2023届河南省三门峡市高三上学期11月月考数学（文）试题含解析

2023届河南省三门峡市高三上学期11月月考数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A．{5，7，9} B．{1，3，9，10}

C．{5，7} D．{1，3，5，7，8，9，10}

【答案】C

【分析】根据交集的定义计算可得；

【详解】解：因为，，所以；

故选：C

2．“”是“函数与x轴只有一个交点”的（    ）

A．充要条件 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据函数与x轴的交点转换为方程得实根，从而可分类得的值，故可判断两个条件之间的关系.

【详解】解：若函数与x轴只有一个交点，即方程只有一个实根

则或，所以或，

因此“”是“函数与x轴只有一个交点”的充分不必要条件.

故选：B.

3．已知为钝角，且 则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用诱导公式及同角三角函数的基本关系计算可得；

【详解】解：因为且为钝角，所以；

故选：D

4．已知正项等比数列首项为1，且成等差数列，则前6项和为（    ）

A．31 B． C． D．63

【答案】C

【分析】利用等差数列的通项公式及等比数列的前项和公式即可求解.

【详解】∵成等差数列，

∴，

∴，即，解得 或 ，

又∵，∴，

∴，

故选：C.

5．若函数则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】根据分段函数的定义域，先求得 ,再求 的值，可得答案.

【详解】 ,

故，

故选：C

6．已知向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由与的夹角为钝角得，且不共线，再按照向量的坐标运算求解即可.

【详解】因为向量，，且与夹角为钝角，

由上述条件得，，且，不反向，

由得，，.

当，共线时有，，.此时，反向，

因此实数的取值范围.

故选:D.

7．在中，若，，，则（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】D

【分析】运用同角平方关系可求，然后利用正弦定理，计算即可得到．

【详解】解：，，，

，

由正弦定理可得，，

．

故选：D．

8．若，，，则、、的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.

【详解】，，，

因此，.

故选：A.

9．函数y=sin2x的图象可能是

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.

详解：令，

因为，所以为奇函数，排除选项A,B;

因为时，，所以排除选项C，选D.

点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．

10．中，点为上的点，且，若 ，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】选定基向量，根据向量的加减法，用基底表示出向量，结合条件即可求得，可得答案.

【详解】由题意可得

,

又，故，

故，

故选:B

11．关于函数，有下列命题：

①由可得必是的整数倍；

②的表达式可改写为；

③的图象关于点对称；

④的图象与图象连续三个交点构成的三角形的面积为.

其中所有正确的命题的序号为（    ）

A．②③ B．①③④ C．③④ D．②③④

【答案】D

【分析】先求出函数的最小正周期，可知①错；利用诱导公式化简②，即可判断正误；将代入函数中，求出函数值，即可判断③是否正确；解出三个连续的交点坐标，求出三角形面积，即可判断④是否正确.

【详解】①函数的最小正周期为，

函数值等于的之差最小值为，

 必是的整数倍， ①错误.

②，

②正确.

③，

的图象关于点对称，③正确.

④的图象与图象连续三个交点为，，，所构成三角形面积为④正确.

故选：D.

12．已知函数，若在上是单调减函数，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求出函数的导函数，根据题意对恒成立，转化为关于的不等式组求解.

【详解】解：由，得，

函数在上为单调减函数，

对恒成立，

即对恒成立，

，解得，

的取值范围是.

故选：A.

二、填空题

13．已知向量，，且，则______．

【答案】3

【分析】根据向量垂直关系得到方程，求出.

【详解】由题意得：，解得：.

故答案为：3

14．若“”是“”的必要条件，则的取值范围是________．

【答案】

【分析】根据题意解得：，得出，由此可得出实数的取值范围.

【详解】根据题意解得：，

由于“”是“”的必要条件，则，.

因此，实数的取值范围是：.

故答案为：.

15．定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的和构成一个等比数列，则称该数列为“和等比”数列。已知“和等比数列的前三项分别为，，则数列的前11项和________．

【答案】1365

【分析】根据给定条件，求出这个等比数列的公比、通项，再利用并项求和法计算作答.

【详解】依题意，，，因此等比数列的首项是2，公比为2，有，

所以

.

故答案为：1365

16．设函数，若函数有三个零点，，，则等于                 .

【答案】

【详解】试题分析：由图可得关于的方程的解有两个或三个（ 时有三个，时有两个），所以关于 的方程只能有一个根 （若有两个根，则关于的方程 有四个或五个根），由，可得 ，， 的值分别为， ，故答案为.

【解析】1、分段函数的图象和解析式；2、函数零点与方程根之间的关系及数形结合思想的应用.

【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象和解析式；2、函数零点与方程根之间的关系及数形结合思想的应用,属于难题.判断方程零点个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数 零点个数就是方程根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为 的交点个数的图象的交点个数问题.本题判定方程的根的个数是就利用了方法③.

三、解答题

17．已知函数．

(1)求函数的最大值；

(2)把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数的单调递减区间

【答案】(1)4；

(2)，.

【分析】（1）根据降幂公式，结合余弦函数的最值性质进行求解即可；

（2）根据余弦型函数图象的变换性质，结合余弦型函数的单调性进行求解即可.

【详解】（1）

∴当时取得最大值4；

（2）因为把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，

所以，

令，可得函数的单调递减区间为，．

18．设是等比数列，其前项的和为，且，.

（1）求的通项公式；

（2）若，求的最小值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由题意易得，根据等比数列的定义，可求出的公比为，由此即可求出的通项公式；

（2）由（1）可求，进而求出的表达式，再根据，列出关于不等式，解不等式，即可求出结果.

【详解】（1）设的公比为q，因为，所以，所以，

又，所以，所以.

（2）因为，所以，

由，得，即，解得，

所以n的最小值为6.

【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和的求法和应用，属于基础题.

19．已知函数(，且)是指数函数.

(1)求k，b的值；

(2)求解不等式.

【答案】(1)，

(2)答案见解析

【分析】（1）根据指数函数的定义列出方程，即可得解；

（2）分和两种情况讨论，结合指数函数的单调性即可得解.

【详解】（1）解：因为(，且)是指数函数，

所以，，

所以，；

（2）解：由（1）得(，且)，

①当时，在R上单调递增，

则由，

可得，解得；

②当时，在R上单调递减，

则由，

可得，解得，

综上可知，当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为.

20．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，的面积．

(1)求C；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据正弦定理，进行边化角，化简即可求出的值，进而得到角；

（2）先根据三角形面积公式，得出，再由余弦定理可得，即，从而得到，根据正弦定理即可求出.

【详解】（1）因为，由正弦定理得：，

即，即，

因为，所以，即，

由得：.

（2）由得：，即，即，

由余弦定理可得：，

故，则，

令，则，解得，

由正弦定理得：，故的值为或．

21．已知等差数列的公差为-1，且.

（1）求数列的通项公式与前n项和；

（2）若将数列的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列的前3项，记的前n项和为.若对任意m，n∈，都有恒成立，求实数λ的取值范围.

【答案】（1），（2）

【分析】（1）先利用以及等差数列的性质，求出，再把公差代入即可求出首项，写出通项公式和前n项和；（2）由已知求出等比数列的首项和公比，代入求和公式得，并利用函数的单调性求出其范围；再利用（1）的结论以及恒成立，即可求实数λ的取值范围．

【详解】（1）由得，

所以，

所以，

解得，

，

从而.

（2）由题意知，

设等比数列的公比为，则，

，

随m递减，

为递增数列，得，

又，

故，

若存在m∈，使对任意n∈总有，

则，

解得.

【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，通项公式，等比数列的定义，前n项和，函数的单调性，最值，属于难题．

22．已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若，关于x的方程有唯一解，求a的值．

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）．

【分析】（1）求导函数，分类讨论确定的正负，得单调区间；

（2）设，求出导函数，由在上解得，得的极小值，按分类讨论确定零点个数得结论．

【详解】解：（1）由题意，可得且

①若，恒成立，则在上是增函数

②，则

所以当时，，当时，

则在上是减函数，在上是增函数

综上所述，若，在上是增函数

若，在上是减函数，在上是增函数

（2）由题意，可得

令，

方程有唯一解，即有唯一零点；

，

令，得．

因为，，所以（舍去），．

当时，，在是减函数；

当时，，在上是增函数．

当时，，．

若，则恒成立，不存在零点（舍）

若

则，即，可得

设，因为在时，是减函数，所以至多有一解．

又因为，所以，从而解得．

若，则，可得

因为，

所以在存在一个零点；

设，，则，即在上单调递减，则，即，.

因为，

所以

所以在存在一个零点；

因此存在两个零点（舍）．

综上所述，．

【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间，考查用导数研究方程根的个数问题，解题方法把方程根的个数转化为函数零点个数，通过研究函数的单调性，极值确定零点个数．