2022-2023学年安徽省芜湖一中皖南八校高三上学期第二次大联考（月考）数学试题含解析

    2023届“皖南八校”高三第二次大联考

数学

考生注意： 

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色黒水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.

3.本卷命题范围：高考范围.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

若复数满足（为虚数单位），则（    ）

A.    B.    C.    D.

3.已知单位向量满足，则在上的投影向量为（    ）

A.    B.    C.    D.

4.已知双曲线以正方形的两个顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，则双曲线的离心率为（    ）

A.    B.    C.    D.

5.在三棱锥中，，则三棱锥外接球的体积为（    ）

A.    B.    C.    D.

6.已知圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的最小值是（    ）

A.    B.    C.    D.

7.为落实疫情防控“动态清零”总方针和“四早”要求，有效应对奥密克戎变异株传播风险，确保正常生活和生产秩序，某企业决定于每周的周二､周五各做一次抽检核酸检测.已知该企业组装车间的某小组有6名工人，每次独立､随机的从中抽取3名工人参加核酸检测.设该小组在一周内的两次抽检中共有名不同的工人被抽中，下列结论不正确的是（    ）

A.该小组中的工人甲一周内被选中两次的概率为

B.

C.该小组中的工人甲一周内至少被选中一次的概率为

D.

8.已知，若，则大小关系为（    ）

A.    B.

C.    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学､声学､密码学､计算机科学､量子力学等各个领域.而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数，的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（    ）

A.函数的图象关于直线对称

B.函数的图象关于点对称

C.函数为周期函数，且最小正周期为

D.函数的导函数的最大值为4

10.已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过的直线与抛物线交于两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（    ）

A.抛物线的准线方程为

B.当，则直线的倾斜角为

C.若，则点到轴的距离为8

D.

11.在底面边长为2､高为4的正四棱柱中，为棱上一点，且分别为线段上的动点，为底面的中心，为线段的中点，则下列命题正确的是（    ）

A.与共面

B.三棱锥的体积为

C.的最小值为

D.当时，过三点的平面截正四棱柱所得截面的周长为

12.已知都是定义在上的函数，对任意满足，且，则下列说法正确的有（    ）

A.

B.函数的图象关于点对称

C.

D.若，则

三､填空题：全科免费下载公众号《高中僧课堂》本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.国庆节前夕，某市举办以“红心颂党恩､喜迎二十大”为主题的青少年学生演讲比赛，其中10人比赛的成绩从低到高依次为：（单位：分），则这10人成绩的第75百分位数是__________.

14.在的展开式中，的系数为__________.

15.已知，则__________.

16.已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数的最小值是__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步棷.

17.（10分）已知数列的首项，且满足.

（1）求证：数列为等比数列；

（2）若，求满足条件的最大整数.

18.（12分）

近年来，我国大学生毕业人数呈逐年上升趋势，各省市出台优惠政策鼓励高校毕业生自主创业，以创业带动就业.某市统计了该市其中四所大学2021年的毕业生人数及自主创业人数（单位：千人），得到如下表格：

（1）已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；

（2）假设该市政府对选择自主创业的大学生每人发放1万元的创业补贴.

（i）若该市大学2021年毕业生人数为7千人，根据（1）的结论估计该市政府要给大学选择自主创业的毕业生创业补贴的总金额；

（ii）若大学的毕业生中小明､小红选择自主创业的概率分别为，该市政府对小明､小红两人的自主创业的补贴总金额的期望不超过万元，求的取值范围.

参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：.

19.（12分）

如图，将长方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，其中，劣弧的长为为圆的直径.

（1）在弧上是否存在点（在平面的同侧），使，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；

（2）求平面与平面夹角的余弦值.

20.（12分）

如图，在平面四边形中，.

（1）若平分，证明：；

（2）记与的面积分别为和，求的最大值.

21.（12分）

已知椭圆经过点，其右焦点为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）椭圆的右顶点为，若点在椭圆上，且满足直线与的斜率之积为，求面积的最大值.

22.（12分）

已知函数，其中是自然对数的底数.

（1）设曲线与轴正半轴相交于点，曲线在点处的切线为，求证：曲线上的点都不在直线的上方；

（2）若关于的方程（为正实数）有两个不等实根，求证：.

2023届“皖南八校”高三第二次大联考･数学

参考答案､解析及评分细则

1.C  因为，则.故选C.

2.D  设，则，，解得即.故选D.

3.C  因为是单位向量，所以，故，由得，，即，解得.设与的夹角为，则在上的投影向量为.故选C.

4.A  如图，正方形的顶点为双曲线的焦点，顶点在双曲线上，则，

，故.由正方形得，所以，则

即，两边同除得，解得或（舍）.

故选A.

5.A  因为，所以，在中，由正弦定理得，即，所以，取的中点，可

知为三棱锥外接球的球心，外接球的半径，所以三棱锥外接球的体积为，故选A.

6.D  圆的方程为，整理得：圆心为，半径，又直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，点到直线的距离小于或等于，化简得，解得的最小值是.故选D.

7.B  依题意每次抽取工人甲被抽到的概率，所以工人甲一周内被选中两次的概率为，故A正确；依题意的可能取值为，则，所以，故B错误；

对于，工人甲一周内至少被选中一次的概率为，故正确；，所以，故D正确.故选B.

8.B  因为，所以为上的偶函数.当时，，所以在上单调递减，所以，所以在上单调递减，又因为为上的偶函数.所以在上单调递增.因为，由，得，所以，由，得，所以，从而有.故选B.

9.ABD  函数，对于A，可以验证，故A正确；对于B，同样可以验证，故B正确；对于，由诱导公式易知，故C错误；对于，易知，故D正确.故选.

10.AD  对于，易知，从而准线方程为，故正确；对于，如图分别过

两点作准线的垂线，垂足分别为，过点作的垂线，垂足为点.

由于，不妨设，则，由抛物线的定义易知：，

，在直角中，，此时的倾斜角为，根

据抛物线的对称性可知，的倾斜角为或，所以错误；对于，

点，由抛物线的定义知，，有，

所以到轴距离，C错误；对于，由抛物线定义知，所以，当且仅当，即时取得等号，所以D正确.故选AD.

11.ACD  对于，如图1，在中，因为为的中点，所以，所以与共面，所以A正确；

对于，由，因为到平面的距离为定值2，且的面积为1，所以三棱锥的体积为，所以错误；

对于，如图2，展开平面，使点共面，过作，交与

点，交与点，则此时最小，易求的最小值为，则正确；

对于，如图3，取，连接，则，又所以，所以共面，即过三点的正四棱柱的截面为，由，则是等腰梯形，且，所以平面截正四棱柱所得截面的周长为，所以D正确.故选ACD.

12.ABD  对于，令，代入已知等式得，得，再令，1，代入已知等式得，可得，结合得，故A正确；对于B，再令，代入已知等式得，将代入上式，得函数为奇函数，函数关于点对称，

故B正确.对于，再令代入已知等式，得，又，即得，故C错误；

对于，再分别令和代入已知等式，得以下两个等式，两式相加易得，所以有，从而有为周期函数，且周期为.故D正确.故选ABD.

13.  ，所以从小到大选取第8个数作为第75百分位数，即93.

14.  由二项式展开式的定义易知的系数为.

15.  因为

，

因为，所以，所以，故

16.  由题意得化简得易知函数是单调递增的函数，所以对恒成立，此时，令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，，即的最小值为.

17.（1）证明：由，可得，

，又，

故数列是以3为首项，3为公比的等比数列.

（2）解：由（1）可知，故.

.

令

易知随的增大而增大.

，故满足的最大整数为4.

18.解：（1）由题意得..

所以

故得关于的线性回归方程为.

（2）（i）将代入，得，

所以估计该市政府需要给大学毕业生选择自主创业的人员发放补贴金总额为万元）.

（ii）设小明､小红两人中选择自主创业的人数为，则的所有可能值为.

，

，

.

.

，故的取值范围为.

19.解：（1）存在，当为圆柱的母线，.

连接，因为为圆柱的母线，所以平面，

又因为平面，所以.

因为为圆的直径，所以.

，所以平面，

因为平面，所以.

（2）以为原点，分别为轴，垂直于轴直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示.

，

因为的长为，所以，

设平面的法向量，

令，解得，

所以.

因为轴垂直平面，所以设平面的法向量.

所以.

所以平面与平面夹角的余弦值为.

20.（1）证明：平分，

则，

由余弦定理得，

即，

解得；

，

，

，又.

（2）解：

，

，整理可得；

，

当时，取得最大值，最大值为14.

21.解：（1）依题可得解得

所以椭圆的方程为.

（2）易知直线与的斜率同号，

所以直线不垂直于轴，

故可设，

由可得，，

所以，即，

而，即，

化简可得，

，

化简得，

所以或，

所以直线或，

因为直线不经过点，

所以直线经过定点.

所以直线的方程为，易知，设定点

，

因为，且，

所以，所以，

设，

所以，

当且仅当，即时取等号，即面积的最大值为.

22.证明：（1）由题意可得：，

，

可得曲线在点处的切线为.

令，

，

可得函数在上单调递减，在上单调递增，

曲线上的点都不在直线的上方.

（2）由（1）可得，

解得，曲线在点处的切线为，

，由零点的存在性定理知，

同理可得曲线在点处的切线为，

与的交点的横坐标分别为

则，

.

下面证明：.

，

，且，

.