2023重庆市西南大学附中校高二上学期12月月考数学试题含答案

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2022~2023学年度上期学情调研

高二数学试题卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名.准考证号码填写在答题卡上。

2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,21….该数列的特点是:前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则

A．1 B．2017 C．-1 D．-2017

2．古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆雉，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆．若用面积为144的矩形截某圆锥得到椭圆，且与矩形的四边相切．设椭圆在平面直角坐标系中的方程为，下列选项中满足题意的方程为（    ）

A． B． C． D．

3．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为

A． B． C． D．

4．已知是等差数列，若，，成等比数列，且公比为，则＝（    ）

A． B． C． D．

5．在等比数列中，为方程的两根，则的值为（    ）

A． B． C． D．

6．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题：“一个公公九个儿，若问生年总不知，知长排来争三岁，其年二百七岁期借问长儿多少岁，各儿岁数要详推”大致意思是：一个公公九个儿子，若问他们的生年是不知道的，但从老大的开始排列，后面儿子比前面儿子小3岁，九个儿子共207岁，问老大是多少岁? （    ）

A．38 B．35 C．32 D．29

7．已知双曲线是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点.则双曲线的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．数列满足，对任意的都有，则（    ）

A． B． C． D．

二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．记为等差数列的前项和，为数列的前项和，且若，则（    ）

A． B．

C． D．的最大值为

10．关于函数，下列说法正确的是（    ）

A．对，恒成立

B．对，恒成立

C．若，

D．若不等式对恒成立，则正实数的最小值为

11．设数列是公差为等差数列，为其前n项和，，且，则（　　）

A． B． C． D．，为的最小值

12．已知双曲线，下列结论正确的是（    ）

A．双曲线C的渐近线方程为

B．双曲线C的焦点到其渐近线的距离为

C．若直线l与C相交于A、B两点且AB的中点为，则l的斜率为

D．若直线与C没有交点，则的取值范围是

三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分

13．顶点在原点，经过圆的圆心且准线与轴垂直的抛物线方程为________．

14．数列满足，，且（），则__.

15．在中，分别为角的对边，已知，且的面积为，则的值为__________．

16．已知{an}是公差不为零的等差数列，a5＝14，且a1，a3，a11成等比数列，设bn＝(－1)n＋1an，数列{bn}的前n项的和为Sn，则S2 021＝________.

四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．已知数列满足，，其中．记，．

（1）求证：数列是等比数列；

（2）记，试比较与的大小，并说明理由．

18．已知数列的前项和为，，且.

（1）求的通项公式；

（2）若，求的前项和.

19．对于数列A：a1，a2，a3，…，定义A的“差数列”  A：，…

（I）若数列A：a1，a2，a3，…的通项公式，写出A的前3项；

（II）试给出一个数列A：a1，a2，a3，…，使得A是等差数列；

（III）若数列A：a1，a2，a3，…的差数列的差数列  （A）的所有项都等于1，且==0，求的值.

20．已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，直线过其短轴的一个端点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若过点的直线与椭圆在第一象限相切于点，求直线的方程和点的坐标.

21．设是等差数列的前n项和，已知，（）．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若数列，求数列的前n项和．

22．已知椭圆：的左焦点为，点在椭圆上，且椭圆上存在点与点关于直线对称．

（1）求椭圆的标准方程．

（2）若直线与椭圆只有一个公共点，点，是轴上关于原点对称的两点，且点，在直线上的射影分别为，，判断是否存在点，，使得为定值，若存在，求出，的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．C

根据“斐波那契数列”特点可得到数列的规律，即当为偶数时，；当为奇数时，，所求式子最末项，从而可得结果.

由题意得：，，，…

当为偶数时，；当为奇数时，

本题正确选项：

本题考查根据数列的性质求值的问题，关键是能够总结归纳出数列中的规律.

2．A

由方程的要求，排除两个选项，再由矩形的面积确定正确选项．

由题意椭圆方程是，排除BD，

矩形的四边与椭圆相切，则矩形的面积为，．

在椭圆中，，，满足题意，

在椭圆中，, 不满足题意．

故选：A．

3．B

试题分析：双曲线的右焦点为 故抛物线中 故其准线方程为

考点：抛物线的焦点，双曲线的焦点，抛物线的准线方程

4．C

设是公差为的等差数列，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，化简可得，再由等比数列的定义，计算可得所求值．

解：设是公差为的等差数列，

若，，成等比数列，可得，

即，

化为，解得，则，

则公比为，

故选：C．

本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质和定义，考查方程思想和化简运算求解能力，属于基础题．

5．C

利用韦达定理可得，再根据等比数列的性质即可得出答案.

解：在等比数列中，

因为为方程的两根，

所以，

所以，

所以.

故选：C.

6．B

由题意，将九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄为首项，公差为的等差数列，根据等差数列的求和公式列出方程，即可求出结果.

由题意可知，九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄为首项，公差为的等差数列，

所以，解得，

故选：B.

本题主要考查等差数列的简单应用，考查等差数列前项和公式的基本量运算，属于基础题型.

7．B

由直线与渐近线的距离得到圆心到直线的距离为，再根据圆与双曲线C的右支没有公共点，由求解.

双曲线的一条渐近线方程为，

因为点是直线上任意一点，

又直线与直线的距离为：

，

即圆心到直线的距离为：,

因为圆与双曲线C的右支没有公共点，

所以，即，又,

所以双曲线的离心率的取值范围为.

故选：B

本题考查求解双曲线离心率的范围，对学生的理解与转化能力要求较高，难度较难.涉及到和双曲线某一支的交点个数问题，注意借助双曲线的渐近线进行分析.解题的关键在于将问题转化为渐近线与直线的距离大于等于圆的半径.

8．D

利用累加法可得，再裂项相消求和即可

由题意得，对，故，，，…，，

累加可得，满足，

所以，则，

故选：D．

9．ABD

由题意，列方程组求出等差数列的首项和公差即可求解与，选项A、B可判断；由可得，又即可判断选项C，由，利用单调性即可求解最大值.

解：因为数列为等差数列，，，

所以，解得，

所以，，故选项A、B正确；

又因为，所以，

因为时，，所以选项C错误；

因为，

时，，时，，

时，因为随着的增大而增大，且大于0，

所以，

综上，的最大值为，故选项D正确；

故选：ABD.

10．ABD

选项A：构造函数，根据导数判断函数的单调性并求最大值，从而判断选项正确；

选项B：构造函数，根据导数判断函数的单调性并求最小值，从而判断选项正确；

选项C：构造函数，根据导数判断函数在内单调递减，从而判断选项错误；

选项D：把不等式变形为，所以只需研究函数的单调性即可求出答案，从而判断选项正确.

选项A：令，则，

因为，所以由得；由得，

所以在内单调递增，在内单调递减，

所以的最大值为，所以对，恒成立，

即对，恒成立，故选项A正确；

选项B：令，则，

由得；由得，

所以在内单调递增，在内单调递减，所以的最小值为，

所以对，恒成立，即对，恒成立，故选项B正确；

选项C：令，则，

所以由得；由得，

所以在内单调递增，在内单调递减，

所以当时，，即，

所以，成立，故选项C错误；

选项D：因为不等式对恒成立，

即不等式对恒成立，又因为，

所以不等式对恒成立；

令，则 ，

当时，恒成立，所以在单调递增，

所以由不等式对恒成立，得对恒成立，

即对恒成立，

由选项C知，在内单调递增，在内单调递减，

所以的最大值为，所以只需，即正实数的最小值为.

故选：ABD.

利用导数研究不等式恒成立问题，通常要构造函数，然后利用导数研究函数的单调性，求出最值进而得到结论或求出参数的取值范围；也可分类变量构造函数，把问题转化为函数的最值问题.恒成立问题常见的处理方式有：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）恒成立型的可转化为；（3）恒成立型的可以通过作差法构造函数，然后求，或者转化为.

11．ABD

根据题干条件找出和的等量关系，分析出和的符号后逐一判断即可.

根据可知，，由等差中项可得，，即，故B正确；

，，故，故A正确；

，可知，等差数列单调递增，但，说明都是负数，故最小，又，于是，它们均是最小值，故D正确；

据刚才分析，，而，故C错误.

故选：ABD

12．AB

结合双曲线的渐近线，焦点到渐近线的距离，点差法、直线与双曲线的位置关系判断出正确选项.

依题意，双曲线，

，

双曲线的渐近线方程为，A选项正确.

焦点到渐近线的距离为，B选项正确.

设，则，

两式相减并化简得，

若的中点为，则，即的斜率为，C选项错误.

双曲线的渐近线与双曲线没有交点，，所以D选项错误.

故选：AB

13．

试题分析：由题意圆的圆心，因此抛物线的方程的焦点在轴正半轴，设方程，把点代入得，解得，因此抛物线方程．

考点：抛物线的标准方程．

14．2020

当n为偶数时，可得出，故偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列，求出通项公式，代值计算即可得解.

当n为偶数时，

，

即，故数列的偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列，

所以，

所以.

故答案为：2020.

本题考查数列的递推式，解题关键是得出当n为偶数时，可得出与的关系式，进而求出的通项公式，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.

15．

根据同角的三角函数关系和正弦、余弦定理求得角A的值，再利用正弦定理和比例性质求得，结合△ABC的面积求出a的值．

△ABC中，由cos2A﹣cos2B+sin2C＝sinBsinC，

得1- sin2A -（1- sin2B）+sin2C＝sin2B+sin2C﹣sin2A＝sinBsinC，

∴b2+c2﹣a2＝bc，

由余弦定理得cosA，

又A∈（0，π），

∴A；

由正弦定理，

∴，

即，

化简得a2＝3bc；

又△ABC的面积为S△ABCbcsinA，

∴bc＝4，

∴a2＝12，

解得a＝2．

故答案为2.

本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角形面积公式应用问题，是中档题．

16．3032

根据已知条件求得，进而求得，利用分组求和法求得.

设等差数列的公差为，

由于a1，a3，a11成等比数列，

∴，即(a5－2d)2＝(a5－4d)·(a5＋6d).

∴14d2＝3a5d.

又d≠0，a5＝14，知d＝3，

因此an＝a5＋(n－5)×3＝3n－1，bn＝(－1)n＋1(3n－1).

∴S2 021＝b1＋b2＋b3＋…＋b2 021

＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5)＋…＋(b2 020＋b2 021)

.

故答案为：

17．（1）见解析；（2）理由见解析.

（1）根据题意求及，即可得到数列是等比数列；

（2）根据（1）得到数列的通项公式及前项和，然后根据题意将和数列的前项和联系起来，得到，进而得，最后利用作差法比较与的大小即可．

（1）由题意得，

且，

所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列．

（2）由（1）知，，

所以．

因为，，

所以，

……

，

，

所以．

而，

，

.

所以，

故，

而，

，

，

故．

本题主要考查等比数列的证明、通项公式，数列求和，作差法比较大小等，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．

18．（1）；（2）.

（1）由题意结合数列与的关系可得，进而可得是公比的等比数列，再由等比数列的通项公式即可得解；

（2）由题意，再由裂项相消法即可得解.

（1）由可得当时，，

∴，即，

又，∴是公比的等比数列，

∴；

（2）由（1）知，，

∴，

∴

.

本题考查了数列与关系的应用及等比数列通项公式的求解，考查了裂项相消法求数列前项和的应用，属于中档题.

19．（I）1，2，4；（II）数列A：2，2，2，2，…；（III）819

（I）先计算数列A的前4项，然后利用差数列的定义写出A的前3项；（II）由差数列定义知常数列即满足题意；（III）根据差数列的定义利用累加法可求得数列的通项公式，然后利用数列的第19项和第92项即可求得首项的值.

（I）数列A：2，3，5，9，数列A：1，2，4  

（II）数列A：2，2，2，2，…  

（III）数列（A）：1，1，1，1，…，

设数列A：k，k+1，k+2，k+3，…

则数列A：a2－a1=k

a3－a2=k+1

…

以上叠加得，

即

则，则.

本题考查等差数列定义和通项公式的应用，考查学生推理能力和计算能力.

20．（1）；（2）直线方程为，或，．

（1）由离心率得，由直线过短轴端点得，从而可求出，得椭圆方程；

（2）分类讨论，斜率不存在的直线及斜率存在的切线，斜率存在的切线用可求解．

（1）直线与轴交点为，它是椭圆短轴端点，则，

又，所以，解得．

∴椭圆方程为；

（2）过斜率不存在的直线为，是椭圆的切线，此时切点为．

过斜率存在的切线方程设为，由

得，

∴，，

此时，，即．

直线方程为，即．

切线方程为，或，．

本题考查由离心率求椭圆方程，考查直线与椭圆的相切问题．过椭圆外一点作椭圆的切线有两条，要注意考虑斜率不存在的情形．特别是设斜率求解时只有一解，说明还有一条是斜率不存在的．

21．（Ⅰ）18；（Ⅱ）.

试题分析：（1）根据等差数列满足，，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，根据等差数列的求和公式可得递的值；（2）由（1）知，从而可得，利用裂项相消法求解即可.

试题解析：（I）设数列的公差为，则

即  ，  

解得，                       

所以.                   

（也可利用等差数列的性质解答）

 (II)由（I）知，         

，      

【方法点晴】本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.

22．（1）；（2），存在点，或，，使得为定值，该定值为2．

（1）依题意可得点，在椭圆上，代入得到方程组，解得即可；

（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，联立直线与椭圆方程，消元，根据，得到的关系，设，则，求出点到直线的距离、，即可得到为定值时的值，再计算斜率不存在时也为定值；

解：（1）因为点在椭圆上，所以．

由题意知，因为点与点关于直线对称，所以点N的坐标为，

代入椭圆的方程，得，即，所以，

与联立并求解，得，，

所以椭圆的标准方程为．

（2）存在点，，使得为定值．

当直线的斜率存在时，设其方程为，

将代入，得，

则，得．

设，则，点到直线的距离，

点到直线的距离，

所以，

当，即时，，为定值，

所以存在点，或，，使得．

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，

，或，均满足．

综上，存在点，或，，使得为定值，该定值为2．

【得解】解决本题时，易忽略直线的斜率不存在的情况．一般地，解决关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题时，只要题设条件没有给定直线的斜率，都要对直线分斜率存在和斜率不存在两种情况进行讨论．当直线的斜率存在时，按照常规的研究直线与圆锥曲线位置关系的方法求解；当直线的斜率不存在时，可以根据直线的斜率存在时得到的结论，借助几何图形直观求解．