2023届四川省隆昌市第七中学高三上学期10月考试数学(文)试题含解析
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这是一份2023届四川省隆昌市第七中学高三上学期10月考试数学(文)试题含解析,共16页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2023届四川省隆昌市第七中学高三上学期10月考试数学(文)试题 一、单选题1.已知集合,若,则B可能是( )A. B. C. D.【答案】A【分析】由题得,判断选项得解.【详解】因为,所以,四个选项中只有是集合A的子集.故选:A.2.已知命题,,则命题的否定是A., B.,C., D.,【答案】C【分析】根据特称命题的否定,改变量词,否定结论,可得出命题的否定.【详解】命题为特称命题,其否定为,.故选:C.【点睛】本题考查特称命题的否定的改写,要注意量词和结论的变化,属于基础题.3.若复数满足,则的虚部为( )A. B. C. D.4【答案】C【分析】直接对化简,求出,从而可求出的虚部【详解】解:由,得,∴的虚部为.故选:C.4.已知函数,则( )A.4 B. C.-4 D.-【答案】B【详解】本试题主要是考查了分段函数的求值问题.因为函数,则,故选B.解决该试题的关键是从内向外依次代入对应的关系式求解函数值即可. 5.“”是“”的( )A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据两个条件之间的推出关系可得两者之间的条件关系.【详解】由可以得出,所以充分条件成立.由可解得或,不能得到 ,所以是的充分不必要条件.故选:B.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断,此类问题一般可根据两者之间的推出关系来判断,也可以根据两者对应的集合的包含关系来判断,本题属于基础题.6.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )A., B., C., D.,【答案】A【分析】根据基本初等函数的单调性和奇偶性逐项分析判断.【详解】对A:为奇函数,且在定义域内单调递减,A正确;对B:为奇函数,且在定义域内不单调,B错误;对C:为奇函数,且在定义域内单调递增,C错误;对D:为非奇非偶函数,且在定义域内单调递减,D错误;故选:A.7.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已知甲组数据的中位数为106,乙组数据的平均数为,则x,y的值分别为( )A.5,7 B.6,8 C.6,9 D.8,8【答案】B【解析】根据茎叶图中的数据,结合中位数与平均数的概念,即可求出、的值.【详解】∵甲组数据的中位数为106∴又∵乙组数据的平均数为∴解得综上,x,y的值分别为6,8故选:B8.设向量,,且,则向量与的夹角为A. B. C. D.【答案】D【详解】向量,,且,则, ,, ,设向量与的夹角为,则 ,,选D.9.定义符号函数sgnx,则函数f(x)=x2sgnx的图象大致是( )A. B. C. D.【答案】B【分析】根据新定义可得函数f(x)=x2sgnx=,根据函数的单调即可判断【详解】函数f(x)=x2sgnx=,由二次函数的图象性质可知:B正确.故选B.【点睛】本题考查了新定义和函数图象的识别,属于基础题.10.若过点可以作曲线的两条切线,则( )A. B.C. D.【答案】D【分析】解法一:根据导数几何意义求得切线方程,再构造函数,利用导数研究函数图象,结合图形确定结果;解法二:画出曲线的图象,根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线上任取一点,对函数求导得,所以,曲线在点处的切线方程为,即,由题意可知,点在直线上,可得,令,则.当时,,此时函数单调递增,当时,,此时函数单调递减,所以,,由题意可知,直线与曲线的图象有两个交点,则,当时,,当时,,作出函数的图象如下图所示:由图可知,当时,直线与曲线的图象有两个交点.故选:D.解法二:画出函数曲线的图象如图所示,根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.故选:D.【点睛】解法一是严格的证明求解方法,其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计,解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上,直观解决问题的有效方法. 11.已知正项等比数列的公比为,若,则的最小值等于A. B. C. D.【答案】C【详解】∵正项等比数列的公比为3,且∴∴∴,当且仅当时取等号.故选C.点睛:利用基本不等式解题的注意点:(1)首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件,即“一正、二正、三相等”,且这三个条件必须同时成立.(2)若不直接满足基本不等式的条件,需要通过配凑、进行恒等变形,构造成满足条件的形式,常用的方法有:“1”的代换作用,对不等式进行分拆、组合、添加系数等.(3)多次使用基本不等式求最值时,要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号.12.最近公布的2021年网络新词,我们非常熟悉的有“”、“内卷”、“躺平”等.定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”.若函数,的“躺平点”分别为,,则,的大小关系为( )A. B. C. D.【答案】D【分析】根据题意分析可得,分别为,的零点,利用导数判断原函数单调性,结合零点存在性定理分析判断.【详解】∵,则,由题意可得:,令,则为的零点,可知在定义域内单调递增,且,∴;又∵,则,由题意可得:,令,则为的零点,,令,则或,∴在,内单调递增,在内单调递减,当时,,则在内无零点,当时,,则,综上所述:;故.故选:D.【点睛】思路点睛:对于函数零点的个数的相关问题,利用导数和数形结合的数学思想来求解.这类问题求解的通法是:(1)构造函数,这是解决此类题的关键点和难点,并求其定义域;(2)求导数,得单调区间和极值点;(3)画出函数草图;(4)数形结合,挖掘隐含条件,确定函数图象与x轴的交点情况进而求解. 二、填空题13.______.【答案】【分析】利用诱导公式即可求得答案.【详解】解:.故答案为:.【点睛】本题考查余弦函数的诱导公式,属于基础题.14.已知为等差数列,其前n项和,若,,,则______【答案】【分析】根据,,求得公差,再代入等差数列的前项和公式.【详解】∵,,∴,∵,解得:.故答案为:.【点睛】本题考查等差数列的通项公式,前项和公式,考查运算求解能力,属于基础题.15.设变量x,y满足约束条件,则的最小值为______.【答案】-1【分析】作出约束条件表示的平面区域,再利用目标函数的几何意义计算作答.【详解】作出约束条件表示的平面区域,如图中阴影(含边界),,,,目标函数,即表示斜率为,纵截距为的平行直线系,画直线,平移直线到,当直线过点A时,直线的纵截距最小,z最小,,所以的最小值为-1.故答案为:-116.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点,则的取值范围为_____.【答案】【解析】两函数图象上存在关于轴对称的点的等价命题是方程在区间上有解,化简方程在区间上有解,构造函数,求导,求出单调区间,利用函数性质得解.【详解】解:根据题意,若函数与的图象上存在关于轴对称的点,则方程在区间上有解,即方程在区间上有解,设函数,其导数,又由,可得:当时, 为减函数,当时, 为增函数,故函数有最小值,又由;比较可得: ,故函数有最大值,故函数在区间上的值域为;若方程在区间上有解,必有,则有,即的取值范围是;故答案为:;【点睛】本题利用导数研究函数在某区间上最值求参数的问题, 函数零点问题的拓展. 由于函数的零点就是方程的根,在研究方程的有关问题时,可以将方程问题转化为函数问题解决. 此类问题的切入点是借助函数的零点,结合函数的图象,采用数形结合思想加以解决. 三、解答题17.已知等差数列的前项的和为.(1)求的通项公式;(2)求数列的前项和.并证明.【答案】(1).(2),证明见解析. 【分析】(1)利用基本量法以及等差数列的性质求解.(2) 利用裂项相消法以及不等式的性质求解证明.【详解】(1)设的公差为d,由题意得:,解得,所以.(2)令,由(1)有:,所以,,,,.18.已知函数.(1)求函数的最小正周期和单调递增区间;(2)在锐角三角形中,角,,所对的边分别为,,,若,,,求的面积.【答案】(1)最小正周期,,;(2).【分析】(1)根据降幂公式、辅助角公式化简函数的解析式,再利用正弦型函数的最小正周期公式、单调性进行求解即可;(2)根据特殊角的三角函数值,结合三角形面积公式进行求解即可.【详解】(1),所以的最小正周期.令,,解得,,所以的单调递增区间为,.(2)因为,所以,即,又,所以,所以或,或,当时,,不符合题意,舍去;当时,,符合题意,所以,,,,此时为等腰三角形,所以,所以,即的面积为.19.焦虑症是一种常见的神经症,多发于中青年群体,某机构为调查焦虑症与年龄之间的关联,随机抽取10人进行焦虑值(满分100分)的测试,根据调查得到如下数据表:人员年龄(岁)26342524202019191817焦虑值(分)80898978757165625550 (1)我们约定:焦虑值关于年龄的线性相关系数的绝对值在0.75(含0.75)以上为线性相关性较强,否则视为线性相关性较弱,如果没有较强的线性相关性,那么不考虑用线性回归进行拟合.试根据调查数据判断能否用线性回归对焦虑值与年龄的相关关系进行拟合.若能,请求出焦虑值关于年龄的线性回归方程;若不能,请说明理由;(2)现从所调查的焦虑值小于等于75的6人中随机抽取2人,求这两人中至少有一个人是20岁的概率.参考数据:,,,,.对于一组数据,,,其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,.线性相关系数.【答案】(1)能用线性回归对焦虑值与年龄的相关关系进行拟合,(2) 【分析】(1)利用题目所给公式计算线性相关系数和回归方程即可;(2)根据古典概型的概率公式计算即可.【详解】(1)由题意可得焦虑值关于年龄的线性相关系数的绝对值,故线性相关性较强,设焦虑值关于年龄的线性回归方程为,所以,,所以焦虑值关于年龄的线性回归方程为.(2)由表格可得焦虑值小于等于75的6人中,有2个人是20岁,所以从所调查的焦虑值小于等于75的6人中随机抽取2人,至少有一个人是20岁的概率(抽取的两个人全不为20岁).20.已知,且的解集为.(1)当,求函数的解析式; (2)若关于的不等式对一切实数恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】(1)由的解集为可知且.则 .(2) 的解集为R.当时,满足题意; 当时,由.综上,.21.已知函数.(1)当时,求函数的极值;(2)若有两个极值点,证明:.【答案】(1)函数的极大值为,极小值为(2)证明见详解 【分析】(1)求导,利用导数判断的单调性,进而求极值;(2)求导,根据题意分析可得在内有两个零点,根据二次函数零点分布求得,再利用韦达定理整理可得,构建新函数,结合导数证明.【详解】(1)若,则,,令,则或,∴函数在,上单调递增,在上单调递减,故函数的极大值为,极小值为.(2)由题意可得:,若有两个极值点,则在内有两个零点,且,∴,解得,又∵,则,∴,令,则当时恒成立,∴在上单调递增,则,故.【点睛】思路点睛:利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形;(2)构造新的函数h(x);(3)利用导数研究h(x)的单调性或最值;(4)根据单调性及最值,得到所证不等式.特别地:当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时,一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题.22.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为.(1)求C的普通方程和l的倾斜角;(2)设点,l和C交于A,B两点,求.【答案】(1) .. (2) .【分析】(1)直接利用参数方程和极坐标方程公式得到普通方程,再计算倾斜角.(2)判断点在直线l上,建立直线参数方程,代入椭圆方程,利用韦达定理得到答案.【详解】(1)消去参数α得,即C的普通方程为.由,得,(*)将,代入(*),化简得,所以直线l的倾斜角为.(2)由(1),知点在直线l上,可设直线l的参数方程为(t为参数),即(t为参数),代入并化简,得,,设A,B两点对应的参数分别为,,则,,所以,,所以.【点睛】本题考查了参数方程,极坐标方程,倾斜角,利用直线的参数方程可以简化运算.23.已知函数,.(1)当时,解不等式;(2)当时,恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【分析】(1)根据零点分段求解不等式;(2)根据,转化为恒成立,即可得解.【详解】(1)当时,不等式,等价于;当时,不等式化为,即,解集为;当时,不等式化为,解得;当时,不等式化为,即,解得;综上,不等式的解集为.(2)当时,,等价于,若,则,∴;若,则,∴.综上,实数的取值范围为.
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