河北省衡水市安平县2023届高三上学期12月调研数学试题及答案

河北省衡水市安平县2023届高三上学期12月调研数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，集合，则集合的子集的个数为（    ）

A．4 B．8 C．16 D．32

2．已知复数z满足，则（    ）

A． B．4 C． D．32

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．

4．（    ）

A． B．

C． D．

5．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：100血液中酒精含量在20~80之间为酒后驾车，80及以上为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.2，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（    ）（参考数据：，）

A．6 B．7 C．8 D．9

6．已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，下列说法正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，，则

C．若，，则 D．若，，，则

7．已知椭圆的左顶点和上顶点分别为，若的垂直平分线过的下顶点，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

8．已知数列满足：，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则数列是单调递减数列 B．若，则数列是单调递增数列

C．时， D．时，

二、多选题

9．已知等差数列的前n项和为，且，，，则（    ）

A．数列是递增数列 B．

C．当时，最大 D．当时，n的最大值为14

10．为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测．现有两种检测方式：（1）逐份检测：（2）混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，这k份核酸的检测次数总共为次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为，若，运用概率统计的知识判断下列哪些p值能使得混合检测方式优于逐份检测方式．（参考数据：）（    ）

A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1

11．设，，且，则“”的一个必要条件可以是（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数有两个极值点，，则（    ）

A．a的取值范围为（－∞，1） B．

C． D．

三、填空题

13．展开式中的常数项是______．

14．2022年北京冬奥会即将开幕，某校4名学生报名担任志愿者.将这4名志愿者分配到3个比赛场馆，每个比赛场馆至少分配一名志愿者，则所有分配方案共有______种.（用数字作答）

15．已知点M的坐标为（2，0），AB是圆O：的一条直径，则______．

16．九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数在某种玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1＝1，且an＝，则解下n（n为奇数）个环所需的最少移动次数为___.（用含n的式子表示）

四、解答题

17．已知数列的前n项和为，满足，n∈N*．

(1)求数列的通项公式；

(2)记，求数列{bn}的前100项的和．

18．在平面四边形ABCD中，∠BAD＝2∠ACB＝4∠BAC，AB＝2，BC＝－，CD＝．

(1)求∠ACB的大小；

(2)求四边形ABCD的面积．

19．某中学组织一支“雏鹰”志愿者服务队，带领同学们利用周末的时间深入居民小区开展一些社会公益活动．现从参加了环境保护和社会援助这两项社会公益活动的志愿者中，随机抽取男生80人，女生120人进行问卷调查（假设每人只参加环境保护和社会援助中的一项），整理数据后得到如下统计表：

(1)能否有99％的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别有关？

(2)以样本的频率作为总体的概率，若从本校所有参加社会公益活动的女生中随机抽取4人，记这4人中参加环境保护的人数为，求的分布列和期望．

附：，其中．

20．如图，一张边长为4的正方形纸片ABCD，E，F分别是AD，BC的中点，将正方形纸片沿EF对折后竖立在水平的桌面上．

(1)求证：；

(2)若二面角的平面角为45°，K是线段CF（含端点）上一点，问是否存在点K，使得直线AK与平面CDEF所成角的正切值为？若存在，求出CK的长度；若不存在，说明理由．

21．已知双曲线：的两条渐近线互相垂直，且过点．

(1)求双曲线的方程；

(2)设为双曲线的左顶点，直线过坐标原点且斜率不为，与双曲线交于，两点，直线过轴上一点（异于点），且与直线的倾斜角互补，与直线，分别交于（不在坐标轴上）两点，若直线，的斜率之积为定值，求点的坐标．

22．已知，其中．

(1)当时，分别求和的的单调性；

(2)求证：当时，有唯一实数解；

(3)若对任意的，都有恒成立，求a的取值范围．

参考答案：

1．C

【分析】，求出，再求的子集.

【详解】因为，，

，所以集合的子集的个数为，

故选：C.

【点睛】本题考查集合的基本运算及子集的概念，属于基础题.

2．C

【分析】求出，即得解.

【详解】解：因为，

所以，

所以.

故选：C

3．A

【分析】以齐次式法去求值即可解决.

【详解】

故选：A

4．C

【分析】利用诱导公式及二倍角的正弦公式计算可得；

【详解】解：

．

故选：C

5．C

【分析】根据题意列出不等式，利用指对数幂的互化和对数的运算公式即可解出不等式.

【详解】设该驾驶员至少需经过x个小时才能驾驶汽车，则，所以，则，所以该驾驶员至少需经过约8个小时才能驾驶汽车.

故选：C

6．C

【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可；

【详解】解：对于选项A，，，m与n可以平行、异面或者相交，故A错误；

对于选项B，因为，，所以.又，所以，故B错误；

对于选项C，由，则存在直线，使得，又，所以，且，所以.故C正确；

对于选项D，因为，可设，则当，时，可得到，，但此时.故D错误.

故选：C

7．A

【分析】根据题干条件得到，进而列出方程，求出，进而求出离心率.

【详解】由题可知，因为的垂直平分线过的下顶点，所以，则，解得：，所以的离心率.

故选：A

8．C

【分析】将式子进行变形，构造等差数列，之后构造新函数，进而得到结果.

【详解】由得，

即，

所以数列是以4为公差的等差数列，

函数，

A项，，，在上是单调递增函数，即数列是单调递增数列，

B项，，在上是单调递减函数，即数列是单调递减数列，

C项，时，可知，，

，

D项，时，，由C知，，

故选：C.

9．BCD

【分析】利用等差数列的性质可知，进而得出，，依次判断各选项即可得出结果.

【详解】等差数列中，，，，

，公差，数列是递减数列，A错误

，

，B正确.

，数列是递减数列，

当时，最大,C正确.

,

,.

当时，n的最大值为14,D正确.

故选:BCD.

10．CD

【分析】计算混合检测分式，样本需要检测的总次数的期望，又逐份检测方式，样本需要检测的总次数，知，利用求解可得p的范围，即可得出选项.

【详解】设混合检测分式，样本需要检测的总次数可能取值为

，

故的分布列为：

设逐份检测方式，样本需要检测的总次数，则

要使得混合检测方式优于逐份检测方式，需

即，即，即

又，，

故选：CD

11．AB

【分析】题中为必要条件，则能推出选项，逐一判断

【详解】对于A，若，则成立；

对于B，若，则，成立；

对于C，，无法判断出；

对于D，，且，因为，所以不能得出与2的大小关系.

故选：AB

12．BCD

【分析】利用导数判断函数的单调性，根据零点的个数求出的取值范围，进而确定的取值范围，再利用不等式的性质、构造函数利用导数逐一判断即可.

【详解】由题设，且定义域为，则，

当时，则单调递增，不可能存在两个零点，即不可能存在两个极值点，A错误；

当时，即单调递增，当时，即单调递减，即，

当时，，所以至多有一个零点；

当时，，而，当趋向于0时趋于负无穷大，当趋向于正无穷时趋于负无穷大，

综上，，在内各有一个零点，且，

B：由且趋向于0时趋于负无穷大，所以，故，

令，

，

又，所以单调递减，

故当时，，

又，所以，

而，因此，故正确；

C：，

令，显然有，令，显然，

因此有：，

设，则，

当时，单调递减，当时，单调递增，

因为，所以，

令，即，

因为，所以单调递增，

因为，所以，

而，所以，

因为，所以，

当时，单调递减，因此有，即，正确；

D：由，则，故，正确.

故选：BCD

【点睛】关键点睛：构造函数、、，利用导数研究单调性，根据单调性进行求解.

13．

【分析】写出展开式通项，令的指数为零，求出对应的参数，代入通项计算即可得解.

【详解】的展开式通项为，

因为，

在的展开式通项，由，可得，

在的展开式通项，由，可得.

因此，展开式中的常数项是.

故答案为：.

14．36

【分析】先将4名同学按2,1,1分成3组，再将这3组分配到3个比赛场馆可得答案.

【详解】将4名同学按2,1,1分成3组有种方法.

再将这3组分配到3个比赛场馆，共有种

则所有分配方案共有种

故答案为：36

15．3

【分析】设出，则可得，根据数量积的坐标运算可得到的表达式，结合可得答案.

【详解】设 ，则,且，

则，

故答案为：3

16．（，n为奇数）

【分析】可得为奇数时，即数列的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列，即可求解.

【详解】当为奇数时，为偶数，为奇数，

则，

故数列的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列，

（，n为奇数），

故解下n（n为奇数）个环所需的最少移动次数为（，n为奇数）.

故答案为：（，n为奇数）.

【点睛】关键点睛：解决本题的关键是判断出数列的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列.

17．(1)

(2)

【分析】（1）利用得到等比数列，求出通项公式；（2）结合第一问利用等比数列求和公式及分组求和进行求解.

【详解】（1）由，得，

两式相减得，即，

又当n=1时，，解得：，

所以是以为首项，为公比的等比数列，所以；

（2）由（1）可知，

所以是首项为，公比为的等比数列，共有50项，所以．

18．(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理及二倍角公式即可求解；

（2）由（1），分别运用正弦定理和余弦定理求出相关边长，再由面积公式计算即可.

【详解】（1）由题意，设，则，，

在中，由正弦定理有，即，解得.

所以，

因为，所以.

（2）由（1），可知，由正弦定理有，即，解得，

在中，由余弦定理有，

即，解得，

四边形ABCD的面积

.

19．(1)没有

(2)分布列见解析，

【详解】解：（1）因为，

所以没有99％的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别有关．

（2）由统计表得，女生参加环境保护的频率为，

故从女生中随机抽取1人，此人参加环境保护的概率为，

由题意知，，

则，．

的分布列为

故

20．(1)证明见解析

(2)存在；CK的长度为2

【分析】（1）由已知条件可得平面ADE，再由线面垂直的性质可证得结论，

（2）方法一：由已知可得是二面角A－EF－D的平面角，即，过A作，垂足为G，则由面面垂直的性质可得平面CDEF，连结KG，则为AK与平面CDEF所成的角，然后在，和中计算即可，

方法二：建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用空间向量求解即可

【详解】（1）因为，，，

所以平面ADE．

因为平面ADE，所以．

（2）方法一：

因为，，所以是二面角A－EF－D的平面角，即．

因为平面ADE，所以平面平面ADE．

过A作，垂足为G，因为平面平面，

所以平面CDEF．

连结KG，则为AK与平面CDEF所成的角，即．

在中，因为，，所以．

在中，因为，所以．

设，过K作于H，则．

在中，由，得，

解之得或（舍），所以，即．

方法二：因为，，所以是二面角A－EF－D的平面角，即．

建立如图所示的空间直角坐标系，设，则

A（2，0，0），，

设直线AK与平面CDEF所成角为，则，从而．

设平面CDEF法向量为，直线AK的方向向量与平面CDEF法向量所成的角为，则．

因为，

所以，令，则

所以，解得．

此时，点K为点F，CK的长度为2．

21．(1)；

(2).

【分析】（1）由题意可得，，解方程求出的值即可求解；

（2），设，，，，直线，的斜率分别为，根据，，可得利用和所表示的点的坐标，同理可得利用和所表示的点的坐标，将整理为关于的方程，由对于任意的恒成立列出等价条件即可求解.

【详解】（1）由可得渐近线方程为：，

因为两条渐近线互相垂直，所以，可得，

又因为，解得：，

所以双曲线的方程为.

（2）设，，，，

由（1）知：，设直线，的斜率分别为，

因为三点共线，所以，即，

因为直线过轴上一点（异于点），且与直线的倾斜角互补，

所以，即，所以，

由可得，所以，

同理可得，

因为直线，的斜率之积为定值，设定值为，

则，

整理可得：，其中，

因为上式对任意的都成立，所以，可得，，

所以点的坐标为.

【点睛】思路点睛：破解此类解析几何题的关键：一是“图形”引路，一般需画出草图，把已知条件翻译到图形中；二是“转化”搭桥，即利用斜率，联立方程等，将问题代数化，一般运算量较大.

22．(1)时，在单调递增，在单调递减；当时，在单调递增

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）当，时，，当，时，，利用导数计算即可判断单调性.

（2）当时，等价于，构造函数，则，讨论当n为偶数，当n为奇数时，的单调性，结果即可证得结果.

（3）等价于．由（2）知，，即可求得结果．

【详解】（1）．

当，时，，．

由，得；由，得．

所以，在单调递增，在单调递减．

当，时，，．

因为,可知当，取得极小值0，可知，所以在单调递增．

（2）当时，．

即，即

令，则．

所以，当n为偶数时，，单调递减．

因为，所以有唯一解．

当n为奇数时，若，则，在单调递增；

若，则，在单调递减．因为，所以有唯一解．

综上，当时，有唯一实解．

（3）当，时，等价于，

即，即．

由（2）知，，所以，．