2023届安徽省合肥市四校高三上学期11月联考数学试题含解析

2023届安徽省合肥市四校高三上学期11月联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】化简集合A，根据集合B中元素的性质求出集合B.

【详解】，，

,

故选：C

2．已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（　　）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】先对复数化简，再求其在复平面对应的点，从而可求得答案.

【详解】因为，

所以复数z在复平面内对应的点是，位于第三象限．

故选：C

3．有四个关于三角函数的命题：

，；、 ，；

；，.

其中真命题的是（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】D

【分析】利用同角公式判断命题，；举例说明判断命题，即可.

【详解】：，错误；

：取，，显然，正确；

：当时，，此时，错误；

：，由，则，正确．

故选：D

4．用二分法求函数的一个零点，其参考如下数据：

由此可得到的方程的一个近似解（精确到）为A．1.55 B．1.56 C．1.57 D．1.58

【答案】B

【分析】根据零点存在定理可判断该方程的近似解.

【详解】因为，，

且精确到为，精确到为，

故方程的近似解为，故选B.

【点睛】本题考查二分法求方程的近似解，属于基础题.

5．三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理（西方称之为“毕达哥拉斯定理”）.如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，若图中角满足，则该勾股圆方图中小正方形的面积与大正方形面积之比为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求得，，不妨取正方形边长为5，求出两个正方形的面积即可.

【详解】如图，因为，，

所以，，不妨取正方形边长为5，

则四个全等的直角三角形的直角边长分别为3和4，

易得，

所以，

故选:C.

6．设，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】化简、、，利用不等式的性质结合正弦函数的单调性可得出这三个数的大小关系.

【详解】因为，

，

，

因为，则，，

且函数在上单调递增，则，即.

故选：B.

7．若正数满足， 则的最小值为（    ）

A．8 B．9 C．10 D．12

【答案】B

【分析】根据题意确定的正负，利用基本不等式求得答案.

【详解】由题意可得正数满足，

当时，则，

当且仅当时取等号，

当时，，不合题意；

故的最小值为9，

故选：B

8．已知是奇函数，且满足，当时，，当时，的最大值为，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】A

【分析】由，再结合是奇函数，通过赋值法，可得，即可求得时的的表达式，求导找到的最大值，利用已知条件，最大值为，即可解得的值.

【详解】因为，

当时，，则，

，当时递增，当时递减，由，得，所以最大值为，所以得

故选：A

【点睛】求函数最值常用方法，先确定函数的单调性，再由单调性求最值；

二、多选题

9．已知若互不相等的实数满足，且，则下列说法正确的是（    ）

A． B．的取值范围为

C． D．

【答案】ABC

【分析】结合分段函数的解析式作出的图像，先利用一元二次函数的对称轴性质易得，再确定，则，最后由图像易得与不一定关于y轴对称可知，不一定成立.

【详解】作出的图像，如图所示．

设，则．

由的图像及一元二次函数的对称轴性质可知，，故C正确；

令，解得，所以，故A正确；

结合上述分析易知的取值范围为，故B正确；

与不一定关于y轴对称，故不一定成立，故D错误．

故选：ABC．

10．已知函数的一条对称轴方程为，相邻的一个对称中心为，则下列说法正确的是（    ）

A．，

B．函数在上单调递减

C．将函数的图象向右平移个单位长度，可得到一个奇函数的图象

D．若方程，有两个不相等的实根，则实数的取值范围是

【答案】BC

【分析】利用正弦型函数的基本性质求出的解析式，可判断A选项的正误；利用正弦型函数的单调性可判断B选项的正误；利用三角函数图象变换可判断C选项的正误；数形结合可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，由题意可知，函数的最小正周期为，则，

则，

，可得，即，

因为，则，A选项正确；

对于B选项，当时，，

所以，函数在区间上单调递减，B选项正确；

对于C选项，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，且函数为奇函数，C选项正确；

对于D选项，当时，，作出函数在区间上的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点，D选项错误.

故选：BC.

11．如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律. 其平面图形记为图乙中的正八边形，其中，则以下结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．在方向上的投影向量为

【答案】ABD

【分析】由已知，根据题意，以为坐标原点建立平面直角坐标系，以所在的直线为x轴和y轴，分别表示出各点坐标，然后逐个选项计算验证即可.

【详解】解：由题意，分别以所在的直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

因为正八边形，

所以，

作，则，

因为，所以，所以，

同理可得其余各点坐标，，

对于A中，，故A正确；

对于B中，，故B正确；

对于C中，，

所以，故C错误；

对于D中，，所以在方向上的投影为，

又因为，所以在方向上的投影，向量为，故D正确．

故选：ABD．

12．定义在上的函数，满足，且，下列说法正确的是（    ）

A．

B．的极大值为

C．有两个零点

D．

【答案】AB

【分析】由和，得，进而根据导数的性质，逐个选项进行判断即可得到答案.

【详解】对于A，由得，，整理得，，为常数，又由，得，所以，，故A正确；

对于B，，则，，则

时，，单调递增，，，单调递减，故的极大值为，故B正确；

对于C，，即函数在上有1个零点，而时，恒成立，即函数在无零点，故在定义域上只有1个零点，故C错误；

对于D， ，则，即，D错误；

故选：AB

三、填空题

13．向量，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则______.

【答案】

【分析】将，平移至同一起点并建立坐标系，应用坐标表示向量，再由向量数量积的坐标运算求.

【详解】将，平移至同一起点且，并构建如下图的直角坐标系，

所以，故.

故答案为：.

14．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式，可以看出我国古代已具有很高的数学水平.设分别为△ABC内角的对边，表示△ABC的面积，其公式为.若，则△ABC面积的最大值为________

【答案】

【分析】先利用正弦定理，求出，然后代入面积公式化简得到，最后利用二次函数的图像和性质即可求解.

【详解】由正弦定理得，得，

因为，的面积，

所以当即时，有面积S有最大值为．

故答案为：.

15．已知函数，，，如图是的部分图象，则______

【答案】

【分析】化简函数为正弦型函数，根据五点法画图，结合图象过点和求出和的值，求出的解析式，进而得出答案.

【详解】．

由题图可知，即，由于点在单调递增的区间内，

所以，解得，根据题意知，

由图象过点，则，解得，

故，则．

故答案为：．

16．设定义在上的函数满足，且，函数有且只有一个零点，则的取值范围为______

【答案】

【分析】根据已知等式，结合导数的运算公式、函数零点的定义，利用导数的性质、转化法进行求解即可.

【详解】，

设函数，即，

所以，

因为，所以，即，即，

于是有，

所以，

当时，单调递减，当时，单调递增，

当时，单调递增，当时，，

当时，，

函数图象如下图所示：

函数有且只有一个零点，即方程有一个实数根，

即函数的图象与直线有一个交点，如上图所示：所以，

因此的取值范围为，

故答案为：

【点睛】关键点睛：根据已知等式结合导数的运算公式构造新函数是解题的关键.

四、解答题

17．已知函数满足．

(1)求的解析式，并求在上的值域；

(2)若对且，都有成立，求实数k的取值范围．

【答案】(1)，在上的值域为；

(2).

【分析】（1）由条件可得，与联立即可解出，结合函数的单调性即可求出在上的值域；

（2）不妨设，由可知函数在上为增函数，由在上恒成立，结合参变量分离法可求得实数的取值范围．

【详解】（1）函数的定义域为，

因为①，

所以②，

联立①②解得

，

当时，，为增函数；

当时，，为减函数，

因为，

所以，即在上的值域为．

（2）对且，都有成立，

不妨设，可得函数在区间上单调递增，

则对任意的恒成立，即，

当时，，故，解得．

因此，实数的取值范围是．

18．已知幂函数在上单调递增，函数．

(1)当时，记的值域分别为集合A，B，设，若p是q成立的必要条件，求实数的取值范围．

(2)设，且在上单调递增，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用幂函数定义及单调性求出m并求出集合A，再利用单调性求出集合B，借助集合的包含关系求解作答.

（2）求出函数，分段讨论并结合二次函数的性质，列出不等式求解作答.

【详解】（1）因是幂函数，又函数在上单调递增，

则有，解得，有，当时，，即，

函数是R上的增函数，当时，，即，

因，p是q成立的必要条件，则，显然，则，解得，

所以实数k的取值范围是.

（2）由（1）知，，二次函数的图象开口向上，对称轴为，

函数在上单调递减，在上单调递增，因在上单调递增，

则有或，解得：或，

所以实数k的取值范围是.

19．设内角的对边分别为，已知.

(1)求角的大小；

(2)若，且___________，求的周长.

请在下列三个条件中，选择其中的一个条件补充到上面的横线中，并完成作答.

①的面积为；②；③.

注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一解答计分.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；

（2）若选①，②，③均可得，进而由余弦定理可得的值，可求周长．

【详解】（1）解：因为，

由正弦定理可得，

所以，

在中，，

所以，因为，

所以；

（2）解：若选①，因为的面积为，

所以，

所以.

若选②，因为，

所以，

所以.

若选③，由正弦定理，

所以，，

因为.

所以，

由余弦定理得：，

即，

所以，则或（舍去），

所以的周长为.

20．如图，函数的图象与轴交于点，且在该点处切线的斜率为.

(1)求和的值；

(2)已知，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）结合导数以及求得的值.

（2）求得点的坐标并代入解析式，从而求得.

【详解】（1），

由于，所以.

.

所以.

（2）因为点，是的中点，，

所以点的坐标为．

又因为点在的图象上，

所以．

因为，所以，

从而得或．

即或．

21．已知，.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若在区间上的最小值是，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）当时，，即可求出切点坐标，求导后可得斜率，利用点斜式求出切线方程；

（2）求导可知，讨论a的取值范围，利用导函数可得出在区间的单调性，根据最小值是，求出a的值.

【详解】（1）当时，，，

所求切线的斜率为，切点为，

所求切线的方程为，即．

（2）假设存在实数a，使有最小值3，

①当时，在上单调递减，故，解得（舍去），

所以此时不存在符合题意的实数a；

②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，

故，解得，满足条件；

③当，即时，在上单调递减，

故，解得（舍去），

所以此时不存在符合题意的实数a．

综上，存在实数，在区间上的最小值是．

22．已知函数.

(1)若，求在上的最大值与最小值之差；

(2)是否存在实数，对，恒成立，若存在求出的可取值，不存在请说明理由.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据导数的性质，结合函数单调性的性质进行求解即可；

（2）对函数不等式进行常变量分离，构造新函数，结合导数的性质、函数零点存在原理进行求解即可.

【详解】（1）由题意得，

则，由于都是递增函数，

故是递减函数，

则，

故为递减函数，

则，

故；

（2）由，

可得，设，

令，故单调递增，

又，故存在，使得，

当时，单调递减，

当时，单调递增，

故，由于，则，故，所以．

【点睛】关键点睛：利用常变量分离法，结合构造函数法是解题的关键.