠E的度数；
（2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E．

25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点A与点B分别在x轴与y轴的正半轴上移动，BE是∠ABy的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠C的大小是否随点A、B的移动而发生变化？如果保持不变，求出∠C的大小；如果随点A、B的移动而发生变化，请求出变化范围．

26．（12分）如图，点A、B、C在同一直线上，△ABD，△BCE都是等边三角形．
（1）求证：AE＝CD；
（2）若M，N分别是AE，CD的中点，试判断△BMN的形状，并证明你的结论．

27．（14分）如图1，将两块全等的三角板拼在一起，其中△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC且AC＝BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，EF⊥FP且EF＝FP．
（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；
（2）将三角板△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP、BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；
（3）将三角板△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP、BQ．你认为（2）中猜想的BQ与AP所满足的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．


2022-2023学年辽宁省葫芦岛市南票区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）一个多边形每一个外角都等于18°，则这个多边形的边数为（　　）
A．10 B．12 C．16 D．20
【分析】利用多边形的外角和除以外角度数可得边数．
【解答】解：∵一个多边形的每一个外角都等于18°，且多边形的外角和等于360°，
∴这个多边形的边数是：360°÷18°＝20，
故选：D．
【点评】此题主要考查了多边形的外角，关键是掌握多边形的外角和为360°．
2．（3分）已知三角形的三个外角的度数比为2：3：4，则它的最大内角的度数为（　　）
A．90° B．110° C．100° D．120°
【分析】根据三角形的外角和等于360°列方程求三个外角的度数，确定最大的内角的度数即可．
【解答】解：设三个外角的度数分别为2k，3k，4k，
根据三角形外角和定理，可知2k°+3k°+4k°＝360°，得k＝40°，
所以最小的外角为2k＝80°，
故最大的内角为180°﹣80°＝100°．
故选：C．
【点评】此题考查的是三角形外角和定理及内角与外角的关系，解答此题的关键是根据题意列出方程求解．
3．（3分）如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E、F分别是线段AD、CE的中点，则△ABC的面积等于△BEF的面积的（　　）

A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．5倍
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【解答】解：∵点E是AD的中点，
∴S△ABE＝S△ABD，S△ACE＝S△ADC，
∴S△ABE+S△ACE＝S△ABC，
∴S△BCE＝S△ABC，
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF＝S△BCE．
∴△ABC的面积等于△BEF的面积的4倍．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
4．（3分）如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝（　　）度．

A．180 B．270 C．360 D．540
【分析】根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”可知能把，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6全部转化到∠2，∠3所在的四边形中，利用四边形内角和为360度可得答案．
【解答】解：如图所示，

∵∠4+∠6＝∠7，∠1+∠5＝∠8，
又∵∠3+∠2+∠7+∠8＝360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系及四边形内角和定理，（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）四边形内角和为360°．
5．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC＝3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（　　）

A．3：2 B．6：4 C．4：9 D．不能确定
【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，利用角平分线的性质可得DE＝DF，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答．
【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵AB：AC＝3：2，
∴＝＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
6．（3分）若一个图形上所有点的纵坐标不变，横坐标乘以﹣1，则所得图形与原图形的关系为（　　）
A．关于x轴成轴对称图形
B．关于y轴成轴对称图形
C．关于原点成中心对称图形
D．无法确定
【分析】首先熟悉：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y）；关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y）．横坐标都乘以﹣1，即是横坐标变成相反数，则实际是得出了这个图形关于y轴的对称图形．
【解答】解：根据轴对称的性质，得纵坐标不变，横坐标都乘以﹣1，即是横坐标变成相反数，
则实际是所得图形与原图形关于y轴的对称图形．
故选：B．
【点评】考查了平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点．
7．（3分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若∠DBC＝76°，则∠A的度数为（　　）

A．36° B．38° C．40° D．45°
【分析】利用三角形的内角和定理在△BCD中先求出∠BCD，利用角平分线的性质再求出∠ACB，最后在△ABC中利用三角形的内角和定理求出∠A．
【解答】解：∵BD⊥CD，
∴∠D＝90°．
∵∠DBC＝76°，
∴∠DCB＝90°﹣76°＝14°．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠DCB＝28°．
∵∠A＝∠ABD，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠A+∠A+76°+28°＝180°．
∴∠A＝38°．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，求出∠DCB利用三角形的内角和定理得到关于∠A的方程是解决本题的关键．
8．（3分）如图，已知△ABC的周长是20，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的面积是（　　）

A．20 B．25 C．30 D．35
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等（即OE＝OD＝OF），从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可．
【解答】解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OE＝OF＝OD＝3，
∵△ABC的周长是20，OD⊥BC于D，且OD＝3，
∴S△ABC＝×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF＝×（AB+BC+AC）×3
＝×20×3＝30，
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键．
9．（3分）如图，将长方形ABCD沿EF折叠，B，C分别落在点H，G的位置，CD与HE交于点M．下列说法中，不正确的是（　　）

A．∠MFE＜∠HMF B．FG+FM＝EB C．ME＝MF D．∠GFM＝∠MEA
【分析】根据三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角得∠HMF＞∠MFE，则∠MFE＜∠HMF，可判断A正确；
由折叠得FG＝FC，则FG+FM＝MC，如果FG+FM＝EB，那么需要满足的条件∠BEH＝90°，则∠HEF＝∠BEF＝45°，与已知条件不符，可判断B错误；
由CD∥AB，得∠MFE＝∠BEF，由折叠得∠MEF＝∠BEF，则∠MFE＝∠MEF，所以ME＝MF，可判断C正确；
由FG∥EH，得∠GFM＝∠EMF，由CD∥AB，得∠EMF＝∠MEA，则∠GFM＝∠MEA，可判断D正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵∠HMF是△MEF的外角，
∴∠HMF＞∠MFE，
∴∠MFE＜∠HMF，
故A正确；
∵FG＝FC，
∴FG+FM＝MC，
若FG+FM＝EB，则MC＝EB，需要满足的条件是∠BEH＝90°，
∴∠HEF＝∠BEF＝45°，与已知条件不符，
∴FG+FM与EB不一定相等，
故B错误；
∵四边形ABCD是长方形，
∴CD∥AB，
∴∠MFE＝∠BEF，
由折叠得∠MEF＝∠BEF，
∴∠MFE＝∠MEF，
∴ME＝MF，
故C正确；
∵FG∥EH，
∴∠GFM＝∠EMF，
∵∠EMF＝∠MEA，
∴∠GFM＝∠MEA，
故D正确，
故选：B．
【点评】此题重点考查轴对称的性质、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，根据平行线的性质和轴对称的性质推导出相等的角是解题的关键．
10．（3分）如图所示，已知△ABC（AC＜AB＜BC），用尺规在线段BC上确定点P，使得PA+PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由于PA+PC＝BC，所以PB＝PA，根据线段垂直平分线的性质得到P点为AB的垂直平分线与BC的交点，然后利用基本作图对各选项进行判断．
【解答】解：∵PA+PC＝BC，
∴PB＝PA，
∴P点为AB的垂直平分线与BC的交点，
∴符合要求的作图痕迹是．
故选：C．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
二、填空题（每小题3分，共36分）
11．（3分）在△ABC中，AB＝6，AC＝10，那么中线AD边的取值范围是 　2＜AD＜8　．
【分析】延长AD到E，使AD＝DE，连接CE，得出△ADB≌△EDC，推出CE＝AB＝6，根据三角形三边关系定理得出即可．
【解答】解：如图，

延长AD到E，使AD＝DE，则AE＝2AD，连接CE，
∵AD是△ABC中线，
∴CD＝BD，
在△ADB和△EDC中，
，
∴△ADB≌△EDC（SAS），
∴AB＝EC＝6，
在△ACE中，AB＝6，AC＝10，
10﹣6＜AE＜10+6，
∴4＜2AD＜16，
∴2＜AD＜8，
故答案为：2＜AD＜8．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用、三角形三边关系定理，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为　5　．

【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，求出∠DAE＝∠EAB＝30°，根据平行线的性质求出∠F＝∠BAE＝30°，从而得到∠DAE＝∠F，根据等角对等边求出AD＝DF，求出∠B＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×120°＝60°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE＝∠EAB＝∠BAD＝×60°＝30°，
∵DF∥AB，
∴∠F＝∠BAE＝30°，
∴∠DAE＝∠F＝30°，
∴AD＝DF，
∵∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴AD＝AB＝×10＝5，
∴DF＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质是解题的关键．
13．（3分）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝　55°　．

【分析】求出∠BAD＝∠EAC，证△BAD≌△CAE，推出∠2＝∠ABD＝30°，根据三角形的外角性质求出即可．
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△BAD和△CAE中，

∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠2＝∠ABD＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，
故答案为：55°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是推出△BAD≌△CAE．
14．（3分）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠1＝47°，∠2＝20°，那么∠3＝　35°　．

【分析】利用360°减去等边三角形的一个内角的度数，减去正方形的一个内角的度数，减去正五边形的一个内角的度数，然后减去∠1和∠2即可求得．
【解答】解：等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数是：（5﹣2）×180°＝108°，
则∠3＝360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣∠1﹣∠2＝35°．
故答案是：35°．
【点评】本题考查了多边形的外角和定理，正确理解∠3等于360°减去等边三角形的一个内角的度数，减去正方形的一个内角的度数，减去正五边形的一个内角的度数，然后减去∠1和∠2是关键．
15．（3分）两个全等的三角尺重叠摆放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转到△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F．已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，AB＝16cm，则AF＝　4cm　．

【分析】利用旋转的性质得出DC＝AC，∠D＝∠CAB，再利用已知角度得出∠AFC＝90°，再利用直角三角形的性质得出AF的长．
【解答】解：∵将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，
∴DC＝AC，∠D＝∠CAB，
∴∠D＝∠DAC，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，
∴∠D＝∠CAB＝60°，
∴∠DCA＝60°，
∴∠ACF＝30°，
可得∠AFC＝90°，
∵AB＝16cm，
∴AC＝AB＝8cm，
∴AF＝AC＝4cm，
故答案为：4cm．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质，正确得出∠AFC的度数是解题关键．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝40°，AE平分∠BAC，AD⊥BC，垂足为点D，那么∠DAE＝　10　度．

【分析】由三角形内角和定理得出∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，由角平分线定义和垂线的性质得出∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝40°，∠ADB＝90°，由直角三角形的性质求出∠BAD＝90°﹣∠B＝30°，即可得出结果．
【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，
∵AE平分∠BAC，AD⊥BC，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝40°，∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝30°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝10°；
故答案为：10．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、直角三角形的性质；熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
17．（3分）如图，∠AOB＝15°，P是OA上一点，P与P′关于OB对称，作P′M⊥OA于点M，OP＝4，则MP′＝　2　．

【分析】如图，连接OP′．构造特殊直角三角形解决问题即可．
【解答】解：如图，连接OP′．

∵P与P′关于OB对称，
∴∠AOB＝∠P′OB＝15°，OP′＝OP＝4，
∴∠AOP′＝30°，
∵P′M⊥OA，
∴∠OMP′＝90°，
∴P′M＝OP′＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查轴对称的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题
18．（3分）如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为　8　cm．

【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝12，解得AD＝6cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短＝（BM+MD）+BD＝AD+BC＝6+×4＝6+2＝8cm．
故答案为：8．

【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
19．（3分）点P关于x轴对称点是（a，2），点P关于y轴对称点是（﹣3，b），则a+b的值为 　1　．
【分析】根据平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点，分别求出点P的坐标的两种形式，依此求得a、b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点P关于x轴的对称点为（a，2），
∴点P的坐标为（a，﹣2），
∵点P关于y轴对称点为（﹣3，b），
∴点P的坐标为（3，b），
则a＝3，b＝﹣2．
∴a+b＝3﹣2＝1．
故答案为：1．
【点评】考查了关于x轴、y轴的对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律．
20．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为　115°或65°　．
【分析】分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可．
【解答】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+25°＝115°；
②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，
故顶角是90°﹣25°＝65°．
故答案为：115°或65°．

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况．同时考查了：直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
21．（3分）如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，过点D作DE⊥DF，交AB于点F，交BC于点E．若S四边形DFBE＝16，则AB的长为 　8　．

【分析】连接BD，根据ASA证明△ADF≌△BDE得出S△ADF＝S△BDE，再根据S△ADF+S△BDF＝16，即可推出结果．
【解答】解：如图，连接BD，

∵△ABC是等腰直角三角形，D为AC的中点，
∴BD＝AD，BD⊥AC，∠A＝∠EBD＝＝45°，
∴∠ADF+∠BDF＝90°，
∵DE⊥DF，
∴∠EDB+∠BDF＝90°，
∴∠ADF＝∠EDB，
∴△ADF≌△BDE（ASA），
∴S△ADF＝S△BDE，
∵S四边形DFBE＝16，
∴S△ADF+S△BDF＝16，
∴S△ABD＝16，
∴S△ABC＝2S△ABD＝32，
即＝32，
∴AB＝8（负值舍去），
故答案为：8．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，证明△ADF≌△BDE是解题的关键．
22．（3分）如图，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论要：
①AE＝BD；
②AG＝BF；
③FG∥BE；
④OC平分∠BOE，
其中结论正确的个数是 　①②③④　（填序号）

【分析】首先根据等边三角形的性质，得到BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠BCD＝60°，然后由SAS判定△BCD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；又由全等三角形的对应角相等，得到∠CBD＝∠CAE，根据ASA，证得△BCF≌△ACG，即可得到②正确，同理证得CF＝CG，得到△CFG是等边三角形，易得③正确．
【解答】解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠ACD+∠ECD，∠ACD＝60°，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE＝BD，（①正确）
∠CBD＝∠CAE，
∵∠BCA＝∠ACG＝60°，AC＝BC，
∴△BCF≌△ACG（ASA），
∴AG＝BF，（②正确）
同理：△DFC≌△EGC（ASA），
∴CF＝CG，
∴△CFG是等边三角形，
∴∠CFG＝∠FCB＝60°，
∴FG∥BE，（③正确）
过C作CM⊥AE于M，CN⊥BD于N，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠BDC＝∠AEC，
∵CD＝CE，∠CND＝∠CMA＝90°，
∴△CDN≌△CEM（AAS），
∴CM＝CN，
∵CM⊥AE，CN⊥BD，
∴△Rt△OCN≌Rt△OCM（HL），
∴∠BOC＝∠EOC，
∴④正确；
故答案为：①②③④．

【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质．此题图形比较复杂，解题的关键是仔细识图，合理应用数形结合思想．
三、解答题（共54分）
23．（10分）如图所示的坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标依次为A（﹣1，2），B（﹣4，1），C（﹣2，﹣2）．
（1）请在这个坐标系中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
（2）分别写出点A1、B1、C1的坐标．
（3）△A1B1C1的面积为　　．

【分析】（1）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
（2）由（1）中所作图形可得答案；
（3）利用割补法求解可得．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．


（2）由图知，A1的坐标为（1，2）、B1的坐标为（4，1）、C1的坐标为（2，﹣2）；

（3）△A1B1C1的面积为3×4﹣×1×4﹣×1×3﹣×2×3＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
24．（10分）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B＝30°，∠ACB＝40°，求∠E的度数；
（2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E．

【分析】（1）根据三角形外角性质求出∠ACD，即可求出∠ACE，求出∠CAE，根据三角形内角和求出∠E即可；
（2）利用三角形的外角的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝40°，
∴∠ACD＝180°﹣40°＝140°，
∵∠B＝30°，
∴∠EAC＝∠B+∠ACB＝70°，
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ACE＝70°，
∴∠E＝180°﹣70°﹣70°＝40°；
（2）∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE，
∵∠DCE＝∠B+∠E，
∴∠ACE＝∠B+∠E，
∵∠BAC＝∠ACE+∠E，
∴∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E．
【点评】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点A与点B分别在x轴与y轴的正半轴上移动，BE是∠ABy的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠C的大小是否随点A、B的移动而发生变化？如果保持不变，求出∠C的大小；如果随点A、B的移动而发生变化，请求出变化范围．

【分析】根据角平分线的定义、三角形的外角性质求解．
【解答】解：∠C的大小保持不变．理由：
∵AC平分∠OAB，BE平分∠ABY，
∴∠ABE＝∠ABY，∠CAB＝∠OAB，
∴∠C＝∠ABE﹣∠CAB＝∠ABy﹣∠OAB＝（∠ABy﹣∠OAB）＝∠AOB＝45°．
故∠C的大小不发生变化，且始终保持45°．
【点评】本题考查的是三角形角平分线的性质以及三角形外角的性质，解答此题目要注意三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．
26．（12分）如图，点A、B、C在同一直线上，△ABD，△BCE都是等边三角形．
（1）求证：AE＝CD；
（2）若M，N分别是AE，CD的中点，试判断△BMN的形状，并证明你的结论．

【分析】（1）要求AE＝CD，可把两条线段放在△ABE，△DBC中，求两个三角形全等即可；
（2）只要证明△ABM≌△DBN，即可推出BM＝BN，∠ABM＝∠DBN，再证明∠MBN＝60°即可；
【解答】（1）证明：∵△ABD、△BCE都是等边三角形，
∴AB＝BD，BC＝BE，∠ABD＝∠CBE＝60°，
∴∠ABD+∠DBE＝∠DBE+∠CBE即∠ABE＝∠DBC，
∴在△ABE和△DBC中，
，
△ABE≌△DBC．
∴AE＝CD．

（2）解：△MBN是等边三角形．
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE＝∠BDC．
∵AE＝CD，M、N分别是AE、CD的中点，
∴AM＝DN；
又∵AB＝DB．
∴△ABM≌△DBN．
BM＝BN．
∠ABM＝∠DBN．
∴∠DBM+∠DBN＝∠DBM+∠ABM＝∠ABD＝60°．
∴△MBN是等边三角形．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
27．（14分）如图1，将两块全等的三角板拼在一起，其中△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC且AC＝BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，EF⊥FP且EF＝FP．
（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；
（2）将三角板△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP、BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；
（3）将三角板△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP、BQ．你认为（2）中猜想的BQ与AP所满足的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

【分析】（1）由题意可得△ABC与△EFP是全等的等腰直角三角形，可得∠BAC＝∠CAP＝45°，AB＝AP，可得AP＝AB，AP⊥AB；
（2）求出CQ＝CP，根据SAS证△BCQ≌△ACP，推出AP＝BQ，∠CBQ＝∠PAC，根据三角形内角和定理求出∠CBQ+∠BQC＝90°，推出∠PAC+∠AQG＝90°，求出∠AGQ＝90°即可；
（3）证明相等时思路同（1），证明垂直时，延长QB交AP于点N，则∠PBN＝∠CBQ，借助全等得到的角相等，得出∠APC+∠PBN＝90°，可得出结论．
【解答】解：（1）结论：AP＝AB，AP⊥AB．
理由：∵AC⊥BC，且AC＝BC，边EF与边AC重合，且EF＝FP．
∴△ABC与△EFP是全等的等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠CAP＝45°，AB＝AP，
∴∠BAP＝90°，
∴AP＝AB，AP⊥AB；

（2）BQ与AP所满足的数量关系是AP＝BQ，位置关系是AP⊥BQ，理由如下：
延长BQ交AP于G，

由（1）知，∠EPF＝45°，∠ACP＝90°，
∴∠PQC＝45°＝∠QPC，
∴CQ＝CP，
在△BCQ和△ACP中，
，
∴△BCQ≌△ACP（SAS），
∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠PAC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CBQ+∠BQC＝90°，
∵∠CQB＝∠AQG，
∴∠AQG+∠PAC＝90°，
∴∠AGQ＝180°﹣90°＝90°，
∴AP⊥BQ；

（3）成立，理由如下：
如图，∵∠EPF＝45°，
∴∠CPQ＝45°，
又∵AC⊥BC，
∴∠CQP＝∠CPQ＝45°，
∴CQ＝CP，
在△BCQ和△ACP中，
，
∴△BCQ≌△ACP（SAS），
∴BQ＝AP，
如图3，延长QB交AP于点N，

则∠PBN＝∠CBQ，
∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，
∴∠BQC＝∠APC，
在Rt△BCQ中，∠BQC+∠CBQ＝90°，
∴∠APC+∠PBN＝90°，
∴∠PNB＝90°，
∴QB⊥AP．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形性质和全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．