湖南省永州市江华瑶族自治县第一中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题及答案

这是一份湖南省永州市江华瑶族自治县第一中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题及答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖南省永州市江华瑶族自治县第一中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知全集，集合，集合，则图中的阴影部分表示的集合为（    ）A． B． C． D．2．设，则（    ）A． B． C． D．3．设，则的最大值为（    ）A．1 B． C． D．4．已知函数的图像在点处的切线方程是，则（    ）A． B．2 C． D．35．命题：“”为假命题，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．6．已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．7．已知双曲线过点且渐近线为，则下列说法正确的个数的是（    ）（1）双曲线的方程为，（2）双曲线的离心率为，（3）曲线经过的一个焦点，（4）过双曲线的焦点且垂直于实轴的直线截双曲线的弦长为.A．1 B．2 C．3 D．48．已知满足，所在平面内一动点P满足），且，若恒成立，则的最小值为（    ）A． B． C． D．0 二、多选题9．已知奇函数的最小正周期为，将函数的图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ）A．函数 B．函数的图象关于点对称C．函数在区间上单调递增 D．当时，函数的最大值是10．已知抛物线：的焦点为，斜率为且经过点的直线与抛物线交于，两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（    ）A． B．为中点 C． D．11．正四棱锥的所有棱长为2，用垂直于侧棱的平面截该四棱锥，则（    ）A． B．四棱锥外接球的表面积为C．与底面所成的角为 D．当平面经过侧棱中点时，截面分四棱锥得到的上、下两部分几何体体积之比为3:112．设定义在R上的函数与的导函数分别为和，若， ，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（    ）A． B．函数的图象关于对称C． D． 三、填空题13．若等边三角形的边长为1，点满足，则__________．14．的展开式中的系数是__________．15．若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则该直线的斜率的范围是_______________________．16．已知函数，若存在，使得若存在成立 ，则的最小值为______ 四、解答题17．已知数列中，为的前项和，，，.(1)求的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求证：.18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面积．19．如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．20．在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）21．已知椭圆C：的离心率为，椭圆的上顶点B到两焦点的距离之和为4．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：与椭圆C交于异于点B的两点P，Q，直线BP，BQ与x轴相交于，，若，求证：直线过一定点，并求出定点坐标．22．已知函数．(1)若函数与x轴相切，求m的值；(2)若函数恰好有两个零点，证明：．
参考答案：1．D【分析】根据给定条件，利用韦恩图表达的集合运算直接计算作答.【详解】依题意，图中的阴影部分表示的集合是，而全集，，，所以.故选：D2．C【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.【详解】设，则，则，所以，，解得，因此，.故选：C.3．C【分析】先得到，解出，再对式子变形，利用基本不等式求出最大值.【详解】因为，所以，解得：，故，当且仅当，即时，等号成立，故的最大值为.4．D【分析】利用导数的几何意义求出和，即可求得.【详解】函数的图像在点处的切线的斜率就是在该点处的导数，即就是切线的斜率，所以.又，所以.故选：D5．A【分析】存在命题为假命题，则其否定是全称命题且为真命题，写出命题的否定，由不等式的性质可得结论．【详解】命题为假命题，即命题为真命题.首先，时，恒成立，符合题意；其次时，则且，即，综上可知，－4<故选：A6．C【分析】先由零点个数求出，再用整体法得到不等式组，求出的取值范围.【详解】，，其中，解得：，则，要想保证函数在恰有三个零点，满足①，，令，解得：；或要满足②，，令，解得：；经检验，满足题意，其他情况均不满足条件，综上：的取值范围是.故选：C【点睛】三角函数相关的零点问题，需要利用整体思想，数形结合等进行解决，通常要考虑最小正周期，确定的范围，本题中就要根据零点个数，先得到，从而求出，再进行求解.7．C【分析】根据渐近线方程设出双曲线方程为，代入，求出，得到双曲线方程；根据双曲线方程求出离心率及焦点坐标，判断出（2）（3）；中，令，解得，故（4）正确.【详解】因为渐近线为，所以可设双曲线方程为，将代入得：，即，故双曲线方程为；（1）正确；由题意得：，故，故离心率为，（2）错误；双曲线的焦点坐标为，而，所以经过焦点坐标，（3）正确；中，不妨令，则，解得：，故过双曲线的焦点且垂直于实轴的直线截双曲线的弦长为，（4）正确.故选：C8．A【分析】由平方可得，令，则可得，又恒成立，所以，求解的范围即可求解【详解】由平方可得，令，代入有，所以有，令其，即，也即，又恒成立，所以，解得所以的最小值为，故选：A9．AB【分析】利用两角差的正弦公式将化为，根据函数的最小正周期确定，根据奇偶性确定，可得其解析式，根据三角函数的平移变换可得函数的解析式，判断A;代入验证可判断B；根据x的范围，确定的范围，结合正弦函数性质，可判断C,D.【详解】由题意可得，因为的最小正周期为，所以 ，又因为为奇函数，所以，而，故，所以，则将函数的图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象，故，A正确；将代入中，有，即函数的图象关于点对称，B正确；当时，，由于正弦函数在上不单调，故在区间上不是单调递增函数，故C错误；当时，，，函数最大值为2，D错误，故选：AB10．ABC【分析】结合已知条件求出的纵坐标为，横坐标为，进而将的坐标代入抛物线方程即可求出的，进而联立即可求出相关点的坐标，然后逐项分析判断即可得出结果.【详解】因为直线的斜率为，且，所以的纵坐标为，横坐标为，所以，因为，解得，故A正确；因为，所以直线：，令，所以，则，又因为，则的中点为即为，故B正确；，解得或,即，则，，因此，故C正确；D错误，故选：ABC.11．ABD【分析】根据平面即可判断A,由底面，即可判断外接球的球心在上，利用勾股定理即可求半径，进而可判断B,即为与底面所成角，根据几何法即可判断C,取的中点，连接，，，能证明面，分别求出截面分四棱锥得到的上下两部分几何体体积，能判断D．【详解】过作底面于，则为中点，由于底面,所以,又平面,故平面，平面，故,故A正确，由正四棱锥的特征可知，其外接球的球心在上，设半径为,则,又,解得,故外接球的表面积为,故B正确，过作底面于，则为中点，则即为与底面所成角，正四棱锥所有棱长为2，，，，，故C错误，取的中点，连接，，，正四棱锥的所有棱长为2，为正三角形，，，又，平面所以面，故当平面经过侧棱中点时，平面即为平面，此时，，，，故D正确．故选：ABD12．AC【分析】由为奇函数可得，由取导数可得，结合条件，判断B，再由条件判断函数，的周期，由此计算，，判断C，D．【详解】因为为奇函数，所以，取可得，A对，因为，所以；所以，又，，故，所以函数的图象关于点对称，B错，因为，所以，所以，为常数，因为，所以，所以，取可得，所以，又，所以，所以，所以，故函数为周期为4的函数，因为，所以，，所以，所以，所以，由已知无法确定的值，故的值不一定为0，D错；因为，所以，，所以，故函数为周期为4的函数，所以函数为周期为4的函数，又，，，，所以，所以，C对，故选：AC.【点睛】方法点睛：抽象函数对称性与周期性的判断如下：若，则函数关于对称；若，则函数关于中心对称；若，则是的一个周期13．3【分析】利用，再代入，得到，利用向量数量积公式计算即可.【详解】，故答案为：314．120【分析】利用二项式定理得到的展开式中的系数为，从而得到答案为.【详解】的展开式中的系数为，故的展开式中的系数是.故答案为：12015．【详解】试题分析：圆可化为，∴圆心坐标为M（2，2），半径为，所求的圆上至少有三个不同的点到直线l：的距离为，∴圆心M到直线l的距离d应小于等于2，即，，所以直线的斜率的范围是考点：直线与圆相交的位置关系16．【分析】求导函数，分析的符号，得出函数的单调性，再由已知得，令，利用导函数得出所令函数的最值，可求得答案.【详解】解：的定义域为，由得，当时，单调递增，当时，单调递减， 又 由得，又，令，则令，得，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，，所以的最小值为，故答案为：.17．(1).(2)证明见解析. 【分析】（1）由已知得，即有，两式相减得，根据等比数列的定义得数列为第二项起为等比数列，由等比数列的通项公式可得答案；（2）由（1）得，运用错位相减法和数列的单调性可得证.【详解】（1）解：当时，，，得，两式相减得，，即有，即为数列为第二项起为等比数列，则，，，即有；（2）解：，得，则，即有前项和为，，两式相减可得，，化简得，由于各项大于0，得，由不等式的性质可得.故.18．(1)；(2)． 【分析】（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积．【详解】（1）由于， ，则．因为，由正弦定理知，则．（2）因为，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面积． 19．(1)证明见解析；(2)． 【分析】（1）过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、，由平面知识易得，再根据二面角的定义可知，，由此可知，，，从而可证得平面，即得；（2）由（1）可知平面，过点做平行线，所以可以以点为原点，，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，以及，即可利用线面角的向量公式解出．【详解】（1）过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、．∵四边形和都是直角梯形，，，由平面几何知识易知，，则四边形和四边形是矩形，∴在Rt和Rt，，∵，且，∴平面是二面角的平面角，则，∴是正三角形，由平面，得平面平面，∵是的中点，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面．（2）因为平面，过点做平行线，所以以点为原点， ，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则，设平面的法向量为由，得，取，设直线与平面所成角为，∴． 20．(1)0.4(2)(3)丙 【分析】(1)    由频率估计概率即可(2)    求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望.(3)    计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.【详解】（1）由频率估计概率可得甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，故答案为0.4（2）设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3，，，.∴X的分布列为X0123P ∴（3）丙夺冠概率估计值最大.因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为，甲获得9.80的概率为，乙获得9.78的概率为.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利. 21．(1)(2)证明见解析，过定点为 【分析】（1）根据椭圆定义与离心率求解；（2）将直线与椭圆联立，写出直线BP，BQ的方程，求出，由得到的关系，从而证明直线过一定点.【详解】（1）∵，，∴，，．故椭圆方程为；（2）联立直线和椭圆可得，解得，于是有：，，． 由题意BP：，BQ：，分别和联立得，，， 由，得，即整理得， 整理得，解得或者．当时，直线过点B,与题意矛盾，应舍去.故直线的方程为：，过定点为．22．(1)(2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，判断函数单调性，根据题意可得到函数的最小值，求得答案；（2）根据题意可得，变形为，而要证明的不等式可化为，所以只要证明即可；故设函数，利用导数判断其单调性，令，进而得，结合，即可证明结论.【详解】（1）由题意可得，当时，，单调递增，由图象可知函数 的图象在时有交点，此时有零点，函数值可取正也可取得负值，函数不可能与x轴相切．当时，在上，函数单调递减，在上，函数单调递增，因为函数与x轴相切，则，解得．（2）证明：函数恰好有两个零点，由（1）可知，因为是的两个不同的零点且，则有，即，即①，设函数，，时，，即在上单调递增，故，即在时恒成立．令，则，可得，即，将①代入可得，，即．【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性，考查了利用导数证明不等式问题，综合性较强，解答时要明确函数的单调性以及最值与导数之间的关系，解答的关键是能根据要证明不等式的特征，构造合适的函数，进而利用导数判断单调性，证明结论.