2023届山西省运城市稷山中学高三上学期月考（重组五）数学试题含解析

2023届山西省运城市稷山中学高三上学期月考（重组五）数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】化简集合A，根据交集运算即可求解.

【详解】由题意可得，，

则，

故选：C

2．已知是虚数单位，，则（    ）

A．10 B． C．5 D．

【答案】C

【分析】由已知条件，结合复数的运算可得，由模长公式可得答案．

【详解】；

；

故选：C

【点睛】本题考查复数的模的求解，涉及复数的代数形式的乘除运算，属于基础题．

3．如图，为等腰三角形，，设，，边上的高为.若用表示，则表达式为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据角度和长度关系可求得，利用可得结果.

【详解】，，，；

.

故选：D.

4．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为2尺8寸，盆底直径为l尺2寸，盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸，则平均降雨量是（注：①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②1尺等于10寸）

A．3寸 B．4寸 C．5寸 D．6寸

【答案】A

【解析】作出圆台的轴截面，根据已知条件，利用圆台体积公式可求得盆中积水体积，再求出盆口面积，根据平均降水量的定义可求得结果.

【详解】作出圆台的轴截面如图所示：

由题意知，寸，寸，寸，寸

即是的中点    为梯形的中位线    寸

即积水的上底面半径为寸

盆中积水的体积为（立方寸）

又盆口的面积为（平方寸）

平均降雨量是寸，即平均降雨量是寸

本题正确选项：

【点睛】本题考查圆台体积的有关计算，关键是能够根据轴截面得到所求圆台的上下底面半径和高，考查基础公式的应用.

5．函数的零点所在的大致区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据零点存在性定理即可计算求解.

【详解】在连续不断，且单调递减，

，

所以零点位于，

故选：C

6．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将问题转化为在上恒成立，由此可得，根据二次函数最值的求法可求得结果.

【详解】在上单调递减，在上恒成立，

即在上恒成立，

又，，实数的取值范围为.

故选：C.

【点睛】思路点睛：本题考查根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，本题解题的基本思路是将问题转化为恒成立的问题，进而采用参变分离的方法将问题转化为二次函数最值的求解问题.

二、多选题

7．已知函数，函数，则下列命题正确的是（    ）

A．是偶函数 B．是奇函数

C．是偶函数 D．是偶函数

【答案】ABD

【分析】先根据函数的奇偶性定义判断出，均为奇函数，再根据函数的奇偶性定义判断四个选项中函数的奇偶性.

【详解】因为的定义域为R，且，

故为奇函数，

由，解得：，故的定义域为，关于原点对称，

且，所以为奇函数，

因为的定义域为，且，

所以为偶函数，A正确；

因为的定义域为，且，

故为奇函数，B正确，C错误，

的定义域为，且，

故为偶函数，D正确.

故选：ABD

8．如图，在棱长为2的正方体中，，，分别为，，的中点，则（    ）．

A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行

C．直线和夹角的余弦值为 D．点到平面的距离为

【答案】BCD

【分析】由与不垂直，所以直线与直线不垂直，可判定A不正确；取的中点，分别连接，根据面面平行的判定定理，得到平面平面，进而判定B正确；连接，把直线和所成的角即为直线和所成的角，在等边中，可判定C正确；根据等体积法，可判定D正确.

【详解】在棱长为2的正方体中，可得，

又由与不垂直，所以直线与直线不垂直，所以A不正确；

取的中点，分别连接，

可得，进而可得平面，平面，

根据面面平行的判定定理，可得平面平面，

又由平面，所以平面，所以B正确；

连接，可得，所以直线和所成的角即为直线和所成的角，

即，在等边中，可得，

即直线和所成的角的余弦值为，所以C正确；

设点到平面的距离为，

由，

在直角中，，

在直角中，，

在中，，

又在中，由余弦定理可得，

则，

所以的面积为，

因为，可得，可得，

即点到平面的距离为，所以D正确.

故选：BCD

三、填空题

9．的解集为________.

【答案】

【分析】利用指数函数单调性可解得结果.

【详解】由得：，解得：，即的解集为.

故答案为：.

10．函数的图象必经过定点________.

【答案】

【分析】由恒成立可直接得到定点坐标.

【详解】恒成立，的图象必过定点.

故答案为：.

11．曲线在点处的切线方程为________．（用一般式表示）

【答案】

【分析】利用导数的几何意义即得.

【详解】由，得，

所以切线的斜率为，

所以所求的切线方程为，即.

故答案为：.

12．已知，则______．

【答案】

【分析】对两边同时平方化简可求出，代入即可得出答案.

【详解】对两边同时平方可得：，

，

所以，

解得：，

所以.

故答案为：

四、解答题

13．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，an＋1＝2Sn＋2.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若2bn＝3nan，求数列{bn}的前n项和Tn.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由的关系可得，求出，再由的关系，得到，进而根据等比定义求得{an}的通项公式；

（2），由错位相减法可求得{bn}的前n项和Tn．

【详解】（1）,

为首项是3，公比为3的等比数列，，

当时，，

当时，，符合上式，

（2）

，

，

，

.

14．在中，已知分别为角的对边．若向量，向量，且．

（1）求的值；

（2）若成等比数列，求的值．

【答案】（1）（2）

【分析】（1）先由向量数量积得，再由正弦定理将边化角，得，即得．

（2）由等比数列性质得，再由正弦定理将边化角，得．利用同角三角函数关系、两角和正弦公式化得.

【详解】解：（1）因为，所以．

由正弦定理，得，

所以，所以．

因为，所以，所以．

（2）因为成等比数列，所以．

由正弦定理，得．

因为，，所以．

又

.

故.

15．如图所示，四棱锥P－ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F分别为线段AD，PC的中点.

(1)求证：AP∥平面BEF；

(2)求证：BE⊥平面PAC.

【答案】 (1) 证明见解析

(2) 证明见解析

【分析】（1）连接CE，OF，易知四边形ABCE是菱形，可得O是AC的中点，利用中位线的概念，可得PA∥OF，从而可证AP∥平面BEF；

（2）通过证明AP⊥BE、BE⊥AC，可证明BE⊥平面PAC

【详解】证明：　(1)如图所示，设AC∩BE＝O，连接OF，EC.

由于E为AD的中点，AB＝BC＝AD，AD∥BC，

所以AE∥BC，且AE＝AB＝BC，因此，四边形ABCE为菱形，

所以O为AC的中点.又F为PC的中点，

所以在△PAC中，可得AP∥OF.

又OF平面BEF，AP平面BEF，

所以AP∥平面BEF.

(2)由题意，知ED∥BC，ED＝BC，

所以四边形BCDE为平行四边形，所以BE∥CD.

又AP⊥平面PCD，所以AP⊥CD，所以AP⊥BE.

因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC.

又AP∩AC＝A，AP，AC平面PAC，

所以BE⊥平面PAC

【点睛】本题考查了线面平行、垂直的判定，考查了线面垂直的性质， 在证明线面垂直问题时，注意线线垂直与线面垂直的互化.

16．已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．

【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.

【详解】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式中即可；（Ⅱ）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调性求函数的最大值为，从而可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，再根据单调性求最值.

试题解析：（Ⅰ）因为，所以.

又因为，所以曲线在点处的切线方程为.

（Ⅱ）设，则.

当时，，

所以在区间上单调递减.

所以对任意有，即.

所以函数在区间上单调递减.

因此在区间上的最大值为，最小值为.

【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是()恒成立，这样就能知道函数的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断的单调性，最后求得结果.