安徽省皖南八校2022-2023学年高三上学期第二次大联考数学试题及答案

安徽省皖南八校2022-2023学年高三上学期第二次大联考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．若复数满足（为虚数单位），则（    ）

A． B． C． D．

3．已知单位向量满足，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

4．已知双曲线以正方形ABCD的两个顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，则双曲线E的离心率为（    ）

A． B．

C． D．

5．在三棱锥中，，则三棱锥外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

6．已知圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则实数的最小值是（    ）

A． B． C． D．

7．为落实疫情防控“动态清零”总方针和“四早”要求，有效应对奥密克戎变异株传播风险，确保正常生活和生产秩序，某企业决定于每周的周二、周五各做一次抽检核酸检测.已知该企业组装车间的某小组有6名工人，每次独立、随机的从中抽取3名工人参加核酸检测.设该小组在一周内的两次抽检中共有名不同的工人被抽中，下列结论不正确的是（    ）

A．该小组中的工人甲一周内被选中两次的概率为

B．

C．该小组中的工人甲一周内至少被选中一次的概率为

D．

8．已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学、声学、密码学、计算机科学、量子力学等各个领域.而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数，的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（    ）

A．函数的图象关于直线对称

B．函数的图象关于点对称

C．函数为周期函数，且最小正周期为

D．函数的导函数的最大值为4

10．已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过的直线与抛物线交于两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．抛物线的准线方程为

B．当，则直线的倾斜角为

C．若，则点到轴的距离为8

D．

11．在底面边长为2、高为4的正四棱柱中，为棱上一点，且分别为线段上的动点，为底面的中心，为线段的中点，则下列命题正确的是（    ）

A．与共面

B．三棱锥的体积为

C．的最小值为

D．当时，过三点的平面截正四棱柱所得截面的周长为

12．已知都是定义在上的函数，对任意满足，且，则下列说法正确的有（    ）

A．

B．函数的图象关于点对称

C．

D．若，则

三、填空题

13．国庆节前夕，某市举办以“红心颂党恩、喜迎二十大”为主题的青少年学生演讲比赛，其中10人比赛的成绩从低到高依次为：85，86，88，88，89，90，92，93，94，98（单位：分），则这10人成绩的第75百分位数是__________.

14．在的展开式中，的系数为__________.

15．已知，则__________.

16．已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为：_______．

四、解答题

17．已知数列的首项，且满足.

(1)求证：数列为等比数列；

(2)若，求满足条件的最大整数.

18．近年来，我国大学生毕业人数呈逐年上升趋势，各省市出台优惠政策鼓励高校毕业生自主创业，以创业带动就业．某市统计了该市其中四所大学2021年的毕业生人数及自主创业人数（单位：千人），得到如下表格：

(1)已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；

(2)假设该市政府对选择自主创业的大学生每人发放1万元的创业补贴．

（ⅰ）若该市大学2021年毕业生人数为7千人，根据（1）的结论估计该市政府要给大学选择自主创业的毕业生创业补贴的总金额；

（ⅱ）若大学的毕业生中小明、小红选择自主创业的概率分别为，，该市政府对小明、小红两人的自主创业的补贴总金额的期望不超过1.4万元，求的取值范围．

参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为．

19．如图，将长方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，其中，劣弧的长为为圆的直径.

(1)在弧上是否存在点（在平面的同侧），使，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

20．如图，在平面四边形中，，．

(1)若平分，证明：；

(2)记与的面积分别为和，求的最大值．

21．已知椭圆经过点，其右焦点为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)椭圆的右顶点为，若点在椭圆上，且满足直线与的斜率之积为，求面积的最大值.

22．已知函数，其中是自然对数的底数.

(1)设曲线与轴正半轴相交于点，曲线在点处的切线为，求证：曲线上的点都不在直线的上方；

(2)若关于的方程（为正实数）有两个不等实根，求证：.

参考答案：

1．C

【分析】先利用一元二次不等式求出集合，然后再利用集合交集的运算得出结果.

【详解】由解得，所以，

因为，则.

故选：C.

2．D

【分析】设，然后根据建立方程求解即可.

【详解】设，则，

，解得，即.

故选：D.

3．C

【分析】利用向量数量积的运算律可求得，首先求得在上的投影数量，进而得到结果.

【详解】由题意知：，

，，

，在上的投影向量为.

故选：C.

4．A

【分析】利用已知条件列出方程组，求解得关于，的等式关系，转化为离心率的式子，即可求得．

【详解】解：如图，

正方形的顶点A，B为双曲线的焦点，顶点C，D在双曲线上

则，故

由正方形得：，所以，则

即：，两边同除得：，

解得：或（舍）

故选：A.

5．A

【分析】根据勾股定理可得，然后利用正弦定理可得，进而可得的中点为三棱锥外接球的球心，然后利用球的体积公式即得.

【详解】因为，

所以，

在中，由正弦定理得，即，

所以，，

取的中点，连接，则，

即为三棱锥外接球的球心，外接球的半径，

所以三棱锥外接球的体积为.

故选：A.

6．D

【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，由两圆有公共点可确定圆心到直线的距离，利用点到直线距离公式可构造不等式求得结果.

【详解】由圆方程得：圆心，半径；

直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，

圆心到直线的距离，

即，解得：，的最小值为.

故选：D.

7．B

【分析】A选项，计算出每次抽取，工人甲被抽到的概率，进而得到工人甲一周内被选中两次的概率；

B选项，得到的可能取值，求出对应的概率，得到BD选项；

C选项，计算得到工人甲一周内两次均未被选中的概率，进而利用对立事件的概率公式求出答案.

【详解】依题意每次抽取，工人甲被抽到的概率，所以工人甲一周内被选中两次的概率为，故A正确；

依题意的可能取值为，则，意味着第一次从6人中选中的3人，第二次仍然为这3人，则，

同理可得：，所以，故B错误；

对于，工人甲一周内两次均未被选中的概率为，

所以工人甲一周内至少被选中一次的概率为，故正确；

，意味着第一次先从6人中选中3人，第二次抽到的3人中，含有第一次抽到的3人中的2人，另外一人从没有抽到的3人中抽取，

故概率为：，

同理可得：，

所以，故D正确.

故选：B.

8．B

【分析】根据 是偶函数，可将自变量都转到上，通过比较自变量的大小，以及判断的单调性，即可比较大小.

【详解】， 是偶函数，

又，记，则,所以单调递减，当时，，所以，故当时，单调递减，

记当时，,所以在单调递减，故，即,

记，当时，,所以单调递减，故，综上可知：

当时，单调递减，故

故选：B

9．ABD

【分析】由题可知，根据诱导公式可得可判断AC，根据奇偶性的概念可判断B，根据导数公式及三角函数的性质可判断D.

【详解】因为函数，定义域为R，

对于A，

，

所以函数的图象关于直线对称，故A正确；

对于B， ，

所以函数为奇函数，图象关于点对称，故B正确；

对于，由题知，故C错误；

对于，由题可知，故D正确.

故选：.

10．AD

【分析】根据抛物线的图象与几何性质，抛物线焦点弦性质逐个解决即可.其中对于D, .

【详解】对于A，易知，从而准线方程为，故A正确；

对于B，如图分别过

两点作准线的垂线，垂足分别为，过点作的垂线，垂足为点.

由于，不妨设，则，

由抛物线的定义易知：，，

在直角中，，

此时的倾斜角为，

根据抛物线的对称性可知，的倾斜角为或，故B错误；

对于C，

点，

由抛物线的定义知，，

所以有，

所以到轴距离，故C错误；

对于D，由抛物线定义知，

所以，

当且仅当，即时取得等号，故D正确；

故选:AD.

11．ACD

【分析】对于A，证明即可判断；对于B，由等体积法即可判断；对于C，展开平面，即可得到最小值；对于D，取，连接，即可得到截面，从而得到结果.

【详解】对于A，如图1，在中，因为为的中点，所以，所以与共面，所以A正确；

对于B，由，因为到平面的距离为定值2，且的面积为1，所以三棱锥的体积为，所以B错误；

对于C，如图2，展开平面，使点共面，过作，交与

点，交与点，则此时最小，易求的最小值为，则C正确；

对于D，如图3，取，连接，则，又，所以，所以共面，即过三点的正四棱柱的截面为，由，则是等腰梯形，且，所以平面截正四棱柱所得截面的周长为，所以D正确.

故选:ACD.

12．ABD

【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断ABC，对于D，通过观察选项可以推断很可能为周期函数，结合，的特殊性以及一些已经证明的结论，想到当令和时可构建出两个式子，两式相加即可得出，进一步可得出是周期函数，从而可得出的值.

【详解】对于A，令，代入已知等式得，得，

再令，，代入已知等式得，

可得，结合得，故A正确；

对于B，再令，代入已知等式得，

将代入上式，得，∴函数为奇函数，

∴函数关于点对称，故B正确；

对于C，再令，代入已知等式，

得，∵，∴，

又∵，∴，

∵，∴，故C错误；

对于D，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：

，

两式相加易得，所以有，

即：，

有：，

即：，∴为周期函数，且周期为3，

∵，∴，∴，，

∴，

∴，

故D正确.

故选：ABD.

【点睛】思路点睛：对于含有，，的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有，双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系.此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定.

13．

【分析】根据第百位数公式，即可求解.

【详解】因为，根据第百位数的含义知，应该选取第8个数作为第75百分位数，所以这10人成绩的第75百分位数是93.

故答案为：93.

14．

【分析】根据二项式定理可知，把看成和两项，展开式中含的项为，再写出展开式中项的系数，即可得出结果.

【详解】由题意可知，把二项式看成由和两项构成，

展开式中含的项为，

再将展开可得含的项为

即可知的系数为.

故答案为：

15．##

【分析】先变形得到，再分别求出所需要的角的三角函数值代入计算即可.

【详解】因为

，

，

，

因为，

所以，所以，

故

故答案为：.

16．

【分析】将不等式化简后，构造函数，根据单调性转化为恒成立问题求解

【详解】，∴，

构造函数，显然在上单调递增，

故等价于，即任意的实数恒成立，．

令，则，

故在上单调递减，在上单调递增，，得．

 故答案为：

17．(1)证明见解析

(2)4

【分析】(1) 由，化简可得，结合等比数列的定义，即可求解；

(2)由（1）可得，根据等比数列的求和公式和常数列的求和公式，求得，令，根据函数的单调性即可求解.

【详解】（1）由，可得，

，又，

故数列是以3为首项，3为公比的等比数列.

（2）由（1）可知，故.

.

令

易知随的增大而增大.

，故满足的最大整数为4.

18．(1)

(2)（ⅰ）万元（ⅱ）

【分析】（1）首先求，再根据参考公式求，，即可求得回归直线方程；

（2）（ⅰ）根据（1）的结果，代入，求得，即可求得总金额；

（ⅱ）首先列出随机变量X的所有可能值为0，1，2 ，并求解对应的概率和数学期望，并求，即可求解.

【详解】（1）由题意得，    

，   

所以

故得关于的线性回归方程为

（2）（ⅰ）将代入,

所以估计该市政府需要给大学毕业生选择自主创业的人员发放补贴金总额为（万元）     

（ⅱ）设小明、小红两人中选择自主创业的人数为X,则X的所有可能值为0，1，2     

，

∴

,故的取值范围为

19．(1)存在，当为圆柱的母线，

(2)

【分析】（1）当为圆柱的母线，证明平面，从而得出；

（2）以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法得出平面与平面夹角的余弦值.

【详解】（1）存在，当为圆柱的母线，.

连接，因为为圆柱的母线，所以平面，

又因为平面，所以.

因为为圆的直径，所以.

，所以平面，

因为平面，所以.

（2）以为原点，分别为轴，垂直于轴直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示.

，

因为的长为，所以，

设平面的法向量，

令，解得，

所以.

因为轴垂直平面，所以设平面的法向量.

所以.

所以平面与平面夹角的余弦值为.

20．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用可构造方程求得，利用余弦定理可求得，由此可得结论；

（2）在中，利用余弦定理可构造方程求得，利用三角形面积公式化简为，结合二次函数性质可得最大值.

【详解】（1）平分，，则，

由余弦定理得：，

即，解得：；

，

，

，又，，

（2），

，整理可得：；

，

，当时，取得最大值，最大值为.

21．(1)

(2)

【分析】（1）根据椭圆过的点和右焦点，列方程组求出，则椭圆方程可求；

（2）设，与椭圆方程联立，消去，利用韦达定理计算，可得的关系，利用的关系表示出，利用二次函数的性质求出最值.

【详解】（1）依题可得解得

所以椭圆的方程为；

（2）易知直线与的斜率同号，所以直线不垂直于轴，

故可设，

由可得，，

所以，即，

而，即，

化简可得，

，

化简得，

所以或，

所以直线或，

因为直线不经过点，

所以直线经过定点.

所以直线的方程为，易知，

设定点

，

因为，且，

所以，所以，

设，

所以，

当且仅当，即时取等号，即面积的最大值为.

【点睛】方法点睛：在圆锥曲线中涉及到三角形面积的求解时，常常有三种求解三角形面积的方法：

（1）常规面积公式：底高；

（2）正弦面积公式：；

（3）铅锤水平面面积公式：

过轴上的定点：（为轴上定长）

过轴上的定点（为轴上定长）

22．(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）先利用导数的几何意义求出点处的切线方程，再令，然后求出其单调区间和最小值，从而可证得结论；

（2）先求出的单调区间的最值，可得，由（1）得点处的切线方程，再求出在点处的切线方程，设与的交点的横坐标分别为，表示出，则，然后证明即可.

【详解】（1）证明：由题意可得：，

，

可得曲线在点处的切线为.

令，

，

当时，，当时，

∴函数在上单调递减，在上单调递增，

曲线上的点都不在直线的上方.

（2）证明：由（1）可得，

解得，

当时，，当时，，

所以在上递增，在上递减，

所以的最大值为，

，

曲线在点处的切线为，

由（1）得，

令，

，，

∴由零点的存在性定理知，

同理可得曲线在点处的切线为，

设与的交点的横坐标分别为

则，

.

下面证明：.

，

，且，

.

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数的几何意义的应用，考查利用导数证明不等式，第（2）问解题的关键是求出在点处和点处的切线方程，再求出与两切线交点的横坐标，然后将问题转化为，再转化为证明，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.