北京二十中2022-2023学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）(含答案)

2022-2023学年北京二十中九年级（上）月考数学试卷（10月份）

一、选择题（本大题共8小题，共32.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

2.    随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.    将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的解析式为(    )

A.  B.
C.  D.

4.    用配方法解方程，下列变形正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    方程的一个实数根为，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

6.    如图，将绕点顺时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为点，当点恰好落在边上时，连接，若，则的度数是(    )
    

A.  B.  C.  D.

7.    二次函数是常数中，自变量与函数的对应值如下表：

则一元二次方程是常数的两个根，的取值范围是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

8.   如图，在中，，，动点，分别从，两点同时出发，点从点开始沿边向点以每秒个单位长度的速度移动，点从点开始沿向点以每秒个单位长度的速度移动．设运动时间为，点，之间的距离为，的面积为，则与，与满足的函数关系分别是(    )
    

A. 正比例函数关系，一次函数关系 B. 正比例函数关系，二次函数关系
C. 一次函数关系，正比例函数关系 D. 一次函数关系，二次函数关系

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

9.   若点与点关于原点对称，则点的坐标为______．
10. 写出一个二次函数，其图象满足：开口向下；与轴交于点，这个二次函数的解析式可以是______．
11. 如图，在中，，则______．

12. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为          ．

13. 关于的一元二次方程的其中一个根是，则______．
14. 如图，点在上，弦垂直平分，垂足为若，则的长为          ．
     
15. 已知二次函数，当时，函数值的取值范围是______．
16. 如图，在中，，，点在上，且，将点绕着点顺时针方向旋转，使得点的对应点恰好落在边上，则旋转角的度数为           ，的长为           ．
    
     

三、解答题（本大题共6小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    解方程：
    ；
    ．
18. 本小题分
    如图，是等边三角形，点在边上，以为边作等边，连接，求证：．

19. 本小题分
    在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，．

求这个二次函数的解析式和顶点坐标；
在平面直角坐标系中，用“五点作图法”画出的图象；
结合函数图象，直接写出时的取值范围．

20. 本小题分
    已知关于的方程有两个实数根．
    求的取值范围；
    当取最大整数时，求此时方程的根．
21. 本小题分
    在平面直角坐标系中，已知二次函数，其对称轴为直线．
    当时，______；
    若点，在此二次函数图象上，且，则的取值范围是______；
    当时，若对于任意的满足，且此时所对应的函数值的最小值是，求的值．
22. 本小题分
    在中，，，是边上一点，过点作射线，过点作于点，过点作于点，取中点，连接．
    
    依题意在图中补全图形；
    求证：；
    猜想线段，，的数量关系，并证明．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
根据一元二次方程的一般形式找出，，的值即可．
【解答】
解：方程，
二次项系数、一次项系数、常数项分别是，，．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：．
本题考查了中心对称图形的概念．
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可．
 

3.【答案】 

【解析】解：按照函数图象平移“左加右减，上加下减”的规律，将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的解析式为，即，
故选：．
按照函数图象平移“左加右减，上加下减”的规律求解则可．
本题考查了函数图象平移的规律：左加右减，上加下减．
 

4.【答案】 

【解析】解：方程移项得：，
配方得：，即．
故选：．
方程移项后，配方得到结果，即可作出判断．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：方程的一个实数根为，
，
，
则原式

，
故选：．
根据一元二次方程的解的概念得出，再代入原式计算即可．
本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的解的概念．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．旋转前、后的图形全等．
由旋转性质知≌，据此得、，继而可得答案．
【解答】
解：由题意知≌，
则，，
，
故选D．  

7.【答案】 

【解析】解：结合图表，一元二次方程是常数的两个根，，
根据现有的条件确定，的取值范围，
即时，的取值范围，
；时的值最接近，
故选：．
在函数值由负值到正值，由正值到负值的过程中，就会有一个的值使，方程的根就在这个范围内．
此题主要考查了二次函数的性质，掌握函数的图象与轴的交点与方程的根的关系是解决此题的关键所在．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查一次函数、二次函数，理解一次函数、二次函数的意义是正确解答的前提，求出与，与的函数关系式是正确判断的关键．
求出与，与满足的函数关系式，再根据函数的类型进行判断即可．
【解答】
解：由题意得，，，
，
即，
，
因此是的一次函数，是的二次函数，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：点与点关于原点对称，则点的坐标为．
故答案为：．
直接利用关于原点对称点的性质得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆关于原点对称点的性质是解题关键．
 

10.【答案】答案不唯一 

【解析】解：设二次函数的解析式为，
抛物线开口向下，
．
抛物线与轴的交点坐标为，
．
取，时，二次函数的解析式为．
故答案为：答案不唯一．
根据二次函数的性质可得出，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，取，即可得出结论．
本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出，是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：在中，
，，
．
故答案为：．
根据圆的性质得出，再利用，由等腰三角形的性质即可得出答案．
此题主要考查了圆的性质，根据圆的半径相等得出是等腰三角形是解题关键．
 

12.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是求得抛物线与轴的两个交点坐标．
根据抛物线的轴对称性质得到抛物线与轴的另一个交点坐标，由此求得关于的方程的两根．
【解答】
解：抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
关于的方程的解为或．
故答案为：或．  

13.【答案】 

【解析】解：把代入方程得，解得，，
因为，
所以的值为．
故答案为．
把代入原方程得，再解关于的方程，然后利用一元二次方程的定义确定的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，

，
，，
弦垂直平分，
，
，
在中，，
，
，
故答案为．
连接，根据垂径定理和勾股定理即可求出答案．
本题考查了垂径定理，勾股定理，解题关键是利用勾股定理求出的长度．
 

15.【答案】 

【解析】解：二次函数，
抛物线开口向上，顶点为，
当，有最大值最小值，
把代入得，，
当时，函数值的取值范围是，
故答案为：．
根据二次函数的性质即可求得．
本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
 

16.【答案】； 

【解析】解：如图，连接，

，，
，
将点绕着点顺时针方向旋转，使得点的对应点恰好落在边上，
旋转角为，，
，
在中，，
，
故答案为：；．
由旋转的性质可得旋转角为，，再由勾股定理求出即可．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质及勾股定理，掌握旋转的性质是解本题的关键．
 

17.【答案】解：，
，
，
所以，；
，
，
，
，
，
所以，． 

【解析】先移项得到，然后利用直接开平方法解方程；
利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程．
本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．也考查了直接开平方法．
 

18.【答案】证明：，均为等边三角形，
，，．
在与中，
，
≌，
． 

【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质．证明三角形全等是解题的关键．
根据等边三角形的性质和证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
 

19.【答案】解：二次函数的图象经过点，，
，
解得，
二次函数的解析式为；
令，则，
抛物线与轴的交点为；
令，则，
解得，，
抛物线与轴的交点为，，
对称轴为直线，顶点坐标，
点关于对称轴对称的点为，
函数图象如图所示：

根据函数图象，当或时，，
时的取值范围为或． 

【解析】把、的坐标代入，根据待定系数法求得即可；
先求出抛物线与坐标轴的交点，顶点以及对称轴，然后用五点法画出函数图象；
根据函数图象直接得出结论．
本题考查了抛物线与轴的交点．待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与不等式组，数形结合是解题的关键．
 

20.【答案】解：关于的方程有两个实数根，
，
解得：且．
当时，方程为：，即，
解得：． 

【解析】根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．
由中的取值范围得出符合条件的的最大整数值，代入原方程，利用因式分解法即可求出的值．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系．
 

21.【答案】   

【解析】解：由题意得：，
故答案为：；

，
故抛物线开口向上，
而，
则点离对称轴的距离比点离对称轴的距离大，
当点、都在对称轴右侧时，显然成立，
当点、都在对称轴左侧时，显然不成立，
当点、在对称轴两侧时，则，
解得：，
故答案为：；

当时，，
由知，，
当时，即，
则时，取得最小值，
即，
解得：舍去或；
当时，即，
则时，取得最小值，
即，
解得：舍去或；
当时，即，
当时，取得最小值，
即，
方程无解．
综上，的值为或；
利用对称轴公式，即可求解；
根据二次函数的图象开口向上，点，在此二次函数图象上，由，确定点和离对称轴的距离，进而即可求解；
当时，即，则时，取得最小值，即，即可求解；当时，即，则时，取得最小值，即，
即可求解；当时，即，同理可解．
本题主要考查的是二次函数综合用用，主要考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴，二次函数图象的对称性是解题的关键，而分类求解是本题的难点．
 

22.【答案】解：补全图形如图，

证明：，，
，
，
，
，
，
，
≌，
；

当点在上时，结论：．
证明：如图，连接，，

，，是的中点，
，，
≌，
，，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
；
如图，当点在上时，结论为：，

理由如下：，，是的中点，
，，
≌，
，，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
． 

【解析】由题意补全图形；
由“”可证≌，由全等三角形的性质可得出；
分两种情况讨论，连接，证明≌，由全等三角形的性质可得出，，由等腰直角三角形的性质得出，则可得出结论．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．