湖南师大附中博才实验中学2022-2023学年上学期九年级数学第三次月考测试题(含答案)

这是一份湖南师大附中博才实验中学2022-2023学年上学期九年级数学第三次月考测试题(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖南师大附中博才实验中学2022-2023学年第一学期九年级数学第三次月考测试题（附答案）
一、选择题（共30分）
1．﹣2的相反数是（　　）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．
2．下列运算正确的是（　　）
A．x2•x3＝x6 B．x2+x2＝2x4
C．x6÷x2＝x3 D．（﹣3a3）•（﹣5a5）＝15a8
3．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，AB∥DE，点B，C，D在同一直线上，若∠BCE＝55°，∠E＝25°，则∠B的度数是（　　）

A．55° B．30° C．25° D．20°
5．下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．旭日东升 B．守株待兔 C．大海捞针 D．水中捞月
6．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC．若AD：DB＝3：1，则AE：EC等于（　　）

A．3：1 B．3：4 C．3：5 D．2：3
7．在同一平面内，已知⊙O的半径为3cm，OP＝4cm，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O圆外 B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O内 D．无法确定
8．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠BDC＝130°，则∠BOC的度数为（　　）

A．130° B．120° C．110° D．100°
9．临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为4万元，第三个月的销售额为5.76万元，设两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意可列方程为（　　）
A．4（1+2x）＝5.76 B．2×4（1+x）＝5.76
C．4（1+x）2＝5.76 D．4（1+x2）＝5.76
10．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③2a﹣b＝0；④b2＞4ac；
⑤若m为任意实数，则a+b≥am2+bm．其中正确的是（　　）

A．①②③④ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤
二、填空题（共18分）
11．分解因式：x2﹣16＝　 　．
12．一次函数y＝﹣2x+9的图象不经过第 　 　象限．
13．有一枚质地均匀的骰子，骰子各个面上的点数分别为1～6．任意抛掷这枚骰子，朝上面的点数大于3的概率是 　 　．
14．圆锥底面圆的半径r＝2cm，母线长为6cm，则圆锥全面积为 　 　．
15．已知点P（2a，6）与点Q（8，b+2）关于原点对称，则a﹣b＝　 　．
16．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，直线l经过△ABC的内心O，过点C作CD⊥l，垂足为D，连接AD，则AD的最小值是 　 　．

三、解答题（共72分）
17．计算：．
18．先化简再求值：，其中x＝1，y＝2．
19．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，作Rt△ABC的外接圆⊙O，作法如下：
①分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；
②作直线MN，交BC于点O；
③以点O为圆心，CO的长为半径作圆．
则⊙O为所求作Rt△ABC的外接圆⊙O．
（1）请根据上述作法完成填空：
直线MN是线段BC的 　 　；点O是线段BC的 　 　；线段BC是⊙O的直径，理由是 　 　；
（2）若AC＝4，∠B＝30°，求△ABC的外接圆劣弧的长．

20．某校开展禁毒防艾知识竞赛．政教处随机抽取九年级部分学生成绩进行统计．将统计结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．相关数据统计、整理如下：
等级
A级
B级
C级
D级
人数
6
12
a
8
（1）本次抽样测试的学生人数是 　 　名，a＝　 　；
（2）扇形统计图中表示A级的扇形的圆心角的度数是 　 　；
（3）该校九年级共有学生1000名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为 　 　名；
（4）某班有4名优秀的同学（其中一名男生三名女生），班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享．利用列表法或画树状图法，求恰好选到两名女生的概率．

21．如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，连接AP、PD，∠APD＝60°．
（1）求证：△ABP∽△PCD；
（2）若PC＝2，求CD的长．

22．戴口罩是阻断呼吸道病毒传播的重要措施之一，某商家对一款成本价为每盒50元的医用口罩进行销售，如果按每盒70元销售，每天可卖出20盒．通过市场调查发现，每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒．
（1）若每盒售价降低x元，则日销量可表示为 　 　盒，每盒口罩的利润为 　 　元．
（2）若商家要使日利润达400元，又想尽快销售完该款口罩，问每盒售价应定为多少元？
（3）当每盒售价定为多少元时，商家可以获得最大日利润？并求出最大日利润．
23．如图，P为⊙O外一点，AB为圆O的弦，且∠ADE＝∠PAE，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．
（1）求证：PA为⊙O的切线；
（2）若∠ADE＝30°，求证：AE＝PE；
（3）若PB与⊙O切于点B，且PE＝4，CD＝6，求CE的长．

24．定义T（t，0）是x轴上一点（t＞0），函数C1的图象与函数C2的图象关于点T（t，0）中心对称，将这一变换称为“T变换”，将函数C1的图象在直线x＝t的左侧部分与函数C2的图象在直线x＝t上及右侧部分组成的新图象记为F，F对应的函数为y＝．
（1）若t＝4，函数C1图象上的点（4，3）经过T变换后的坐标为 　 　；
（2）若函数C1为直线y＝2x+4，C2为直线y＝2x﹣8，则点T的坐标为 　 　；
（3）已知C1：y＝x2﹣4x+3，且0＜t≤．
①若图象F上的三个点A（t﹣1，yA），B（t，yB），C（t+1，yC），且△ABC的面积为1，求t的值；
②t﹣1≤x≤t+2时，图象F上的点的纵坐标的最大值与最小值之差为h，求h关于t的函数关系式．
25．如图，二次函数与x轴的一个交点A的坐标为（﹣3，0），以点A为圆心作圆A，与该二次函数的图象相交于点B，C，点B，C的横坐标分别为﹣2，﹣5，连接AB，AC，并且满足AB⊥AC．过点B作BM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）经过点B作直线BD，在A点右侧与x轴交于点D，与二次函数的图象交于点E，使得∠ADB＝∠ABM，连接AE，求证：AE＝AD；
（3）若直线y＝kx+1与圆A相切，请求出k的值．


参考答案
一、选择题（共30分）
1．解：由相反数的定义可知，﹣2的相反数是﹣（﹣2）＝2．
故选：B．
2．解：A、原式＝x5，故A不符合题意．
B、原式＝2x2，故B不符合题意．
C、原式＝x4，故C不符合题意．
D、原式＝15a8，故D符合题意．
故选：D．
3．解：A．＝1.2，故此选项不合题意；
B．是最简二次根式，故此选项符合题意；
C．＝2，故此选项不合题意；
D．＝，故此选项不合题意；
故选：B．
4．解：∵∠BCE＝55°，∠E＝25°，∠BCE＝∠E+∠D，
∴∠D＝∠BCE﹣∠E＝55°﹣25°＝30°，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠D，
∴∠B＝30°，
故选：B．
5．解：A、旭日东升，是必然事件，符合题意；
B、守株待兔，是随机事件，不符合题意；
C、大海捞针，是随机事件，不符合题意；
D、水中捞月，是不可能事件，不符合题意；
故选：A．
6．解：∵DE∥BC，
∴＝3：1．
故选：A．
7．解：∵⊙O的半径为3cm，OP＝4cm，
∴OP＞⊙O的半径，
∴点P在⊙O外．
故选：A．
8．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠D＝180°，而∠D＝130°，
∴∠A＝180°﹣∠D＝50°，
∴∠BOC＝2∠A＝100°．
故选：D．
9．解：根据题意得4（1+x）2＝5.76，
故选：C．
10．解：①抛物线开口向下，则a＜0，
抛物线对称轴位于y轴右侧，则a，b异号，即ab＜0，
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，所以，
故①错误；
②∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
故②正确；
③∵抛物线对称轴为直线
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，
故③错误；
④∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac
故④正确；
⑤∵抛物线对称轴为直线x＝1
∴函数的最大值为：a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，
故⑤正确；
故正确的结论有：②④⑤，共3个，
故选：B．
二、填空题（共18分）
11．解：x2﹣16＝（x+4）（x﹣4）．
12．解：∵k＝﹣2，b＝9，
∴一次函数y＝﹣x﹣2的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故答案为：三．
13．解：任意抛掷这枚骰子，朝上的面的点数有6种等可能结果，其中朝上面的点数大于3的有4，5，6，共3种结果，
∴朝上面的点数大于3的概率是＝．
故答案为：．
14．解：如图所示，圆锥底面圆的半径r＝2cm，母线长为6cm，

∴底面圆的周长为2πr＝2π×2＝4πcm，
底面圆的面积为πr2＝π•22＝4πcm2，
侧面扇形的面积为，
∴圆锥的全面积为4π+12π＝16πcm2．
故答案为：16πcm2．
15．解：∵点P（2a，6）与点Q（8，b+2）关于原点对称，
∴2a＝﹣8，b+2＝﹣6，
解得：a＝﹣4，b＝﹣8，
∴a﹣b＝﹣4﹣（﹣8）＝4．
故答案为：4．
16．解：如图，圆O与Rt△ABC三边的切点分别为E，F，G，连接OE，OF，OG，

∵圆O是Rt△ABC的内切圆，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴CE＝CF，BE＝BG，AF＝AG，AB＝＝5，
∴四边形CEOF是正方形，
设正方形CEOF的边长为x，
则BE＝BG＝3﹣x，AF＝AG＝4﹣x，
根据题意，得
3﹣x+4﹣x＝5，
解得x＝1，
∴OC＝＝，
∵CD⊥l，
∴∠CDO＝90°，
∴点D在以OC为直径的圆Q上，如图，

连接AQ，过点Q作QP⊥AC于点P，
当点D运动到线段QA上时，AD取得最小值，
∴CP＝QP＝，
∴AP＝AC﹣CP＝4﹣＝，圆Q的半径QD＝，
∴QA＝＝＝，
∴AD的最小值为AQ﹣QD＝﹣＝2．
故答案为：2．
三、解答题（共72分）
17．解：原式＝
＝．
18．解：原式＝＝，
当x＝1，y＝2时，
∴原式＝．
19．解：（1）根据题意，
直线MN是线段BC的垂直平分线；
点O是线段BC的中点；
∵∠BAC＝90°，
∴线段BC是⊙O的直径，理由是90°的圆周角所对的弦为直径；
故答案为：垂直平分线，中点，90°的圆周角所对的弦为直径．
（2）连接OA，

∵∠B＝30°，
∴∠AOC＝2∠B＝60°，
又∵OA＝OC，AC＝4，
∴△OAC为等边三角形，且OA＝AC＝4，
∴的长＝＝．
20．解：（1）本次抽样测试的学生人数是：8÷20%＝40（名），
则a＝40﹣6﹣12﹣8＝14，
故答案为：40，4；
（2）扇形统计图中表示A级的扇形的圆心角的度数是360°×＝54°，
故答案为：54°；
（3）估计优秀的人数为：1000×＝150（名），
故答案为：150；
（4）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中恰好选到两名女生的结果有6种，
∴恰好选到两名女生的概率为＝．
21．（1）证明：①在等边三角形△ACB中，∠B＝∠C＝60°，
∵∠APD＝60°，∠APC＝∠PAB+∠B，
∴∠DPC＝∠PAB，
∴△ABP∽△PCD；
（2）解：∵△ABP∽△PCD，AB＝AC＝3，
∴，
∴CD＝＝＝．
22．解：（1）由题意可知：每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒，
∴降低x元，销售量增加2x盒，
那么日销售量为（20+2x）盒，每盒口罩利润为（70﹣50）﹣x＝（20﹣x）元，
故答案为：（20+2x），（20﹣x）；
（2）设每盒售价降低x元，根据题意可知：（20+2x）（20﹣x）＝400，
解得：x1＝0（舍去），x2＝10，
∴售价应定为70﹣10＝60元，
答：若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款口罩，每盒售价应定为60元；
（3）设当每盒售价定为x元时，商家获得的利润为W＝450元，
由题意可知：W＝（20+2x）（20﹣x）＝﹣2x2+20x+400，
∵a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，
当时，W有最大值，即W＝450元，
∴售价应定为70﹣5＝65元，
答：当每盒售价定为65元时，商家可以获得最大日利润，最大日利润为450元．
23．（1）证明：如图，连接OA，

∵DE是⊙O的直径，
∴∠DAE＝90°，
∴∠ADE+∠AED＝90°
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠AED，
又∵∠ADE＝∠PAE
∴∠OAE+∠PAE＝90°，即∠OAP＝90°
∴AO⊥PA，
又OA为⊙O的半径，
∴PA为⊙O的切线．
（2）证明：由（1）知：∠ADE＝∠PAE＝30°，
∵∠DAE＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠ADE＝60°．
∵∠AED＝∠PAE+∠APE，
∴∠APE＝∠PAE＝30°，
∴AE＝PE；
（3）解：设CE＝x，则DE＝CD+CE＝6+x，
∴，
∴，．
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴PA＝PB，PO平分∠APB，
∴PO⊥AB．
∵PA为⊙O的切线，
∴AO⊥PA，
∴△OAC∽△OPA，
∴，
∴，
即：x2+10x﹣24＝0．
解得：x＝2或﹣12（不合题意，舍去），
∴CE＝2．
24．解：（1）设变换后的坐标为（x，y），
∵（x，y）与（4，3）关于（4，0）对称，
∴，解得，
∴变换后的坐标为（4，﹣3），
（2）设C1上点为（x1，y1），C2上点为（x2，y2），
∴y1＝2x1+4，y2＝2x2﹣8，
∴，
∴，
解得：t＝1，
∴T（1，0）；
（3）∵设C2上点的坐标为（x，y），
∴C1上点的坐标为（2t﹣x，﹣y），
将点（2t﹣x，﹣y）代入C1：中，得：（2t﹣x）2﹣4（2t﹣x）+3＝﹣y，
∴，
∴C1：的顶点为（2，﹣1），T（t，0），C2的顶点为（2t﹣2，1），
令C1中x＝t﹣1，则，
令C2中x＝t，则，
令C2中x＝t+1，则，

∴A（t﹣1，t2﹣6t+8），B（t，﹣t2+4t﹣3），C（t+1，﹣t2+6t﹣8），
如图1，过点B作BD⊥x轴，
∴D（t，0），
由上式知A与C对称，
∴，
当S△ABC＝1，
解得，（大于2.5舍），t3＝2
∴，或t＝2，
②由t2﹣6t+8＝﹣t2+4t﹣3解得，（舍）
∴如图2，当时，

h＝（t﹣1﹣2）2﹣1+（t+2﹣2t+2）2﹣1＝2t2﹣24t+23，
∴当时，h＝[﹣（t﹣2t+2）2+1]﹣[﹣（t+2﹣2t+2）2+1]＝12﹣4t，
∴当时，函数F2上的点对应的值最大为1，F2上当x＝t+2时对应的值最小为1﹣（t﹣4）2，
∴h＝1﹣1+（t﹣4）2＝t2﹣8t+16，h＝．
25．解：（1）∵BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，
∴∠ANC＝∠BMA＝90°，
∴∠ABM+∠BAM＝90°，
∵AC⊥AB，
∴∠CAN+∠BAM＝90°，
∴∠ABM＝∠CAN，
∵⊙A过点B，C，
∴AC＝AB，
∴ACN≌△BAM（AAS）．
∴CN＝AM＝﹣2﹣（﹣3）＝1，BM＝AN＝﹣3﹣（﹣5）＝2，
∴B（﹣2，﹣2），C（﹣5，﹣1），
将点B，C代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵BM⊥x轴于点M，
∴∠AMB＝∠BMD＝90°，
∵∠ADB＝∠ABM，
∴△ABM∽BDM，
∴，即，
∴DM＝4，
∴D（2，0），
∴AD＝5，
设直线BD的解析式为y＝kx+b（k≠0），
代入B（﹣2，﹣2），D（2，0）得，
解得：，
∴直线BD的解析式为，
联立，解得：或（舍），
∴E（﹣6，﹣4），
∴，
∴AE＝AD；
（3）解：∵点B（﹣2，﹣2）在⊙A上，
∴⊙A的半径为：，
如图2，记直线y＝kx+1与y轴相交于F，令x＝0，则y＝1，
∴F（0，1），
∴OF＝1，
①当直线y＝kx+1与⊙A的切点在x轴上方时，记切点为G，则，∠AGF＝90°，
连接AF，在Rt△AOF中，OA＝3，OF＝1，
∴，
在Rt△AGF中，根据勾股定理得，，
过点G作GP⊥y轴于P，过点G作GQ⊥x轴于Q，
∴∠AQG＝∠GQO＝∠FPG＝∠POQ＝90°，
∴四边形POQG是矩形，
∴∠PGQ＝90°，
∴∠AGQ＝∠FGP，
∴△AQG≌△FPG（AAS），
∴AQ＝PF，GQ＝PG，
设点G（m，km+1），
∴AQ＝m+3，PF＝km+1﹣1＝km，PG＝﹣m，GQ＝km+1，
∴m+3＝km①，km+1＝﹣m②，
联立①②解得，，
②当切点在x轴下方时，同①的方法可得，k＝2；
综上：直线y＝kx+1与圆A相切时，k的值为或2．