第12讲 圆中的角度计算专题-【专题突破】2022-2023学年九年级数学上学期重难点及章节分类精品讲义(浙教版)（原卷版+解析）

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第12讲 圆中的角度计算专题
【知识点睛】
v 圆中线段计算口诀——圆中求角度，同弧或等弧＋直径所对圆周角是90度
圆心角定理、圆周角定理以及其推论为圆中角的计算提供了等量关系，圆中的等角也是解决角度问题中常见的转化关系，所以特别要注意同弧或等弧所对的圆周角相等，以及直径所对圆周角=90°的固定关系
v 圆中模型“知1得4”
由图可得以下5点：
①AB=CD；②；③OM=ON；④；⑤；
以上5个结论，知道其中任意1个，剩余的4个都可以作为结论使用。
v 圆中的特殊角：
当圆周角=30°时，圆心角=60°→等边三角形
当圆周角=45°时，圆心角=90°→等腰直角三角形
当圆周角=60°时，圆心角=120°→三边比为1:1：的等腰三角形
当圆周角=90°时，→弧为半圆
v 圆中常见其他结论：
圆内接四边形的一个外角=其内对角
折叠弧过圆心→必有30°角
以等腰三角形的腰长为直径的圆→必过底边中点
圆中出现互相垂直的弦，常作两弦心距→必有矩形（当弦相等，则得正方形）
【类题训练】
1．如图，等腰△ABC的顶角∠CAB为50°，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则的度数为（　　）

A．25° B．35° C．50° D．65°
【分析】根据等腰三角形的性质，平行线的性质以及圆的性质进行计算即可．
【解答】解：设圆心为O，连接OE、OD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴OD∥AC，
∴∠DOE＝∠OEA，
∵OA＝OE，
∴∠BAC＝∠OEA，
∴∠DOE＝∠BAC＝50°，
即弧DE的度数为50°，
故选：C．

2．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且＝3，则弦AC与弦BC的关系是（　　）

A．AC＝3BC B．AC＝BC C．AC＝（+1）BC D．AC＝BC
【分析】如图，过点O作OD⊥AB，交AC于D，连接BD，OC，证明△CDB是等腰直角三角形，且AD＝BD，设CD＝CB＝x，则AD＝BD＝x，计算AC和BC的比可得结论．
【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB，交AC于D，连接BD，OC，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵＝3，
∴∠AOC＝135°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO＝22.5°，
∵OD是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝22.5°，
∴∠CDB＝∠CBD＝45°，
设CD＝CB＝x，则AD＝BD＝x，
∴＝＝，
∴AC＝（+1）BC．
故选：C．
3．如图，AB是半圆O的直径，以弦AC为折痕折叠后，恰好经过点O，则∠AOC等于（　　）

A．120° B．125° C．130° D．145°
【分析】根据翻折变换得出AC垂直平分OQ，AQ＝AO，求出△AQO是等边三角形，求出∠AOQ＝60°，再根据等腰三角形的性质得出∠COQ＝∠AOQ，再求出答案即可．
【解答】解：O关于直线AC的对称点是Q，连接OQ，交AC于M，

则AC垂直平分OQ，
即AQ＝AO，OM⊥AC，
∵OQ＝OA，
∴OQ＝AQ＝OA，
∴△AQO是等边三角形，
∴∠AOQ＝60°，
∵OQ⊥AC，OA＝OC，
∴∠COQ＝∠AOQ＝60°，
∴∠AOC＝60°+60°＝120°，
故选：A．
4．如图，将一个含45°角的直角三角形和一个量角器放置，其中点D所在位置在量角器外侧的读数为60°，∠ACB＝90°，连接DC交AB于点E，则图中∠BEC的度数是（　　）

A．75° B．65° C．55° D．45°
【分析】根据题意可知C在以AB为直径的圆上，根据圆心角和圆周角的关系求出∠ACD，再利用三角形的外角的性质就可以求出答案．
【解答】解：根据题意可知C在以AB为直径的圆上，设圆心为O，连接OD，则∠AOD＝60°，

∴∠ACD＝＝30°，
∴∠BEC＝∠ACE+∠CAE＝30°+45°＝75°．
故选：A．
5．如图，半圆的半径为6，将三角板的30°角顶点放在半圆上，这个角的两边分别与半圆相交于点A，B，则AB的长度为（　　）

A．3 B．12 C．2 D．6
【分析】连接OA，OB，根据圆周角定理得出∠AOB＝2∠ACB，根据等边三角形的判定得出△AOB是等边三角形，再根据等边三角形的性质得出AB＝OA即可．
【解答】解：连接OA，OB，

由圆周角定理得：∠AOB＝2∠ACB，
∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB，
∵⊙O的半径为6，
∴AB＝OA＝6，
故选：D．
6．如图，CD是⊙O的直径，⊙O上的两点A，B分别在直径CD的两侧，且∠ABC＝78°，则∠AOD的度数为（　　）

A．12° B．22° C．24° D．44°
【分析】利用圆周角定理求出∠AOC＝156°，可得结论．
【解答】解：∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝78°，
∴∠AOC＝156°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝24°，
故选：C．
7．如图，△ABC的两顶点A，B在⊙O上，点C在圆外，∠C＝46°，边AC交⊙O于点D，DE∥BC经过圆心交⊙O于点E，则的度数为（　　）

A．44° B．80° C．88° D．92°
【分析】根据平行线的性质得到∠ADE＝46°，进而得到的度数，再用180°减去的度数即可得到答案．
【解答】解：∵DE||BC，
∴∠C＝∠ADE＝46°，
∴的度数是92°，
∴的度数为180°﹣92°＝88°．
故选：C．
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为劣弧BD的中点，若∠DAB＝40°，则∠ABC的度数是（　　）

A．140° B．40° C．70° D．50°
【分析】连接AC，根据圆周角定理得到∠CAB＝20°，∠ACB＝90°，根据直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：连接AC，
∵点C为劣弧BD的中点，∠DAB＝40°，
∴∠CAB＝∠DAB＝20°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°，
故选：C．

9．如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，点D在弧BC上，AC，BD的延长线交于点E，则∠AEB﹣∠BCD等于（　　）

A．30° B．45° C．55° D．60°
【分析】AB是⊙O的直径的直径，则∠ADB＝∠ADE＝90°，证得∠AEB+∠EAD＝90°，已知C是弧AB的中点，则∠EAD+∠BAD＝45°，根据圆周角定理可知∠BCD＝∠BAD，故∠EAD+∠BCD＝45°，根据∠AEB+∠EAD﹣（∠EAD+∠BCD）＝90°﹣45°＝45°即可求得结论．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径的直径，
∴∠ADB＝∠ADE＝∠ACB＝90°，
∴∠AEB+∠EAD＝90°，
∵C是弧AB的中点，
∴AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠EAD+∠BAD＝45°，
∵∠BCD＝∠BAD，
∴∠EAD+∠BCD＝45°，
∴∠AEB+∠EAD﹣（∠EAD+∠BCD）＝90°﹣45°＝45°，
∴∠AEB﹣∠BCD＝45°．
故选：B．
10．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，E是劣弧的中点，连接BC，DE．若∠ABC＝22°，则∠CDE的度数为（　　）

A．22° B．32° C．34° D．44°
【分析】连接OE，根据等腰三角形的性质求出∠OCB，根据三角形内角和定理求出∠BOC，进而求出∠COE，再根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：连接OE，
∵OC＝OB，∠ABC＝22°，
∴∠OCB＝∠ABC＝22°，
∴∠BOC＝180°﹣22°×2＝136°，
∵E是劣弧的中点，
∴＝，
∴∠COE＝×136°＝68°，
由圆周角定理得：∠CDE＝∠COE＝×68°＝34°，
故选：C．

11．如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，连接AF，则∠BAF等于（　　）

A．12.5° B．15° C．20° D．22.5°
【分析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到△AOB为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到∠BOF＝∠AOF＝30°，根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：连接OB，如图所示，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OC＝AB，又OA＝OB＝OC，
∴OA＝OB＝AB，
∴△AOB为等边三角形，
∵OF⊥OC，OC∥AB，
∴OF⊥AB，
∴∠BOF＝∠AOF＝30°，
由圆周角定理得∠BAF＝∠BOF＝15°，
故选：B．

12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（　　）

A．45° B．50° C．55° D．60°
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°．
∵＝，∠BAC＝25°，
∴∠DCE＝∠BAC＝25°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°．
故选：B．
13．如图，四边形ABCD为矩形，△ACE为AC为底的等腰直角三角形，连接BE交AD、AC分别于F、N，CM平分∠ACB交BN于M，下列结论：（1）BE⊥ED；（2）AB＝AF；（3）EM＝EA；（4）AM平分∠BAC
其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】连接DE，由∠ABC＝∠AEC＝∠ADC＝90°，根据圆周角定理的推论得到点A、B、C、D、E都在以AC为直径的圆上，再利用矩形的性质可得AE＝ME，即①正确；再根据圆周角定理得到∠AEB＝∠ACB，∠DAC＝∠CED，∠EAD＝∠ECD，易证△AEF≌△CED，即可得到AB＝AF，即②正确；由②得到∠ABF＝∠AFB＝45°，求出∠EMC＝∠MCB+45°，
而∠ECM＝∠NCM+45°，即③正确；根据等腰三角形性质求出∠EAM＝∠AME，推出∠EAM＝45°+∠MAN，∠AME＝45°+∠BAM，即可判断（4）．
【解答】解：连接DE．
∵四边形ABCD为矩形，△ACE为AC为底的等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠AEC＝∠ADC＝90°，AB＝CD，AD＝BC，
∴点A、B、C、D、E都在以AC为直径的圆上，
∵AB＝CD，
∴弧AB＝弧CD，
∴∠AEB＝∠CED，
∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝∠BEC+∠AEB＝90°，
∴BE⊥ED，故（1）正确；
∵点A、B、C、D、E都在以AC为直径的圆上，
∴∠AEF＝∠CED，∠EAF＝∠ECD，
又∵△ACE为等腰直角三角形，
∴AE＝CE，
在△AEF和△CED中，
，
∴△AEF≌△CED，
∴AF＝CD，
而CD＝AB，
∴AB＝AF，即（2）正确；
∴∠ABF＝∠AFB＝45°，
∴∠EMC＝∠MCB+45°，
而∠ECM＝∠NCM+45°，
∵CM平分∠ACB交BN于M，
∴∠EMC＝∠ECM，
∴EC＝EM，
∴EM＝EA，即（3）正确；
∵AB＝AF，∠BAD＝90°，EM＝EA，
∴∠ABF＝∠CBF＝45°，∠EAM＝∠AME，
∵△AEC是等腰直角三角形，
∴∠EAC＝45°，
∴∠EAM＝45°+∠MAN，∠AME＝∠ABM+∠BAM＝45°+∠BAM，
∴∠BAM＝∠NAM，∴（4）正确；
故选：D．
14．如图，以矩形ABCD对角线AC为底边作等腰直角△ACE，连接BE，分别交AD，AC于点F，N，AM平分∠BAN．下列结论：①BE平分∠ABC；②AE＝EM；③∠BCM＝∠NCM；④AN2＝NF•NE；⑤BN2+EF2＝EN2，其中正确结论的个数是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】连接DE，由∠ABC＝∠AEC＝∠ADC＝90°，知点A、B、C、D、E都在以AC为直径的圆上，即得∠AEB＝∠CED，∠EAF＝∠ECD，从而△AEF≌△CED（ASA），有AF＝CD，又CD＝AB，故得∠ABF＝∠AFB＝45°，BE平分∠ABC，故①正确；根据∠EMA＝∠BAM+45°，∠EAM＝∠MAC+45°，可得∠EMA＝∠EAM，AE＝EM，故②正确；由AE＝EC，EM＝EC，可得∠EMC＝∠ECM，即得∠BCM＝∠NCM，故③正确；根据△ANF∽△ENA，可得AN2＝NE•NF，故④正确；将△ABN绕点A逆时针旋转90°，得到△AFG，连接EG，可证△AEG≌△AEN（SAS），得EN＝EG，由将△ABN绕点A逆时针旋转90°得到△AFG，可知GF＝BN，∠AFG＝∠ABN＝∠AFB＝45°，故∠GFB＝∠GFE＝90°，故BN2+EF2＝EN2，故⑤正确．
【解答】解：连接DE，如图：

∵四边形ABCD为矩形，△ACE为AC为底的等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠AEC＝∠ADC＝90°，AB＝CD，AD＝BC，
∴点A、B、C、D、E都在以AC为直径的圆上，
∵AB＝CD，
∴＝，
∴∠AEB＝∠CED，
∵＝
∴∠EAF＝∠ECD，
∵△ACE为等腰直角三角形，
∴AE＝CE，
在△AEF和△CED中，
，
∴△AEF≌△CED（ASA），
∴AF＝CD，
而CD＝AB，
∴AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB＝45°，
∴BE平分∠ABC，故①正确；
∵∠EMA＝∠BAM+45°，
而∠EAM＝∠MAC+45°，
∵AM平分∠BAC，
∴∠BAM＝∠MAC，
∴∠EMA＝∠EAM，
∴AE＝EM，故②正确；
∵AE＝EC，
∴EM＝EC，
∴∠EMC＝∠ECM，即∠MBC+∠MCB＝∠ECA+∠ACM，
∵∠MBC＝45°＝∠ECA，
∴∠MCB＝∠ACM，即∠BCM＝∠NCM，故③正确；
∵＝，
∴∠AEN＝∠NAF，
∵∠ANF＝∠ENA，
∴△ANF∽△ENA，
∴＝，
∴AN2＝NE•NF，故④正确；
将△ABN绕点A逆时针旋转90°，得到△AFG，连接EG，如图：

∵∠NAB＝∠GAF，
∴∠GAN＝∠BAD＝90°，
∵∠EAN＝45°，
∴∠EAG＝∠EAN＝45°，
∵AG＝AN，AE＝AE，
∴△AEG≌△AEN（SAS），
∴EN＝EG，
∵将△ABN绕点A逆时针旋转90°，得到△AFG，
∴GF＝BN，∠AFG＝∠ABN＝∠AFB＝45°，
∴∠GFB＝∠GFE＝90°，
∴EG2＝GF2+EF2，
∴BN2+EF2＝EN2，故⑤正确，
∴正确的有①②③④⑤，
故选：A．
15．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC＝6，BD＝5，则BC的长为　 　．

【分析】连接AD，根据CD是∠ACB的平分线可知∠ACD＝∠BCD＝45°，故可得出AD＝BD，再由AB是⊙O的直径可知△ABD是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AB的长，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出BC的长．
【解答】解：连接AD，
∵∠ACB＝90°，
∴AB是⊙O的直径．
∵∠ACB的角平分线交⊙O于D，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴AD＝BD＝5．
∵AB是⊙O的直径，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB＝＝＝10．
∵AC＝6，
∴BC＝＝＝8．
故答案为：8．

16．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3，过点A作AP的垂线交⊙O于点B、C．设PB＝x，PC＝y，则y与x的函数表达式为　 　．

【分析】连接PO并延长交⊙O于D，连接BD，根据圆周角定理得到∠C＝∠D，∠PBD＝90°，求得∠PAC＝∠PBD，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接PO并延长交⊙O于D，连接BD，
则∠C＝∠D，∠PBD＝90°，
∵PA⊥BC，
∴∠PAC＝90°，
∴∠PAC＝∠PBD，
∴△PAC∽△PBD，
∴＝，
∵⊙O的半径为5，AP＝3，PB＝x，PC＝y，
∴＝，
∴xy＝30，
∴y＝，
故答案为：y＝．

17．如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝AD，点E在CD的延长线上，且DE＝BC，连接AE，若AE＝4，则四边形ABCD的面积为　 　．

【分析】如图，连接AC，BD．由△ABC≌△ADE（SAS），推出∠BAC＝∠DAE，AC＝AE＝4，S△ABC＝S△ADE，推出S四边形ABCD＝S△ACE，由此即可解决问题；
【解答】解：如图，连接AC，BD．

∵∠BCD＝90°，
∴BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵∠ADE+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADE，
∵AB＝AD，BC＝DE，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠BAC＝∠DAE，AC＝AE＝4，S△ABC＝S△ADE，
∴∠CAE＝∠BAD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ACE＝×4×4＝8．
故答案为8．
18．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为　 　．

【分析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF＝2EH＝2OE•sin∠EOH＝2OE•sin60°，当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF＝2EH，即可求出答案．
【解答】解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，
如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，
∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，AB＝4，
∴AD＝BD＝2，即此时圆的直径为2，
由圆周角定理可知∠EOH＝∠FOH＝∠BAC＝60°，
∴在Rt△EOH中，EH＝OE•sin∠EOH＝×＝，
由垂径定理可知EF＝2EH＝，
故答案为：．

19．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，AB＝5，AC＝4，D是上的一个动点，连接AD．过点C作CE⊥AD于E，连接BE，则BE的最小值是　 　．

【分析】如图，连接BO′、BC．在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E，利用勾股定理求出BO′即可解决问题．
【解答】解：如图，取AC的中点O′，连接BO′、BC．

∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝＝＝3，
在Rt△BCO′中，BO′＝＝＝，
∵O′E+BE≥O′B，
∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E＝﹣2，
故答案为：﹣2．
20．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E．
（1）求证：AB＝AC．
（2）若BD＝11，DE＝2，求CD的长．

【分析】（1）根据角平分线的定义、圆内接四边形的性质解答；
（2）过点A作AG⊥BD，分别证明Rt△AED≌Rt△AGD和Rt△AEC≌Rt△AGB，根据全等三角形的性质计算．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BDF，
∴∠ADF＝∠ADB，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠ADF＝∠ABC，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC；
（2）解：过点A作AG⊥BD，垂足为点G．
∵AD平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD，
∴AG＝AE，∠AGB＝∠AEC＝90°，
在Rt△AED和Rt△AGD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AGD，
∴GD＝ED＝2，
在Rt△AEC和Rt△AGB中，
，
∴Rt△AEC≌Rt△AGB（HL），
∴BG＝CE，
∵BD＝11，
∴BG＝BD﹣GD＝11﹣2＝9，
∴CE＝BG＝9，
∴CD＝CE﹣DE＝9﹣2＝7．

21．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判断△ABC的形状：　 　；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．

【分析】（1）利用圆周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC＝∠CPB＝60°，所以∠BAC＝∠ABC＝60°，从而可判断△ABC的形状；
（2）在PC上截取PD＝AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP＝CD，即可证得；
（3）过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点P为的中点时，PE+CF＝PC从而得出最大面积．
【解答】证明：（1）△ABC是等边三角形．
证明如下：在⊙O中
∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）在PC上截取PD＝AP，连接AD，如图1，
又∵∠APC＝60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°．
又∵∠APB＝∠APC+∠BPC＝120°，
∴∠ADC＝∠APB，
在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP＝CD，
又∵PD＝AP，
∴CP＝BP+AP；
（3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．
理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．
过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵S△APB＝AB•PE，S△ABC＝AB•CF，
∴S四边形APBC＝AB•（PE+CF），
当点P为的中点时，PE+CF＝PC，PC为⊙O的直径，
∴此时四边形APBC的面积最大．
又∵⊙O的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB＝，
∴S四边形APBC＝×2×＝．


22．定义：有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．
（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，则∠B+∠C＝　 　°；
（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO，在OA上取点E，使得DE＝OE，连接DE并延长交AC于点F，∠AED＝3∠EAF．求证：四边形BCFD是半对角四边形；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G，OH＝2，DH＝6．
①连接OC，若将扇形OBC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为 　 　；
②求△ABC的面积．

【分析】（1）利用半对角四边形的定义和四边形的内角和定理解答即可；
（2）连接OC，利用半对角四边形的定义分别计算∠ACB＝∠BDF和∠ABC＝∠DFC即可；
（3）①连接OC，通过计算的长度，利用圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，列出等式即可求解；
②过点O作OM⊥BC于点M，利用直角三角形的边角关系求得线段BC，HG的长，证明△BDG∽△BCA，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，通过计算△BDG的面积求得结论．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是半对角四边形，
∴∠B＝∠D，∠C＝∠A．
∴∠D＝2∠B，∠A＝2∠C．
∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，
∴3∠B+3∠C＝360°，
∴∠B+∠C＝120°，
故答案为：120；
（2）证明：连接OC，如图，

在△BDE和△BOE中，
，
∴△BDE≌△BOE（SSS）．
∴∠BDF＝∠BOE．
∵∠ACB＝∠BOE，
∴∠ACB＝∠BDF．
设∠EAF＝α，则∠AED＝3α．
∵∠AED＝∠EAF+∠AFE，
∴∠AFE＝∠AED﹣∠EAF＝2α，
∴∠DFC＝180°﹣∠AFD＝180°﹣2α．
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠EAF＝α，
∴∠AOC＝180°﹣∠EAF﹣∠OCA＝180°﹣2α，
∴∠AOC＝∠DFC．
∵∠ABC＝∠AOC，
∴∠ABC＝∠DFC，
∴四边形BCFD是半对角四边形；
（3）解：①连接OC，如图，

四边形BCFD是半对角四边形，且∠ABC＝∠DFC，∠ACB＝∠BDF，
由（1）的方法可求得：∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°．
设⊙O的半径为r，则BD＝BO＝r，BH＝r﹣2，
在Rt△BDH中，
∵BD2＝BH2+DH2，
r2＝62+（r﹣2）2．
解得：r＝10．
∴BD＝BO＝10，BH＝BO﹣OH＝8．
∴扇形OBC的弧长＝＝，
设该圆锥的底面半径为x，
∴2πx＝，
∴x＝．
故答案为：；
②过点O作OM⊥BC于点M，
∵OB＝OC，∠BOC＝120°，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°．
∵OM⊥BC，
∴BM＝CM＝．
∵BM＝OB•cos30°＝5，
∴BC＝10．
在Rt△BGH中，
HG＝BH•tan30°＝8×＝．
∴DG＝DH+HG＝6+．
∵BH⊥DG，∠HBG＝30°，
∴∠BGD＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BGD＝∠BAC．
∵∠DBG＝∠CBA，
∴△BDG∽△BCA．
∴＝，
∴S△ABC＝3S△DBG＝3××DG•BH＝3××8×（6+）＝72+32．
23．婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”．
（1）若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是 　 　（填序号）；
①矩形 ②菱形 ③正方形
（2）如图，四边形ABCD内接于圆，P为圆内一点，∠APD＝∠BPC＝90°，且∠ADP＝∠PBC，求证：四边形ABCD为“婆氏四边形”；
（3）在（2）的条件下，BD＝4，且AB＝DC．
①当DC＝2时，求AC的长度；
②当DC的长度最小时，请直接写出tan∠ADP的值．

【分析】（1）利用平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，“婆氏四边形”的定义和正方形的判定定理解得即可；
（2）连接AC，交PD于点G，交BD于点E，利用相似三角形的判定与性质得到△APC∽△DPB，∠PAC＝∠PDB；再利用直角三角形的两个锐角互余即可得出结论；
（3）①设CE＝x，利用相似三角形的性质得到CE＝，在Rt△DEC中，利用勾股定理列出方程即可求得x的值，进而利用相似三角形的性质求得AE的长，结论可求；
②设DC的长度为a，CE＝x，在Rt△DEC中，利用勾股定理列出方程，利用Δ≥0即可求得DC的最小值，利用（3）①中的方法求得x值，再利用相似三角形是性质和直角三角形的边角关系定理即可求得结论．
【解答】（1）解：若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是正方形．理由：

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°．
∴∠ABC＝∠ADC＝90°．
∴平行四边形ABCD是矩形．
∵四边形ABCD是“婆氏四边形”，
∴AC⊥BD．
∴矩形ABCD是正方形．
故答案为：③；
（2）证明：连接AC，交PD于点G，交BD于点E，如图，

∵∠APD＝∠BPC＝90°，且∠ADP＝∠PBC，
∴△APD∽△BPC．
∴．
∵∠APD＝∠BPC＝90°，
∴∠APD+∠DPC＝∠BPC+∠DPC．
即：∠APC＝∠DPB．
∴△APC∽△DPB．
∴∠PAC＝∠PDB．
∵∠APD＝90°，
∴∠PAC+∠PGA＝90°．
∵∠PGA＝∠DGE，
∴∠PDB+∠DGE＝90°．
∴∠GED＝90°．
∴AC⊥BD．
∵四边形ABCD内接于圆，
∴四边形ABCD为“婆氏四边形”；
（3）解：①由（2）知：AC⊥BD与点E，设CE＝x，

∵∠AEB＝∠DEC＝90°，∠BAC＝∠BDC，
∴△ABE∽△DCE．
∴．
∵AB＝DC，
∴BE＝CE＝x．
∵BD＝4，
∴DE＝4﹣x．
∵CE2+DE2＝CD2，
∴．
解得：x＝．
∵当x＝时，BE＝x＝3＞4，
∴x＝不合题意，舍去．
∴x＝．
∴BE＝x＝3﹣．
∴DE＝BD﹣BE＝+1．
∵△ABE∽△DCE，
∴．
∴AE＝DE＝3+．
∴AC＝AE+CE＝3++＝2+2；
②设DC的长度为a，CE＝x，
∵∠AEB＝∠DEC＝90°，∠BAC＝∠BDC，
∴△ABE∽△DCE．
∴．
∵AB＝DC，
∴BE＝CE＝x．
∵BD＝4，
∴DE＝4﹣x．
∵CE2+DE2＝CD2，
∴．
∴4x+16﹣a2＝0．
∵Δ＝﹣4×4（16﹣a2）≥0，
∴a2≥4．
∵a＞0，
∴a≥2，
∴a有最小值2．
即DC的长度最小值为2．
∴．
解得：x＝．
∴CE＝．
∴BE＝3．
∴DE＝BD﹣BE＝1．
∴AE＝DE＝．
∴AC＝AE+CE＝2．
由（2）知：△APD∽△BPC，
∴．
在Rt△APD中，
tan∠ADP＝．