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重庆市育才中学、西南大学附中、万州中学2023-2024学年高二上学期12月联考数学试题（Word版附解析）
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这是一份重庆市育才中学、西南大学附中、万州中学2023-2024学年高二上学期12月联考数学试题（Word版附解析），共24页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
（满分：150分；考试时间：120分钟）
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．
3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线：与直线：互相垂直，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. -1
【答案】C
【解析】
【分析】根据两条直线垂直的条件求解即可.
【详解】因为直线与直线互相垂直，
所以，解得.
故选：C.
2. 双曲线（，）的离心率为2，则此双曲线的渐近线倾斜角可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据双曲线的离心率得出，即可得出，即渐近线的斜率，由斜率得出倾斜角即可判断选项.
【详解】双曲线（，）的离心率为2，
，
，
此双曲线的渐近线的斜率为，
此双曲线的渐近线的倾斜角为或，
故选：B.
3. 若圆与圆仅有一条公切线，则实数a的值为（ ）
A. 3B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】利用两圆的位置关系计算即可.
【详解】由题意可知两圆相内切，易得两圆圆心，且两圆半径分别为，
所以.
故选：B
4. 已知数列满足，，则（ ）
A. 2B. C. D. 2023
【答案】A
【解析】
【分析】由递推式得到数列的周期，利用周期性确定.
【详解】由，，，……，
所以是周期为3的数列，故.
故选：A
5. 已知是椭圆的左焦点，是椭圆上一动点，若，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由方程得出椭圆的右焦点为，根据椭圆的定义得出，结合图象求出的最大值，即可得出答案.
【详解】椭圆,则，，，
如图，椭圆的右焦点为，
则,
,
由图结合三角形两边之差小于第三边，则，
则当点在射线与椭圆的交点（）时，取最大值，
的最大值为.
故选：B.
6. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和抛物线C分别交于A，B两点，且，则（ ）
A. 2B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线定义结合得到为等边三角形，进而得到，求出，得到答案.
【详解】由抛物线定义可知，
因为，所以为等边三角形，
故，，
所以，
其中准线l与轴交点为，则，故，
所以.
故选：D
7. 已知椭圆M：，点在其上，直线l交椭圆于A，B两点，的重心是坐标原点，则直线l的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将代入椭圆方程求出，设，利用点差法得到，结合的重心是坐标原点，得到，求出直线l的斜率.
【详解】将代入椭圆方程得，，
令，则，解得，即，
设，则，，
故，
又，两式相减得，，
变形得到，即，
故，，解得.
故选：B
8. 已知，是双曲线C：（，）的左，右焦点，过点倾斜角为150°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点A，B，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，利用双曲线的定义及题中几何关系将用表示，再利用几何关系建立关于齐次方程，从而求出离心率.
【详解】如图，过作于,
设，则，，
∴，，，
由题意知，
∴在中，，
，∴，
在中,,
即，解得.
双曲线的离心率为.
故选：D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9. 已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ）
A. 当时，曲线C是椭圆
B. 当或时，曲线C双曲线
C. 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则
D. 若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线方程的特征逐项判断作答.
【详解】对于A，当时，，则曲线是圆，A错误；
对于B，当或时，，曲线是双曲线，B正确；
对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，C正确；
对于D，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，D错误．
故选：BC.
10. 已知直线，圆的圆心坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线恒过点
B.
C. 直线被圆M 截得的最短弦长为
D. 当时，圆M上存在无数对点关于直线l对称
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出直线l所过定点，判断A；根据圆的一般式方程结合圆心可求得的值，判断B；根据过圆内一点的最短弦长的求法可判断C；判断直线l过圆M的圆心，结合圆的性质可判断D.
【详解】对于A，直线即，则直线l过定点，A正确；
对于B，圆的圆心坐标为，
即，故，B错误；
对于C，圆，即，半径2，
由于，即点在圆M内，
当直线与AM的连线垂直时，直线被圆M 截得的弦长最短，
，故最短弦长，C正确；
对于D，当时，直线即，
圆M的圆心在该直线上，即直线l通过圆M的圆心，
所以圆M上存在无数对点关于直线l对称，D正确，
故选：ACD
11. 已知斜率为2的直线交抛物线于、两点，下列说法正确的是（ ）
A. 为定值
B. 线段AB的中点在一条定直线上
C. 为定值（O为坐标原点，、分别为直线OA、OB的斜率）
D. 为定值（F为抛物线的焦点）
【答案】BC
【解析】
【分析】A选项，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之积，不是定值；B选项，计算出线段AB的中点坐标为，得到结论；C选项，在A选项基础上，计算出；D选项，结合焦半径公式推出不是定值.
【详解】A选项，设直线方程为，联立，得
，
故不是定值，A错误；
B选项，由A可知，，故，
则，
故线段AB的中点坐标为，一定在直线上，B正确；
C选项，
，
，
故为定值，C正确；
D选项，由抛物线焦半径公式可得，，
因为，所以，不是定值，D错误.
故选：BC
12. 已知椭圆C：，，是其左、右焦点，为椭圆C上的一点，下列结论正确的是（ ）
A. 满足是直角三角形的点有四个
B. 直线l为椭圆C在P点处的切线，过作于，则可能为4
C. 过点作圆M：的一条切线，交椭圆C于另一点Q，（O为坐标原点）则
D. 过点作圆M：的两条切线，分别交椭圆C于E，H两点，则直线EH过定点
【答案】BC
【解析】
【分析】通过画出图像即可判断A项，分情况求出焦半径的范围，即可对B项判断；设出过点的切线方程并与椭圆方程联立及结合韦达定理即可对C、D项判断；
【详解】∵椭圆的标准方程为：，所以，.
对A：如下图所示，
当点在对应的，，，个位置时，均为直角三角形，
当点在对应的，个位置时，易得均为直角三角形，
所以共有个点使为直角三角形，故A错误；
对B：当为椭圆左顶点时，与重合，此时；
当为右顶点时，与重合，此时，
故存在点，使可能为.故B正确.
对C：设切线方程为：，即，
由，得到.
将代入椭圆：，得：
，整理：.
设，则，得.
因为，所以.故C正确；
对D：设切线方程为：，即，
由得到，
当时，又因为，即，此时，，，得：，
当时为另一条切线，所以得，
所以直线的方程为，即，
此时点不在直线上，故D项错误.
故选：BC.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知抛物线C：，则抛物线C的焦点坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】吧抛物线方程化成标准方程，再求焦点坐标.
【详解】由得：，其焦点坐标为：.
故答案为：
14. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据椭圆得定义可得，在中，利用余弦定理求出，从而可求出，即可得解.
【详解】由椭圆：，得，
所以，
因为点在椭圆上，
所以，
在中，由余弦定理得：，
即，
所以，所以，
则，
所以，
所以点在椭圆的上下顶点处，
所以.
故答案为：.
15. 双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为___________
【答案】
【解析】
【分析】根据点到线的距离公式可得，设，根据渐近线的性质，结合直角三角形中各边关系可得，再根据直线的斜率为列式化简即可.
【详解】因为，不妨设渐近线方程为，即，
所以，所以．
设，则，所以，所以．
因为，所以，所以，
所以，所以，
因为，所以，
所以，解得，所以双曲线的方程为．
故答案为：
16. 若，则的最小值是________．
【答案】
【解析】
【分析】结合所求式子特点，将式子转化为抛物线上的点的横坐标绝对值，与方程为的圆上点的距离之和，根据图像分析，距离之和最小时，即三点共线时，然后结合抛物线定义求解即可.
【详解】由题知，作图如下，
设，圆方程为，
则，，
点在抛物线上，焦点，
垂直抛物线准线于点，则，
所以
，
则当三点共线时该式最小，
由，
所以，当且仅当共线（在之间）时等号成立.
即的最小值为.
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知是等差数列，若，．
（1）求的通项公式；
（2）证明是等差数列．
【答案】（1），
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设等差数列的公差为d，得，结合等差数列的通项公式即得；
（2）根据等差数列的定义可证.
【小问1详解】
设等差数列的公差为d，，，
所以，
【小问2详解】
证明：因为
所以是公差为的等差数列.
18. 设为实数，已知双曲线与椭圆有相同的焦点．
（1）求的值；
（2）若点在上，且，求面积．
【答案】（1）1； （2）3.
【解析】
【分析】（1）根据曲线方程判断，根据共焦点列出方程，求解即可；
（2）根据双曲线定义，结合三角形形状，列方程求解即可.
小问1详解】
根据题意，显然，且双曲线的焦点在轴上，
故，即，，
解得或，又，故；
【小问2详解】
由（1）可得双曲线方程为：，
设其左右焦点分别为，故可得；
根据双曲线的对称性，不妨设点在双曲线的左支上，
设，
由双曲线定义可得：，即；
又三角形为直角三角形，则，
即，即，；
故△的面积.
19. 在平面直角坐标系xOy中，设点P的轨迹为曲线C.①点P到的距离比P到y轴的距离大；②过点的动圆恒与y轴相切，FP为该圆的直径.在①和②中选择一个作为条件.
（1）选择条件：________，求曲线C的方程；
（2）设直线与曲线C相交于M，N两点，若，求实数k的值.
【答案】（1）选①：或选②：
（2）
【解析】
【分析】（1）选①：设点的坐标，由题意建立方程，化简即可求得曲线C的方程；
选②：过P作y轴的垂线，垂足为H，交直线于点，通过中位线的性质求得，则，利用抛物线定义求解曲线C的方程.
（2）将直线与抛物线联立，韦达定理，然后利用弦长公式建立方程求解即可.
【小问1详解】
选①：设，由题意，即，
整理可得，即或，
所以曲线C的方程为或.
选②：过P作y轴的垂线，垂足为H，交直线于点，
设动圆的圆心为E，半径为r，则E到y轴的距离为r，
在梯形OFPH中，由中位线性质可得，
所以，又，所以，
由抛物线的定义知，点P是以为焦点的抛物线，
所以曲线C的方程为.
【小问2详解】
设，，将代入，
消去y整理得.
当时，，,
，
化简得，解得，经检验，此时，故.
20. 已知椭圆C：点，分别是椭圆C的左、右焦点，点A是椭圆上任意一点，O为坐标原点，且的最小值为1，．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点作直线l与椭圆C交于不同两点P，Q，点M是线段PQ的中点，过点M作直线l的垂线交x轴于点N．求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意得，再由椭圆的定义可知即可求得，即得椭圆的方程；
（2）分两种情况讨论，当直线l倾斜角为0时，；当直线l倾斜角不为0时，设直线l的方程为并联立椭圆方程，根据韦达定理法结合条件即得直线MN的方程及的坐标，再由弦长公式求得，根据的取值范围即可求得的取值范围.
【小问1详解】
由题即的最小值为1，故，
由题可得，，
所以椭圆的标准方程为：；
【小问2详解】
①设直线l的方程为：，，，
联立得，
由得，，，
∴，，，
直线MN的方程：，
令，，
∴，
令，
∴，在单调递增，
∴，∴；
②若直线l倾斜角为0时，则直线l方程为，此时M，N重合，，
综上：.
21. 已知圆C与直线相切于点，且圆心C在x轴的正半轴上.
（1）求圆C的方程；
（2）过点作直线交圆C于M，N两点，且M，N两点均不在x轴上，点，直线BN和直线OM交于点G.证明：点G在一条定直线上，并求此直线的方程.
【答案】（1）
（2）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）设圆心，利用垂直关系求出圆心坐标，从而利用距离公式求出半径，即可求出圆的方程；
（2）设直线MN方程，与圆方程联立，得到韦达定理式，求出直线OM和直线BN的方程，联立求得，即可证明.
【小问1详解】
由圆心C在x轴的正半轴上设圆心，
又圆C与直线相切于点，则，解得，
所以，半径，所以圆C的方程为：.
【小问2详解】
设，，直线MN方程为：，
联立得，
，，，
直线OM方程为：，直线BN方程为：，
联立，可得，
所以点G在直线上.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆相交问题的基本步骤如下：
①设直线方程，设交点坐标为，；
②联立直线与圆的方程，得到关于x (或y)的一元二次方程，必要时计算；
③列出韦达定理；
④将所求问题或题中的关系转化为， (或，)的形式；
⑤代入韦达定理求解.
22. 设是双曲线C：（，）的右焦点，离心率，过F的直线l交双曲线C的右支于P、Q两点．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过点P作轴于A，过点Q作轴于B，直线AQ交直线于M，记的面积为，的面积为．求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由焦点坐标得，由离心率求得，再求出，即可得双曲线方程；
（2）设，，设直线PQ的方程为，代入双曲线方程应用韦达定理得，，由直线方程求得点坐标，利用斜率证明三点共线，然后计算两个三角形面积，再结合韦达定理可得结论．
【小问1详解】
由题意，得，所以，
故双曲线的标准方程为；
【小问2详解】
设，，易知PQ斜率不为0，故设直线PQ的方程为，
联立得，
，，，，
由PQ直线与双曲线右支交于两点得，所以，
直线AQ的方程为，所以，
法一：
下证明P，B，M三点共线，
，，
即证，也即证，
由韦达定理显然成立.
∴，
∴，
∴．
法二：
，
又，，
∴①，
，
又，，
∴②，
由①、②结合韦达定理得．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的定值问题，设直线方程为，直线与圆锥曲线的交点坐标为，直线方程代入圆锥曲线方程后应用韦达定理得出（或），再利用交点坐标求出其它量，如本题中的三角形面积，然后代入韦达定理的结论（可结合所设直线方程）得出定值．
（满分：150分；考试时间：120分钟）
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．
3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线：与直线：互相垂直，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. -1
【答案】C
【解析】
【分析】根据两条直线垂直的条件求解即可.
【详解】因为直线与直线互相垂直，
所以，解得.
故选：C.
2. 双曲线（，）的离心率为2，则此双曲线的渐近线倾斜角可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据双曲线的离心率得出，即可得出，即渐近线的斜率，由斜率得出倾斜角即可判断选项.
【详解】双曲线（，）的离心率为2，
，
，
此双曲线的渐近线的斜率为，
此双曲线的渐近线的倾斜角为或，
故选：B.
3. 若圆与圆仅有一条公切线，则实数a的值为（ ）
A. 3B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】利用两圆的位置关系计算即可.
【详解】由题意可知两圆相内切，易得两圆圆心，且两圆半径分别为，
所以.
故选：B
4. 已知数列满足，，则（ ）
A. 2B. C. D. 2023
【答案】A
【解析】
【分析】由递推式得到数列的周期，利用周期性确定.
【详解】由，，，……，
所以是周期为3的数列，故.
故选：A
5. 已知是椭圆的左焦点，是椭圆上一动点，若，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由方程得出椭圆的右焦点为，根据椭圆的定义得出，结合图象求出的最大值，即可得出答案.
【详解】椭圆,则，，，
如图，椭圆的右焦点为，
则,
,
由图结合三角形两边之差小于第三边，则，
则当点在射线与椭圆的交点（）时，取最大值，
的最大值为.
故选：B.
6. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和抛物线C分别交于A，B两点，且，则（ ）
A. 2B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线定义结合得到为等边三角形，进而得到，求出，得到答案.
【详解】由抛物线定义可知，
因为，所以为等边三角形，
故，，
所以，
其中准线l与轴交点为，则，故，
所以.
故选：D
7. 已知椭圆M：，点在其上，直线l交椭圆于A，B两点，的重心是坐标原点，则直线l的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将代入椭圆方程求出，设，利用点差法得到，结合的重心是坐标原点，得到，求出直线l的斜率.
【详解】将代入椭圆方程得，，
令，则，解得，即，
设，则，，
故，
又，两式相减得，，
变形得到，即，
故，，解得.
故选：B
8. 已知，是双曲线C：（，）的左，右焦点，过点倾斜角为150°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点A，B，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，利用双曲线的定义及题中几何关系将用表示，再利用几何关系建立关于齐次方程，从而求出离心率.
【详解】如图，过作于,
设，则，，
∴，，，
由题意知，
∴在中，，
，∴，
在中,,
即，解得.
双曲线的离心率为.
故选：D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9. 已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ）
A. 当时，曲线C是椭圆
B. 当或时，曲线C双曲线
C. 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则
D. 若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线方程的特征逐项判断作答.
【详解】对于A，当时，，则曲线是圆，A错误；
对于B，当或时，，曲线是双曲线，B正确；
对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，C正确；
对于D，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，D错误．
故选：BC.
10. 已知直线，圆的圆心坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线恒过点
B.
C. 直线被圆M 截得的最短弦长为
D. 当时，圆M上存在无数对点关于直线l对称
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出直线l所过定点，判断A；根据圆的一般式方程结合圆心可求得的值，判断B；根据过圆内一点的最短弦长的求法可判断C；判断直线l过圆M的圆心，结合圆的性质可判断D.
【详解】对于A，直线即，则直线l过定点，A正确；
对于B，圆的圆心坐标为，
即，故，B错误；
对于C，圆，即，半径2，
由于，即点在圆M内，
当直线与AM的连线垂直时，直线被圆M 截得的弦长最短，
，故最短弦长，C正确；
对于D，当时，直线即，
圆M的圆心在该直线上，即直线l通过圆M的圆心，
所以圆M上存在无数对点关于直线l对称，D正确，
故选：ACD
11. 已知斜率为2的直线交抛物线于、两点，下列说法正确的是（ ）
A. 为定值
B. 线段AB的中点在一条定直线上
C. 为定值（O为坐标原点，、分别为直线OA、OB的斜率）
D. 为定值（F为抛物线的焦点）
【答案】BC
【解析】
【分析】A选项，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之积，不是定值；B选项，计算出线段AB的中点坐标为，得到结论；C选项，在A选项基础上，计算出；D选项，结合焦半径公式推出不是定值.
【详解】A选项，设直线方程为，联立，得
，
故不是定值，A错误；
B选项，由A可知，，故，
则，
故线段AB的中点坐标为，一定在直线上，B正确；
C选项，
，
，
故为定值，C正确；
D选项，由抛物线焦半径公式可得，，
因为，所以，不是定值，D错误.
故选：BC
12. 已知椭圆C：，，是其左、右焦点，为椭圆C上的一点，下列结论正确的是（ ）
A. 满足是直角三角形的点有四个
B. 直线l为椭圆C在P点处的切线，过作于，则可能为4
C. 过点作圆M：的一条切线，交椭圆C于另一点Q，（O为坐标原点）则
D. 过点作圆M：的两条切线，分别交椭圆C于E，H两点，则直线EH过定点
【答案】BC
【解析】
【分析】通过画出图像即可判断A项，分情况求出焦半径的范围，即可对B项判断；设出过点的切线方程并与椭圆方程联立及结合韦达定理即可对C、D项判断；
【详解】∵椭圆的标准方程为：，所以，.
对A：如下图所示，
当点在对应的，，，个位置时，均为直角三角形，
当点在对应的，个位置时，易得均为直角三角形，
所以共有个点使为直角三角形，故A错误；
对B：当为椭圆左顶点时，与重合，此时；
当为右顶点时，与重合，此时，
故存在点，使可能为.故B正确.
对C：设切线方程为：，即，
由，得到.
将代入椭圆：，得：
，整理：.
设，则，得.
因为，所以.故C正确；
对D：设切线方程为：，即，
由得到，
当时，又因为，即，此时，，，得：，
当时为另一条切线，所以得，
所以直线的方程为，即，
此时点不在直线上，故D项错误.
故选：BC.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知抛物线C：，则抛物线C的焦点坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】吧抛物线方程化成标准方程，再求焦点坐标.
【详解】由得：，其焦点坐标为：.
故答案为：
14. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据椭圆得定义可得，在中，利用余弦定理求出，从而可求出，即可得解.
【详解】由椭圆：，得，
所以，
因为点在椭圆上，
所以，
在中，由余弦定理得：，
即，
所以，所以，
则，
所以，
所以点在椭圆的上下顶点处，
所以.
故答案为：.
15. 双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为___________
【答案】
【解析】
【分析】根据点到线的距离公式可得，设，根据渐近线的性质，结合直角三角形中各边关系可得，再根据直线的斜率为列式化简即可.
【详解】因为，不妨设渐近线方程为，即，
所以，所以．
设，则，所以，所以．
因为，所以，所以，
所以，所以，
因为，所以，
所以，解得，所以双曲线的方程为．
故答案为：
16. 若，则的最小值是________．
【答案】
【解析】
【分析】结合所求式子特点，将式子转化为抛物线上的点的横坐标绝对值，与方程为的圆上点的距离之和，根据图像分析，距离之和最小时，即三点共线时，然后结合抛物线定义求解即可.
【详解】由题知，作图如下，
设，圆方程为，
则，，
点在抛物线上，焦点，
垂直抛物线准线于点，则，
所以
，
则当三点共线时该式最小，
由，
所以，当且仅当共线（在之间）时等号成立.
即的最小值为.
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知是等差数列，若，．
（1）求的通项公式；
（2）证明是等差数列．
【答案】（1），
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设等差数列的公差为d，得，结合等差数列的通项公式即得；
（2）根据等差数列的定义可证.
【小问1详解】
设等差数列的公差为d，，，
所以，
【小问2详解】
证明：因为
所以是公差为的等差数列.
18. 设为实数，已知双曲线与椭圆有相同的焦点．
（1）求的值；
（2）若点在上，且，求面积．
【答案】（1）1； （2）3.
【解析】
【分析】（1）根据曲线方程判断，根据共焦点列出方程，求解即可；
（2）根据双曲线定义，结合三角形形状，列方程求解即可.
小问1详解】
根据题意，显然，且双曲线的焦点在轴上，
故，即，，
解得或，又，故；
【小问2详解】
由（1）可得双曲线方程为：，
设其左右焦点分别为，故可得；
根据双曲线的对称性，不妨设点在双曲线的左支上，
设，
由双曲线定义可得：，即；
又三角形为直角三角形，则，
即，即，；
故△的面积.
19. 在平面直角坐标系xOy中，设点P的轨迹为曲线C.①点P到的距离比P到y轴的距离大；②过点的动圆恒与y轴相切，FP为该圆的直径.在①和②中选择一个作为条件.
（1）选择条件：________，求曲线C的方程；
（2）设直线与曲线C相交于M，N两点，若，求实数k的值.
【答案】（1）选①：或选②：
（2）
【解析】
【分析】（1）选①：设点的坐标，由题意建立方程，化简即可求得曲线C的方程；
选②：过P作y轴的垂线，垂足为H，交直线于点，通过中位线的性质求得，则，利用抛物线定义求解曲线C的方程.
（2）将直线与抛物线联立，韦达定理，然后利用弦长公式建立方程求解即可.
【小问1详解】
选①：设，由题意，即，
整理可得，即或，
所以曲线C的方程为或.
选②：过P作y轴的垂线，垂足为H，交直线于点，
设动圆的圆心为E，半径为r，则E到y轴的距离为r，
在梯形OFPH中，由中位线性质可得，
所以，又，所以，
由抛物线的定义知，点P是以为焦点的抛物线，
所以曲线C的方程为.
【小问2详解】
设，，将代入，
消去y整理得.
当时，，,
，
化简得，解得，经检验，此时，故.
20. 已知椭圆C：点，分别是椭圆C的左、右焦点，点A是椭圆上任意一点，O为坐标原点，且的最小值为1，．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点作直线l与椭圆C交于不同两点P，Q，点M是线段PQ的中点，过点M作直线l的垂线交x轴于点N．求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意得，再由椭圆的定义可知即可求得，即得椭圆的方程；
（2）分两种情况讨论，当直线l倾斜角为0时，；当直线l倾斜角不为0时，设直线l的方程为并联立椭圆方程，根据韦达定理法结合条件即得直线MN的方程及的坐标，再由弦长公式求得，根据的取值范围即可求得的取值范围.
【小问1详解】
由题即的最小值为1，故，
由题可得，，
所以椭圆的标准方程为：；
【小问2详解】
①设直线l的方程为：，，，
联立得，
由得，，，
∴，，，
直线MN的方程：，
令，，
∴，
令，
∴，在单调递增，
∴，∴；
②若直线l倾斜角为0时，则直线l方程为，此时M，N重合，，
综上：.
21. 已知圆C与直线相切于点，且圆心C在x轴的正半轴上.
（1）求圆C的方程；
（2）过点作直线交圆C于M，N两点，且M，N两点均不在x轴上，点，直线BN和直线OM交于点G.证明：点G在一条定直线上，并求此直线的方程.
【答案】（1）
（2）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）设圆心，利用垂直关系求出圆心坐标，从而利用距离公式求出半径，即可求出圆的方程；
（2）设直线MN方程，与圆方程联立，得到韦达定理式，求出直线OM和直线BN的方程，联立求得，即可证明.
【小问1详解】
由圆心C在x轴的正半轴上设圆心，
又圆C与直线相切于点，则，解得，
所以，半径，所以圆C的方程为：.
【小问2详解】
设，，直线MN方程为：，
联立得，
，，，
直线OM方程为：，直线BN方程为：，
联立，可得，
所以点G在直线上.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆相交问题的基本步骤如下：
①设直线方程，设交点坐标为，；
②联立直线与圆的方程，得到关于x (或y)的一元二次方程，必要时计算；
③列出韦达定理；
④将所求问题或题中的关系转化为， (或，)的形式；
⑤代入韦达定理求解.
22. 设是双曲线C：（，）的右焦点，离心率，过F的直线l交双曲线C的右支于P、Q两点．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过点P作轴于A，过点Q作轴于B，直线AQ交直线于M，记的面积为，的面积为．求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由焦点坐标得，由离心率求得，再求出，即可得双曲线方程；
（2）设，，设直线PQ的方程为，代入双曲线方程应用韦达定理得，，由直线方程求得点坐标，利用斜率证明三点共线，然后计算两个三角形面积，再结合韦达定理可得结论．
【小问1详解】
由题意，得，所以，
故双曲线的标准方程为；
【小问2详解】
设，，易知PQ斜率不为0，故设直线PQ的方程为，
联立得，
，，，，
由PQ直线与双曲线右支交于两点得，所以，
直线AQ的方程为，所以，
法一：
下证明P，B，M三点共线，
，，
即证，也即证，
由韦达定理显然成立.
∴，
∴，
∴．
法二：
，
又，，
∴①，
，
又，，
∴②，
由①、②结合韦达定理得．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的定值问题，设直线方程为，直线与圆锥曲线的交点坐标为，直线方程代入圆锥曲线方程后应用韦达定理得出（或），再利用交点坐标求出其它量，如本题中的三角形面积，然后代入韦达定理的结论（可结合所设直线方程）得出定值．
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