湖南省常德市武陵区2021-2022学年上学期九年级期末数学试卷

这是一份湖南省常德市武陵区2021-2022学年上学期九年级期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖南省常德市武陵区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．2x2+x﹣y＝0 B．ax2+4x﹣5＝0 C．x+1＝0 D．x2﹣1＝0
2．（3分）反比例函数y＝﹣的图象位于（　　）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、四象限 D．第二、三象限
3．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）已知线段AB＝1，C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为（　　）
A． B． C．或 D．以上都不对
5．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．调查大明湖的水质情况，采用普查的方式
B．在连续5次数学测试中，两名同学的平均分相同，方差较大的同学成绩更稳定
C．一组数据3、6、6、7、9的众数是6
D．从2000 名学生中随机抽取100名学生进行调查，样本容量为2000名学生
6．（3分）将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3（x+1）2+2，下列平移方式中，正确的是（　　）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
7．（3分）如图，点P是△ABC边AB上一点（AB＞AC），下列条件不一定能使△ACP∽△ABC的是（　　）

A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C． D．
8．（3分）在同一坐标系中，二次函数y＝bx2+ax与一次函数y＝ax﹣b的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）已知△ABC∽△DEF，相似比是1：3，则面积比S△ABC：S△DEF＝　 　．
10．（3分）若，则的值是　 　．
11．（3分）在相同时刻的物高与影长成比例．小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在地面上的影长为40米，则古塔高为　 　米．
12．（3分）已知二次函数y＝x2﹣4x+m﹣3的最小值为3，则m＝　 　．
13．（3分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则关于x的不等式kx+b＞的解集是　 　．

14．（3分）在反比例函数y＝（m为常数）的图象上三点（﹣1，y1）、（﹣2，y2）、（，y3），则函数值y1、y2、y3的大小关系是 　 　．
15．（3分）校运动会铅球比赛时，小林推出的铅球行进的高度y（米）与水平距离x（米）满足关系式y＝﹣x2+x+，则小林这次铅球推出的距离是　 　米．

16．（3分）如图，在△ABC中，点A1，B1，C1分别是AC，BC，AB的中点，连接A1C1，A1B1，四边形A1B1BC1的面积记作S1，点A2，B2，C2分别是A1C，B1C，A1B1的中点，连接A2C2，A2B2，四边形A2B2B1C2的面积记作S2…，按此规律进行下去，若S△ABC＝a，则S2021＝　 　．

三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）
17．（5分）计算：（﹣）﹣2+|﹣2sin60°|﹣+（3﹣）0．
18．（5分）用适当的方法解一元二次方程：x2+2x＝1．
四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）
19．（6分）如图，直线y＝ax+1与x轴、y轴分别相交于A，B两点，与双曲线y＝（x＞0）相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC＝2，点A的坐标为（2，0）．求双曲线的解析式．

20．（6分）如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40．
求证：△ABC∽△AED．

五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）
21．（7分）某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门．如图为该测温门截面示意图，已知测温门AD的顶部A处距地面高为2.2m，为了解自己的有效测温区间．身高1.6m的小聪做了如下实验：当他在地面N处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°．求小聪在地面的有效测温区间MN的长度．（额头到地面的距离以身高计，计算精确到0.1m，≈1.73，≈1.41）

22．（7分）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1、x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|＝2，求m的值．
六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）
23．（8分）为深化课改，落实立德树人目标，某学校设置了以下四门拓展性课程：A．数学思维，B．文学鉴赏，C．红船课程，D.3D打印，规定每位学生选报一门．为了解学生的报名情况，随机抽取了部分学生进行调查，并制作成如下两幅不完整的统计图，请回答下列问题：

（1）求这次被调查的学生人数；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）假如全校有学生1000人，请估计选报“红船课程”的学生人数．
24．（8分）在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带．
（1）若丝绸条带的面积为650cm2，求丝绸条带的宽度；
（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价为100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司每天把销售单价定为多少元时，当日所获利润为22500元．

七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分），
25．（10分）根据已知图形解答下列问题．
（1）问题发现
如图1，A、B、C、D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上，仓库P和Q分别位于AD和DC上，且两条直路BP⊥AQ．试判断的BP与AQ数量关系．并说明理由．
（2）类比探究
如图2，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝9．点P在边AD上，连接BP，过点A作AQ⊥BP于点M，交射线DC于点Q．求的值．
（3）拓展延伸
如图3，在三角形ABD中，∠BAD＝90°，AB＝6，AD＝9，P是AD边上一动点，Q是BD边上一动点，且，当BP⊥AQ时，AP＝　 　．

26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是．
（1）求点B的坐标；
（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在（2）中x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把△AOB分成两个三角形，使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


2021-2022学年湖南省常德市武陵区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．2x2+x﹣y＝0 B．ax2+4x﹣5＝0 C．x+1＝0 D．x2﹣1＝0
【分析】利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论．
【解答】解：A.2x2+x﹣y＝0是二元二次方程，选项A不符合题意；
B．当a＝0时，ax2+4x﹣5＝0是一元一次方程，选项B不符合题意；
C．x+1＝0是一元一次方程，选项C不符合题意；
D．x2﹣1＝0是一元二次方程，选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
2．（3分）反比例函数y＝﹣的图象位于（　　）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、四象限 D．第二、三象限
【分析】根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，k＞0，位于一、三象限；k＜0，位于二、四象限．
【解答】解：∵y＝﹣，k＝﹣1＜0，
∴函数图象过二、四象限．
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的图象和性质，比较简单，容易掌握．
3．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用锐角三角函数定义判断即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，
则sinA＝＝，
故选：B．

【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
4．（3分）已知线段AB＝1，C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为（　　）
A． B． C．或 D．以上都不对
【分析】分类讨论：当AC＞BC，根据黄金分割的定义得到AC＝AB＝；当AC＜BC，则BC＝AB＝，然后利用AC＝AB﹣BC进行计算．
【解答】解：∵线段AB＝1，C是线段AB的黄金分割点，
当AC＞BC，
∴AC＝AB＝；
当AC＜BC，
∴BC＝AB＝，
∴AC＝AB﹣BC＝1﹣＝．
故选：C．
【点评】本题考查了黄金分割：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，当较长线段是较短线段和整个线段的比例中项时，就说这个点把整个线段黄金分割，这个点就叫这条线段的黄金分割点，其中较长线段是整个线段的（约为0.618）倍．
5．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．调查大明湖的水质情况，采用普查的方式
B．在连续5次数学测试中，两名同学的平均分相同，方差较大的同学成绩更稳定
C．一组数据3、6、6、7、9的众数是6
D．从2000 名学生中随机抽取100名学生进行调查，样本容量为2000名学生
【分析】根据平均数、众数的定义及方差的意义解答可得．
【解答】解：A、调查湘江的水质情况，采用抽样调查的方式，说法错误，不合题意；
B、在连续5次的数学测试中，两名同学的平均分相同，方差较小的同学数学成绩更稳定，说法错误，不合题意；
C、一组数据3、6、6、7、9的众数是6，说法正确，符合题意；
D、从2000名学生中随机抽取100名学生进行调查，样本容量为100名学生，说法错误，不合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了平均数、众数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以数据的个数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数．
6．（3分）将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3（x+1）2+2，下列平移方式中，正确的是（　　）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
【解答】解：∵y＝﹣3x2的顶点坐标为（0，0），y＝﹣3（x+1）2+2的顶点坐标为（﹣1，2），
∴将抛物线y＝﹣3x2先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，可得到抛物线y＝﹣3（x+1）2+2．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
7．（3分）如图，点P是△ABC边AB上一点（AB＞AC），下列条件不一定能使△ACP∽△ABC的是（　　）

A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C． D．
【分析】根据相似三角形的判定方法．利用公共角∠A进行求解．
【解答】解：∵∠A＝∠A，
∴当∠APC＝∠ACB或∠ACP＝∠B或AC：AB＝AP：AC时，
△ACP∽△ABC．
故选：D．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
8．（3分）在同一坐标系中，二次函数y＝bx2+ax与一次函数y＝ax﹣b的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由一次函数y＝ax﹣b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝bx2+a的图象相比较看是否一致．
【解答】解：令bx2+ax＝ax﹣b，
整理得bx2＝﹣b，
∵b≠0
∴x2＝﹣1，该方程无实数根，
故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．
A：由二次函数图象可知，b＞0，a＜0；由一次函数图象可知a＞0，b＞0，两者矛盾，故A不正确；
C：由二次函数图象可知，b＜0，a＜0；由一次函数图象可知a＜0，b＞0，两者矛盾，故C不正确；
D：由二次函数图象可知，b＜0，a＞0；由一次函数图象可知a＞0，b＜0，两者一致，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与b的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数图象得相关性质进行分析，本题中等难度偏上．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）已知△ABC∽△DEF，相似比是1：3，则面积比S△ABC：S△DEF＝　1：9　．
【分析】由△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：3，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：3，
∴S△ABC：S△DEF＝1：9．
故答案为：1：9．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意熟记定理是解此题的关键．
10．（3分）若，则的值是　　．
【分析】根据比例的性质用b表示出a，然后代入比例式进行计算即可得解．
【解答】解：∵＝，
∴a＝b，
∴＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，根据比例的性质用b表示出a是解题的关键．
11．（3分）在相同时刻的物高与影长成比例．小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在地面上的影长为40米，则古塔高为　30　米．
【分析】利用相似三角形的相似比，列出方程求解即可．
【解答】解：根据题意得：1.5：2＝古塔高：40
∴古塔高为30米．
答案：古塔高为30米．
【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出古塔高．
12．（3分）已知二次函数y＝x2﹣4x+m﹣3的最小值为3，则m＝　10　．
【分析】将二次函数化为顶点式，即可建立关于m的等式，解方程求出m的值即可．
【解答】解：原式可化为：y＝（x﹣2）2﹣7+m，
∵函数的最小值是3，
∴﹣7+m＝3，
解得m＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了二次函数的最值，会用配方法将原式化为顶点式是解题的关键．
13．（3分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则关于x的不等式kx+b＞的解集是　x＜﹣1或0＜x＜2　．

【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围便是不等式kx+b＞的解集．
【解答】解：由函数图象可知，当一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象在反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象上方时，x的取值范围是：x＜﹣1或0＜x＜2，
∴不等式kx+b＞的解集是x＜﹣1或0＜x＜2，
故答案为：x＜﹣1或0＜x＜2．
【点评】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．
14．（3分）在反比例函数y＝（m为常数）的图象上三点（﹣1，y1）、（﹣2，y2）、（，y3），则函数值y1、y2、y3的大小关系是 　y3＜y2＜y1　．
【分析】先根据反比例函数中k＝﹣m2﹣1＜0判断出函数图象所在的象限，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【解答】解：∵在函数y＝（m为常数）中k＝﹣m2﹣1＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．
∵﹣2＜﹣1＜0，
∴0＜y2＜y1．
∵＞0，
∴y3＜0，
∴y3＜y2＜y1．
故答案为：y3＜y2＜y1．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
15．（3分）校运动会铅球比赛时，小林推出的铅球行进的高度y（米）与水平距离x（米）满足关系式y＝﹣x2+x+，则小林这次铅球推出的距离是　10　米．

【分析】求铅球推出的距离即函数的图象和横轴在正半轴的交点，令函数值y＝0，解一元二次方程即可．
【解答】解：令y＝0，
∴＝0，
∴x2﹣8x﹣20＝0
∴x＝＝
∴x1＝10，x2＝﹣2（舍去）
∴小林这次铅球推出的距离是10米．
故答案为10米．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题的应用，当y＝0时可求出图形和横轴的交点坐标．
16．（3分）如图，在△ABC中，点A1，B1，C1分别是AC，BC，AB的中点，连接A1C1，A1B1，四边形A1B1BC1的面积记作S1，点A2，B2，C2分别是A1C，B1C，A1B1的中点，连接A2C2，A2B2，四边形A2B2B1C2的面积记作S2…，按此规律进行下去，若S△ABC＝a，则S2021＝　a　．

【分析】根据三角形中位线定理可求出S1的值，进而可得S2的值，找出规律即可得S2021的值．
【解答】解：∵A1C1、A1B1是△ABC的中位线，
∴A1B1∥AB，
∴△AB1C∽△ABC，
∴＝S△ABC＝，同理可得＝S△ABC＝，
从而S1＝a﹣﹣＝，
同理可得S2＝＝＝，S3＝，
∴Sn＝，
故S2021＝＝a．
故答案为：a．
【点评】本题考查了三角形中位线的性质定理，相似三角形的判定与性质，正确得出面积的变化规律是解题的关键．
三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）
17．（5分）计算：（﹣）﹣2+|﹣2sin60°|﹣+（3﹣）0．
【分析】先计算二次根式、零次幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
【解答】解：（﹣）﹣2+|﹣2sin60°|﹣+（3﹣）0
＝4+2×﹣2+1
＝4+﹣2+1
＝5﹣．
【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．
18．（5分）用适当的方法解一元二次方程：x2+2x＝1．
【分析】利用配方法解出方程即可．
【解答】解：x2+2x＝1，
配方，得x2+2x+1＝1+1，
则（x+1）2＝2，
∴x+1＝±，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣﹣1．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）
19．（6分）如图，直线y＝ax+1与x轴、y轴分别相交于A，B两点，与双曲线y＝（x＞0）相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC＝2，点A的坐标为（2，0）．求双曲线的解析式．

【分析】根据点A的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的函数解析式，把y＝2代入解析式求出x值，即可得出点P的坐标，结合点P的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出双曲线的解析式．
【解答】解：将点A（﹣2，0）代入y＝ax+1中，
得：0＝﹣2a+1，解得：a＝，
∴直线AB的函数解析式为y＝x+1．
把y＝2代入y＝x+1中，得2＝x+1，
解得x＝2，
∴P（2，2），
∵点P（2，2）在双曲线y＝（x＞0）上，
∴k＝2×2＝4，
∴双曲线的解析式为y＝（x＞0）．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出点P的坐标．
20．（6分）如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40．
求证：△ABC∽△AED．

【分析】由∠BAE＝∠CAD知∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD，再根据线段的长得出＝＝，据此即可得证．
【解答】解：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD，
∵AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40，
∴＝＝，
∴△ABC∽△AED．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）
21．（7分）某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门．如图为该测温门截面示意图，已知测温门AD的顶部A处距地面高为2.2m，为了解自己的有效测温区间．身高1.6m的小聪做了如下实验：当他在地面N处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°．求小聪在地面的有效测温区间MN的长度．（额头到地面的距离以身高计，计算精确到0.1m，≈1.73，≈1.41）

【分析】根据题意画出图形，延长BC交AD于点E，可得则AE＝AD﹣DE＝0.6m，进而可得结果．
【解答】解：如图，延长BC交AD于点E，则AE＝AD﹣DE＝0.6（m），
MN＝BC＝2CE＝2×≈0.7（m），
答：小聪在地面的有效测温区间MN的长度约为0.7m．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
22．（7分）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1、x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|＝2，求m的值．
【分析】（1）先求出△的值，再通过配方得出Δ＞0，即可得出结论；
（2）根据x1、x2是原方程的两根，得出x1+x2＝﹣m﹣3，x1x2＝m+1，再根据|x1﹣x2|＝2，得出（x1﹣x2）2＝8，再根据（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2，代入计算即可．
【解答】解：（1）∵Δ＝（m+3）2﹣4（m+1）＝m2+2m+5＝（m+1）2+4＞0，
∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

（2）∵x1、x2是原方程的两根，
∴x1+x2＝﹣m﹣3，x1x2＝m+1，
∵|x1﹣x2|＝2，
∴（x1﹣x2）2＝8，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝8，
∴（﹣m﹣3）2﹣4（m+1）＝8，
∴m1＝1，m2＝﹣3．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与根的判别式△的关系：Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；Δ＜0⇔方程没有实数根．
六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）
23．（8分）为深化课改，落实立德树人目标，某学校设置了以下四门拓展性课程：A．数学思维，B．文学鉴赏，C．红船课程，D.3D打印，规定每位学生选报一门．为了解学生的报名情况，随机抽取了部分学生进行调查，并制作成如下两幅不完整的统计图，请回答下列问题：

（1）求这次被调查的学生人数；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）假如全校有学生1000人，请估计选报“红船课程”的学生人数．
【分析】（1）根据B的人数除以占的百分比，求出调查的学生总数即可；
（2）先求出D的人数，再求出A的人数，即可补全条形统计图；
（3）求出C占的百分比，乘以1000即可得到结果．
【解答】解：（1）16÷20%＝80（人）．
即这次被调查的学生人数为80人；

（2）选报D的学生有：80×＝14（人），
选报A的学生有：80﹣16﹣30﹣14＝20（人）．
条形图补充如图所示；


（3）×1000＝375（人）．
则估计选报“红船课程”的学生人数是375人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体．
24．（8分）在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带．
（1）若丝绸条带的面积为650cm2，求丝绸条带的宽度；
（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价为100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司每天把销售单价定为多少元时，当日所获利润为22500元．

【分析】（1）设出花边的宽，然后表示出花边的长，利用面积公式表示出其面积即可列出方程求解；
（2）设每件工艺品降价y元出售，则降价y元后可卖出的总件数为（200+20y），每件获得的利润为（100﹣y﹣40），此时根据获得的利润＝卖出的总件数×每件工艺品获得的利润﹣2000，列出次方程，求解即可．
【解答】解：（1）设条带的宽度为xcm，
根据题意，得（60﹣2x）（40﹣x）＝60×40﹣650．
整理，得x2﹣70x+325＝0，
解得x1＝5，x2＝65（舍去）．
答：丝绸条带的宽度为5cm．
（2）设每件工艺品降价y元出售，
由题意得：（100﹣y﹣40）（200+20y）﹣2000＝22500．
解得：y1＝y2＝25．
所以售价为100﹣25＝75（元）．
答：当售价定为75元时能达到利润22500元．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出一元二次方程模型，难度不大．
七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分），
25．（10分）根据已知图形解答下列问题．
（1）问题发现
如图1，A、B、C、D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上，仓库P和Q分别位于AD和DC上，且两条直路BP⊥AQ．试判断的BP与AQ数量关系．并说明理由．
（2）类比探究
如图2，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝9．点P在边AD上，连接BP，过点A作AQ⊥BP于点M，交射线DC于点Q．求的值．
（3）拓展延伸
如图3，在三角形ABD中，∠BAD＝90°，AB＝6，AD＝9，P是AD边上一动点，Q是BD边上一动点，且，当BP⊥AQ时，AP＝　5　．

【分析】（1）结论：AQ＝BP．如图1中，设AQ交BP于O．证明△ADQ≌△BAP（AAS）可得结论；
（2）①证明△ADQ∽△BAP，推出＝＝＝；
②如图2中，作MH⊥AB于H．设AH＝x，则BH＝6﹣x，利用相似三角形的性质构建方程求出x，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
（3）如图3中，由题意可以假设PA＝3k，DQ＝k，QH＝y，AH＝x．利用相似三角形的性质，平行线分线段成比例定理构建方程解决问题即可．
【解答】解：（1）结论：AQ＝BP．
理由：如图1中，设AQ交BP于O，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠BAP＝90°，AD＝AB，
∴∠DAQ+∠AQD＝90°，
∵AQ⊥BP，
∴∠AOP＝90°，
∴∠DAQ+∠APB＝90°，
∴∠AQD＝∠APB，
∴△ADQ≌△BAP（AAS），
∴AQ＝BP；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BAP＝90°，
∴∠DAQ+∠AQD＝90°，
∵AQ⊥BP，
∴∠AMP＝90°，
∴∠DAQ+∠APB＝90°，
∴∠AQD＝∠APB，
∴△ADQ∽△BAP，
∴＝＝＝；
（3）如图3中，过点Q作QH⊥AD于点H，则QH∥AB，

由题意可以假设AP＝3k，DQ＝k，QH＝y，AH＝x，
由（2）①可知：△AHQ∽△BAP，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
∵QH∥AB，
∴＝＝，
∵BD＝＝＝3，DH＝9﹣x，
∴＝＝，
∴y＝2k，
∴x＝4，
∴＝，
∴k＝，
∴AP＝3k＝5，
故答案为：5．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是．
（1）求点B的坐标；
（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在（2）中x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把△AOB分成两个三角形，使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由三角形S＝OB•＝可得点B的坐标；
（2）设抛物线的解析式为y＝ax（x+2），点A在其上，求得a；
（3）存在点C、过点A作AF垂直于x轴于点F，抛物线的对称轴x＝﹣1交x轴于点E、当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△AOC的周长最小，由三角形相似，得到C点坐标．
（4）设p（x，y），直线AB为y＝kx+b，解得k、b，由S四BPOD＝S△BPO+S△BOD，S△AOD＝S△AOB﹣S△BOD，两面积正比可知，求出x．
【解答】解：（1）由题意得OB•＝，
∴B（﹣2，0）．

（2）设抛物线的解析式为y＝ax（x+2），代入点A（1，），得，
∴y＝x2+x，

（3）存在点C、过点A作AF垂直于x轴于点F，抛物线
的对称轴x＝﹣1交x轴于点E、当点C位于对称轴
与线段AB的交点时，△AOC的周长最小，
∵△BCE∽△BAF，
∴，
∴CE＝＝，
∴C（﹣1，）．

（4）存在．如图，设P（x，y），直线AB为y＝kx+b，
则，
解得，
∴直线AB为y＝x+，
S四BPOD＝S△BPO+S△BOD＝|OB||YP|+|OB||YD|＝|YP|+|YD|
＝x+﹣（x2+x），
＝﹣x2﹣x+x+，
＝﹣x2﹣x+，
∵S△AOD＝S△AOB﹣S△BOD＝﹣×2×|x+|＝﹣x+，
∴＝＝，
∴x1＝﹣，x2＝1（舍去），
∴P（﹣，﹣），
又∵S△BOD＝x+，
∴＝＝，
∴x1＝﹣，x2＝﹣2．
P（﹣2，0），不符合题意．
∴存在，点P坐标是（﹣，﹣）．


【点评】本题二次函数的综合题，要求会求二次函数的解析式，考查三角形相似和面积公式等知识点，本题步骤有点多，做题需要认真细心．