广西崇左市宁明县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)

2022-2023学年广西崇左市宁明县九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列多边形一定相似的是(    )

A. 两个矩形 B. 两个五边形 C. 两个正方形 D. 两个等腰三角形

2.    若，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

3.    下列各组线段中，成比例的是(    )

A. ，，， B. ，，，
C. ，，， D. ，，，

4.    二次函数的图象的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    下列表示是反比例函数的为(    )

A.  B.  C.  D.

6.    关于反比例函数，下列说法正确的是(    )

A. 图象过点 B. 图象在第一、三象限
C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，随的增大而增大

7.    把抛物线向右平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的表达式为(    )

A.  B.
C.  D.

8.    若二次函数的部分图象如图所示，则关于的方程的解为(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

9.    已知三点、、都在反比例函数的图象上，且，则下列式子正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 若方程的两个根是和，则对于二次函数，当时，的取值范围是(    )

A.  B. 或 C.  D.

11. 二次函数的图象如图，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象大致是(    )

A.
B.
C.
D.

12. 已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：；；；；其中结论正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）

13. 如果抛物线的开口向上，那么的取值范围是______．
14. 已知线段，是线段的黄金分割点，且，则的长度为______．
15. 已知，是二次函数的图象上两点，则______填“”“”或“”．
16. 如图，中，，、分别是边、上的点，且与不平行．不再添加其它字母和线段，请你填上一个合适的条件，使∽，你填的条件是______．

17. 如图所示是一个横断面为抛物线形的拱桥，当水面宽时，拱顶拱桥洞的最高点距离水面，当水面下降时，水面的宽度为______．

18. 如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于、两点，若，则的值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    已知线段、、，且，若，求的值．
20. 本小题分
    已知二次函数，当时，函数的最小值为，它的图象经过点，求这个二次函数的表达式．
21. 本小题分
    已知：如图，是矩形的边上的一点，于点，
    求证：．

22. 本小题分
    已知与成反比例，且时，，求当时的值．
23. 本小题分
    如图，在中，点，分别在边、上，与相交于点，且，，．
    求证：∽；
    已知，求．

24. 本小题分
    如图，一次函数与反比例函数交于、两点；
    求这两个函数的表达式；
    求的面积；
    根据图象写出反比例函数值大于一次函数值时的取值范围．

25. 本小题分
    某超市以元个购进一批新的玩具，当以元个出售时，每天可以售出个，国庆期间，在确保不亏本的前提下采取降价促销，经调查发现，当售价每降元个，每天可多卖出个玩具；
    设玩具的售价降低了元，每天的销售量为个，写出与的函数关系式，及自变量的取值范围；
    设销售这种玩具每天可获利为元，求与之间的函数表达式；
    这种玩具的售价定为多少时，超市每天销售这种玩具获得的利润最大？
26. 本小题分
    如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且．
    求抛物线的函数关系式；
    求点和顶点的坐标；
    若点是抛物线对称轴上的一个动点，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：要判断两个多边形是否相似，需要看对应角是否相等，对应边的比是否相等．
矩形、五边形、等腰三角形都属于形状不唯一确定的图形，即对应角、对应边的比不一定相等，故不一定相似，、、D错误；
而两个正方形，对应角都是，对应边的比也都相当，故一定相似，C正确．
故选：．
利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析．
本题考查相似多边形的识别．判定两个图形相似的依据是：对应边的比相等，对应角相等．两个条件必须同时具备．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
利用内项之积等于外项之积进行判断．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质是解决问题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、由于，所以不成比例，不符合题意；
B、由于，所以不成比例，不符合题意；
C、由于，所以不成比例，不符合题意；
D、由于，所以成比例，符合题意．
故选：．
四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．
本题考查线段成比例的知识．解决本类问题只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例．
 

4.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象的顶点坐标为．
故选：．
根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、是一次函数，不符合题意；
B、不是函数，不符合题意；
C、是二次函数，不符合题意；
D、是反比例函数，符合题意．
故选：．
根据反比例函数的定义对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是反比例函数的定义，熟知形如为常数，的函数称为反比例函数是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，所以函数图象位于二四象限，在每一象限内随的增大而增大，图象是轴对称图象，故A、、C错误．
故选：．
反比例函数的图象时位于第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；时位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大；在不同象限内，随的增大而增大，根据这个性质选择则可．
本题考查了反比例函数图象的性质：、当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限．、当时，在同一个象限内，随的增大而减小；当时，在同一个象限，随的增大而增大．注意反比例函数的图象应分在同一象限和不在同一象限两种情况分析．
 

7.【答案】 

【解析】解：把抛物线向右平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的表达式为，
故选：．
根据左加右减，上加下减的平移规律求解即可．
本题考查了二次函数的图象的平移规律，熟练掌握二次函数的图象的平移规律是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为，
所以抛物线与轴的一个交点坐标为，
即或时，函数值，
所以关于的方程的解为，．
故选：．
先利用抛物线的对称性写出抛物线与轴的一个交点坐标为，然后根据抛物线与轴的交点问题可得到关于的方程的解．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：反比例函数中，
函数图象在二四象限，
，
点在第二象限，，点，在第四象限，
．
故选：．
先根据反比例函数判断出函数图象所在的象限，再根据进行解答即可．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，故抛物线开口向上，
由题意知，抛物线与轴的两个交点坐标为、，
当时，的取值范围是或，
故选：．
，故抛物线开口向上，由题意知，抛物线与轴的两个交点坐标为、，进而求解．
本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
 

11.【答案】 

【解析】解：观察二次函数图象可得出：，，，
，
反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第二、三、四象限．
故选：．
根据二次函数的图象可得出、、，由此即可得出反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第二、三、四象限，再结合四个选项即可得出结论．
本题主要考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数的图象得出、、是解决问题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛物线与轴有两个交点，
，即，
故正确；
抛物线开口向上，
，
对称轴在轴的右侧，
，
抛物线与轴交于负半轴，
，
，故正确；
，
，
故错误；
时，，
，即，
故错误；
抛物线与轴的一个交点在与之间，对称轴为直线，
抛物线与轴的另一交点在与之间，
当时，，
，
故正确，
故选：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断即可．
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数系数符号与抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数的关系是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了二次函数的性质，解答此题要掌握二次函数图象的特点．根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数．
【解答】
解：因为抛物线的开口向上，
所以，即，
故的取值范围是．
故答案为．  

14.【答案】． 

【解析】解：是线段的黄金分割点，且，
，
．
故答案为：．
利用黄金分割的定义得到，把代入计算，然后计算即可．
本题考查了黄金分割的定义：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项即：：，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
该抛物线开口向上，且对称轴为．
，是二次函数的图象上两点，且，
．
故答案为：．
求出二次函数的图象的对称轴，根据二次函数的性质即可判断纵坐标的大小．
本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键．
 

16.【答案】或或 

【解析】解：，
当或或，时，∽．
故答案是：或或．
由于和有一个公共角，所以根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可添加或或，使∽．
此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握判定定理的应用，注意掌握数形结合思想的应用．
 

17.【答案】米 

【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，

设该抛物线的解析式为，
由题意可得，该抛物线过点，
，
解得，
该抛物线的解析式为，
当时，，
解得，，
当水面下降米时，水面的宽度为米，
答：当水面下降米时，水面的宽度为米．
故答案为：米．
先建立合适的平面直角坐标系，再设出抛物线的解析式，然后根据题意可知该抛物线过点，即可求得抛物线解析式，然后将代入求出相应的的值，再将这两个的数值作差，即可求得水面的宽度．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数关系式．
 

18.【答案】 

【解析】解：设，，
代入得：，，
，
，
，
，
故答案为：．
设，，代入双曲线得到，，根据三角形的面积公式求出，即可得出答案．
本题主要考查对反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出是解此题的关键．
 

19.【答案】解：设，
得，，．
由，得
，
解得，
． 

【解析】根据等比性质，可得的值，根据解方程，可得的值，根据代数式求值，可得答案．
本题考查了比例的性质，利用等比性质得出关于的方程是解题关键．
 

20.【答案】解：依题意，可得二次函数的顶点坐标为，设该二次函数的解析式为，
它的图象经过点，
代入上式得，
解得．
故该二次函数的解析式为：． 

【解析】设抛物线顶点式，然后将代入解析式求解．
本题考查求函数解析式，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的三种解析式．
 

21.【答案】证明：四边形为矩形，
，
，
于点，
，
，
，
∽，
． 

【解析】先利用等角的余角相等得到，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进而得出结论得到结论．
本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了矩形的性质，关键是证明两个三角形相似．
 

22.【答案】解：设反比例函数的解析式为，
时，，
，解得，
反比例函数的解析式为：，
当时，． 

【解析】设反比例函数的解析式为，再把时，代入求出的值，再把代入函数解析式即可．
本题考查的是待定系数法求反比例函数的解析式，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
 

23.【答案】证明：，，，
，，，
，
，
∽；
解：∽，
，
．
∽，
，
． 

【解析】根据相似三角形的判定定理健康得到结论；
根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
 

24.【答案】解：把代入得：
，
所以反比例函数解析式为；
把代入得：
，
解得，
即点坐标为，
把、代入得：
，
解得，
所以一次函数解析式为；
设一次函数与两坐标轴的交点分别为、，

由知一次函数解析式为，
令，，
令，，
，，
的面积；
或时，反比例函数值大于一次函数值． 

【解析】先把点坐标代入求出，确定反比例解析式，再利用反比例解析式确定点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
求得一次函数两坐标轴的交点坐标，可得和的面积，从而可得答案；
观察函数图象得到当或时，反比例函数图象都在一次函数图象上方，即反比例函数值大于一次函数值．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
 

25.【答案】解：由题意得，，
与的函数关系式为：，自变量取值范围是；
由题意得，；
由得，，
，
时，此时售价为元个，
当售价为元时，元． 

【解析】根据“当售价每降元个，每天可多卖出个玩具“可得出与的函数关系式；
根据每件利润个数，可得出与的函数关系式；
根据二次函数的性质即可得到结论．
本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．
 

26.【答案】解：把代入中，
，
解得，
抛物线的函数关系式是；
当时，
解得，，
，

．
点与点关于对称轴对称，连接与对称轴的交点即为点，

，
，
当时，，
，
设点所在直线的解析式为，把和代入得：
，
解得，
点所在直线的解析式为．
当时，，
，
，
在直角中，由勾股定理求得：．
即． 

【解析】利用待定系数法确定函数关系式；
根据抛物线与轴的交点坐标和抛物线顶点坐标公式解答；
因为点与点关于对称，所以连接，与的交点即为所求的点，然后结合两点间的距离公式解答．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．正确利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题关键．