第4讲 全等三角形常见辅助线专题探究-【专题突破】2022-2023学年八年级数学上学期重难点及章节分类精品讲义(浙教版)(原卷版+解析)

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第4讲 全等三角形常见辅助线专题探究
类型一 倍长中线——构全等
【知识点睛】
v 倍长中线辅助线方法规律总结
基本图形
辅助线
条件与结论
应用环境


延长AD到点E，
使DE=AD，连接CE

条件：△ABC，AD=BD

结论：
△ABD≌△CED(SAS)
①倍长中线常和△三边关系结合，考察中线长的取值范围
②倍长中线也可以和其他几何图形结合，考察几何图形的面积问题






v 倍长中线模型的变形——“倍长中线类”模型：
基本图形
辅助线
条件与结论
应用环境


延长AD交直线l2于点E，

条件：l1∥l2，CD=BD
结论：
△ABD≌△ECD(AAS)
与含有平行元素的几何图形结合考察全等三角形的判定





【类题训练】
1．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，D是BC的中点，AD的取值范围为 　 　．

【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BDE≌△CDA，得出AC＝BE，再根据三角形的三边关系得到结论．
【解答】解：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，
在△ACD与△EBD中，
，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC，
∵AB＝6，AC＝4，
∴2＜AE＜10，
∴1＜AD＜5．
故答案为：1＜AD＜5．
2．如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，连接DE并延长至F，使EF＝DE，连接FC．若FC∥AB，AB＝5，CF＝3，则BD的长等于（　　）

A．1 B．2 C．3 D．5
【分析】由FC∥AB得，∠DAE＝∠FCE，再利用AAS证明△DAE≌△FCE，得AD＝CF，从而解决问题．
【解答】解：∵FC∥AB，
∴∠DAE＝∠FCE，
在△DAE与△FCE中，
，
∴△DAE≌△FCE（AAS），
∴AD＝CF，
∵CF＝3，
∴AD＝CF＝3，
又∵AB＝5，
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣3＝2，
故选：B．
3．如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝10，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，若AB＝DE，则图中阴影部分的面积为 　 　．

【分析】证明△BAF≌△EDF（AAS），则S△BAF＝S△EDF，利用割补法可得阴影部分面积．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠D，
在△BAF和△EDF中，
，
∴△BAF≌△EDF（AAS），
∴S△BAF＝S△EDF，
∴图中阴影部分面积＝S四边形ACEF+S△BAF＝S△ACD＝•AC•AD＝×6×10＝30．
故答案为：30．
4．（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：
如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．

【分析】（1）由已知得出AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即6﹣4＜AE＜6+4，AD为AE的一半，即可得出答案；
（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM，EM，可得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由线段垂直平分线的性质得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；
（3）延长AE，DF交于点G，根据平行和角平分线可证AF＝FG，也可证得△ABE≌△GCE，从而可得AB＝CG，即可得到结论．
【解答】解：（1）1＜AD＜5．
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝4，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴6﹣4＜AE＜6+4，
∴2＜AE＜10，
∴1＜AD＜5．
证明：（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示．
同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），
∴BM＝CF，
∵DE⊥DF，DM＝DF，
∴EM＝EF，
在△BME中，由三角形的三边关系得：
BE+BM＞EM，
∴BE+CF＞EF．

（3）如图③，延长AE，DF交于点G，
∵AB∥CD，
∴∠BAG＝∠G，
在△ABE和△GCE中，
CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，
∴△ABE≌△GEC（AAS），
∴CG＝AB，
∵AE是∠BAF的平分线，
∴∠BAG＝∠GAF，
∴∠FAG＝∠G，
∴AF＝GF，
∵FG+CF＝CG，
∴AF+CF＝AB．

5．【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是　 　．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是　 　．
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
【分析】（1）根据AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，BD＝DC推出△ADC和△EDB全等即可；
（2）根据全等得出BE＝AC＝6，AE＝2AD，由三角形三边关系定理得出8﹣6＜2AD＜8+6，求出即可；
（3）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM＝AC，∠CAD＝∠M，根据AE＝EF，推出∠CAD＝∠AFE＝∠BFD，求出∠BFD＝∠M，根据等腰三角形的性质求出即可．
【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故选B；

（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，
∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故选C．
（3）证明：
延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，
∵AD是△ABC中线，
∴CD＝BD，
∵在△ADC和△MDB中

∴△ADC≌△MDB，
∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，
∴BF＝BM＝AC，
即AC＝BF．
6．（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），
①延长AD到M，使得DM＝AD；
②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；
③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是　 　；
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．
（3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明．

【分析】（1）先判断出BD＝CD，由“SAS”可证△MDB≌△ADC，得出BQ＝AC＝6，最后用三角形三边关系即可得出结论；
（2）由（1）知，△MDB≌△ADC，根据全等三角形的性质和平行线的判定即可得出结论；
（3）同（1）的方法得出△BDM≌△CDA，则BM＝AC，进而判断出∠ABM＝∠EAF，进而判断出△ABM≌△EAF，得出AM＝EF，∠BAM＝∠AEF，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图2，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△MDB和△ADC中，
，
∴△MDB≌△ADC（SAS），
∴BM＝AC＝6，
在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，
∴8﹣6＜AM＜8+6，2＜AM＜14，
∴1＜AD＜7，
故答案为：1＜AD＜7；
（2）AC∥BM，且AC＝BM，
理由是：由（1）知，△MDB≌△ADC，
∴∠M＝∠CAD，AC＝BM，
∴AC∥BM；
（3）EF＝2AD，
理由：如图2，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，
由（1）知，△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM＝AC，
∵AC＝AF，
∴BM＝AF，
由（2）知：AC∥BM，
∴∠BAC+∠ABM＝180°，
∵∠BAE＝∠FAC＝90°，
∴∠BAC+∠EAF＝180°，
∴∠ABM＝∠EAF，
在△ABM和△EAF中，
，
∴△ABM≌△EAF（SAS），
∴AM＝EF，
∵AD＝DM，
∴AM＝2AD，
∵AM＝EF，
∴EF＝2AD，
即：EF＝2AD．
类型二 截长补短——造全等
【知识点睛】
v 截长补短辅助线方法规律总结
基本图形
辅助线
条件与结论
应用环境


在AC上截取AE=AD，连接PE
条件：
AP平分∠BAC，
结论：
△APD≌△APE(SAS)
①截长补短类辅助线经常和角平分线同步考察
②截长补短类全等的目的通常是为了等价线段





总结：因为截长补短常得线段相等，所以截长补短经常用于证明三条线段间的数量关系，如AD=BC+EF
【类题训练】
7．如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点（不与A，D重合），则AB﹣AC　 　PB﹣PC（填“＞”、“＜”或“＝”）．

【分析】在AB上截取AE，使AE＝AC，连接PE，证明AEP≌△ACP，得PC＝PE，再根据三角形的任意两边之差小于第三边证明即可．
【解答】解：如图，在AB上截取AE，使AE＝AC，连接PE，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△AEP和△ACP中，
，
∴△AEP≌△ACP（SAS），
∴PE＝PC，
在△PBE中，BE＞PB﹣PE，
即AB﹣AC＞PB﹣PC，
故答案为：＞．
8．问题背景：
如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E、F分别是BC、CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
解法探究：小明同学通过思考，得到了如下的解决方法．
延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，从而可得结论．
（1）请先写出小明得出的结论，并在小明的解决方法的提示下，写出所得结论的理由．
解：线段BE、EF、FD之间的数量关系是：
理由：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG．（以下过程请同学们完整解答）
（2）拓展延伸：
如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，若∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点．且∠EAF＝∠BAD，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请再把结论写一写；若不成立，请直接写出你为成立的结论．

【分析】（1）延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题；
（2）延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题．
【解答】证明：（1）在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
故答案为 EF＝BE+DF．

（2）结论EF＝BE+DF仍然成立；
理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
9．如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P．
（1）求∠APC的度数；
（2）若AE＝3，CD＝4，求线段AC的长．

【分析】（1）先由∠ABC＝60°，得到∠BAC+∠BCA＝120°，然后由AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB得到∠PAC+∠PCA的值，进而得到∠APC的度数；
（2）在AC上截取AF＝AE，连接PF，然后证明△AEP≌△AFP，从而得到∠APE＝∠APF，然后由∠APC＝120°得到∠DPC＝60°，从而得到∠APE＝∠APF＝60°，进而得到∠FPC＝∠DPC＝60°，再结合CE平分∠ACB、CP＝CP得到△PCF≌△PCD，即可得到CD＝CF，最后得到AC＝AE+CD．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝60°，
∴∠BAC+∠BCA＝120°，
∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，
∴∠PAC+∠PCA＝（∠BAC+∠BCA）＝60°，
∴∠APC＝120°．
（2）如图，在AC上截取AF＝AE，连接PF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△APE和△APF中，
，
∴△APE≌△APF（SAS），
∴∠APE＝∠APF，
∵∠APC＝120°，
∴∠APE＝60°，
∴∠APF＝∠CPD＝60°＝∠CPF，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACP＝∠BCP，
在△CPF和△CPD中，
，
∴△CPF≌△CPD（ASA），
∴CF＝CD，
∴AC＝AF+CF＝AE+CD＝3+4＝7．
10．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，点E在边AC的延长线上，且DA＝DE．
（1）求证：∠BAD＝∠EDC：
（2）用等式表示线段CD，CE，AB之间的数量关系，并证明．

【分析】（1）延长BC至F，使CF＝CE，连接EF，证得△CEF为等边三角形，得出∠F＝∠CEF＝60°，证明△ADB≌△DEF（AAS），由全等三角形的性质得出∠BAD＝∠EDF；
（2）全等三角形的性质得出由AB＝DF，BD＝EF，则可得出结论．
【解答】（1）证明：延长BC至F，使CF＝CE，连接EF，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，
∴∠ECF＝∠ACB＝60°，
∵CF＝CE，
∴△CEF为等边三角形，
∴∠F＝∠CEF＝60°，
∵DA＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∵∠ADB＝∠DAE+∠ACB＝∠DAE+60°，
∠DEF＝∠CEF+∠DEA＝60°+∠DEA，
∴∠ADB＝∠DEF，
在△ADB和△DEF中，
，
∴△ADB≌△DEF（AAS），
∴∠BAD＝∠EDF，
即∠BAD＝∠EDC．
（2）解：AB＝CD+CE．
证明：∵△ADB≌△DEF，
∴AB＝DF，BD＝EF，
∵DF＝DC+CF＝CD+CE，
∴AB＝CD+CE．
11．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD＝2BF+DE．

【分析】（1）根据题意和题目中的条件可以找出△ABC≌△ADE的条件；
（2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE的度数；
（3）根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立．
【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（SAS）；
（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，
∴∠E＝45°，
由（1）知△BAC≌△DAE，
∴∠BCA＝∠E＝45°，
∵AF⊥BC，
∴∠CFA＝90°，
∴∠CAF＝45°，
∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；
（3）延长BF到G，使得FG＝FB，
∵AF⊥BG，
∴∠AFG＝∠AFB＝90°，
在△AFB和△AFG中，
，
∴△AFB≌△AFG（SAS），
∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，
∵△BAC≌△DAE，
∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，
∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，
∴∠G＝∠CDA，
∵∠GCA＝∠DCA＝45°，
在△CGA和△CDA中，
，
∴△CGA≌△CDA（AAS），
∴CG＝CD，
∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，
∴CD＝2BF+DE．




类型三 整体旋转—共线—再全等
【知识点睛】
v 整体旋转三角形得全等辅助线方法规律总结
基本图形
辅助线
条件与结论
特别提醒


将△ABE绕点A逆时针旋转至AB与AD重合，点E的对应点记为点G
条件：正方形ABCD，∠EAF=45°
结论：
①△AEF≌△AGF(SAS)②EF=BE＋DF
此种类型的辅助线其实是在证明“正方形的半角模型”；但是这种辅助线也可以应用在等边三角形的问题中，此时旋转角度为60°或者120°
【类题训练】
9．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，DE⊥AB，垂足为E，且DE＝EB＝5，则四边形ABCD的面积 　 　．

【分析】根据旋转的性质将四边形ABCD变形为正方形DEBE′，易求四边形ABCD的面积．
【解答】解：把Rt△DEA以绕D按逆时针旋转90°，如图：
∵旋转不改变图形的形状和大小，
∴A与C重合，∠A＝∠DCE′，∠E′＝∠AED＝90°．
∵在四边形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠A+∠DCB＝180°，
∴∠DCE′+∠DCB＝180°，
即点B、C、E′在同一直线上，
∵∠DEB＝∠E′＝∠B＝90°，
∴四边形DEBE′是矩形，
∴S矩形DEBE′＝DE×BE＝5×5＝25，
∵S矩形DEBE′＝S四边形DEBC+S△DCE，
∵S四边形ABCD＝S四边形DEBC+S△ADE＝S四边形DEBC+S△DCE，
∴S四边形ABCD＝S矩形DEBE＝25．
故四边形ABCD的面积为25．
故答案为：25．

10．已知正方形ABCD中，M，N是边BC，CD上任意两点，∠MAN＝45°，连结MN．
（1）如图①，请直接写出BM，DN，MN三条线段的数量关系：　 　；
（2）如图②，过点A作AH⊥MN于点H，求证：AB＝AH；

【分析】（1）延长CD到E，使DE＝BM，利用SAS证明△ABM≌△ADE，得∠BAM＝∠DAE，AM＝AE，再证明△AMN≌△AEN（SAS），得MN＝NE＝ND+BM；
（2）由（1）知，∠AMB＝∠AED，∠AED＝∠AMN，得∠AMB＝∠AMN，再利用角平分线的性质可证明结论；
（3）将图③放到图②中，利用HL证明Rt△ABM≌Rt△AHM，得BM＝MH＝2，同理得，NH＝ND＝3，设BC＝AB＝x，则CM＝x﹣2，CN＝x﹣3，在Rt△MCN中，利用勾股定理列方程，从而解决问题．
【解答】（1）解：延长CD到E，使DE＝BM，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABM＝∠ADE＝90°，
∵BM＝DE，
∴△ABM≌△ADE（SAS），
∴∠BAM＝∠DAE，AM＝AE，
∵∠MAN＝45°，
∴∠BAM+∠DAN＝∠NAE＝45°，
∵AN＝AN，
∴△AMN≌△AEN（SAS），
∴MN＝NE＝ND+BM，
∴MN＝BM+DN，
故答案为：MN＝BM+DN；
（2）证明：由（1）知，∠AMB＝∠AED，∠AED＝∠AMN，
∴∠AMB＝∠AMN，
∵AB⊥BC，AH⊥MN，
∴AB＝AH；
11．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．
（1）如图1，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，有BM+DN＝MN．当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；
（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．

【分析】（1）在MB的延长线上截取BE＝DN，连接AE，根据正方形性质得出AD＝AB，∠D＝∠DAB＝∠ABC＝∠ABE＝90°，证△ABE≌△ADN推出AE＝AN；∠EAB＝∠NAD，求出∠EAM＝∠MAN，根据SAS证△AEM≌△ANM，推出ME＝MN即可；
（2）在DN上截取DE＝MB，连接AE，证△ABM≌△ADE，推出AM＝AE；∠MAB＝∠EAD，求出∠EAN＝∠MAN，根据SAS证△AMN≌△AEN，推出MN＝EN即可．
【解答】解：（1）图1中的结论仍然成立，即BM+DN＝MN，理由为：
如图2，在MB的延长线上截取BE＝DN，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠DAB＝∠ABC＝∠ABE＝90°，
∵在△ABE和△ADN中
，
∴△ABE≌△ADN（SAS）．
∴AE＝AN；∠EAB＝∠NAD，
∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，
∴∠DAN+∠BAM＝45°，
∴∠EAM＝∠BAM+∠EAB＝45°＝∠MAN，
∵在△AEM和△ANM中
，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME＝MN，
∴MN＝ME＝BE+BM＝DN+BM，
即DN+BM＝MN；

（2）猜想：线段BM，DN和MN之间的等量关系为：DN﹣BM＝MN．
证明：如图3，在DN上截取DE＝MB，连接AE，
∵由（1）知：AD＝AB，∠D＝∠ABM＝90°，BM＝DE，
∴△ABM≌△ADE（SAS）．
∴AM＝AE；∠MAB＝∠EAD，
∵∠MAN＝45°＝∠MAB+∠BAN，
∴∠DAE+∠BAN＝45°，
∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°＝∠MAN，
∵在△AMN和△AEN中
，
∴△AMN≌△AEN（SAS），
∴MN＝EN，
∵DN﹣DE＝EN，
∴DN﹣BM＝MN．
12．如图，在等边三角形ABC中，点P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到AP'，连接PP'，BP'．
（1）用等式表示BP'与CP的数量关系，并证明；
（2）当∠BPC＝120°时，
①直接写出∠P'BP的度数为 　 　；
②若M为BC的中点，连接PM，用等式表示PM与AP的数量关系，并证明．

【分析】（1）利用SAS证明△ABP'≌△ACP，即可得出答案；
（2）①由三角形内角和定理知∠8+∠6＝180°﹣∠BPC＝60°，再利用角度之间的转化对∠P'BP进行转化，∠P'BP＝∠4+∠7＝∠5+60°﹣∠8＝60°﹣∠6+60°﹣∠8，从而解决问题；
②延长PM到N，使PM＝MN，连接BN，CN，得出四边形PBNC为平行四边形，则BN∥CP且BN＝CP，再利用SAS证明△P'BP≌△NBP，得PP'＝PN＝2PM．
【解答】解：（1）BP'＝CP，
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴∠2+∠3＝60°
∵将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到AP'，
∴AP＝AP'，∠PAP'＝60°，
∴∠1+∠2＝60°，
∴∠1＝∠3，
∴△ABP'≌△ACP（SAS），
∴BP'＝CP；
（2）①当∠BPC＝120°时，
则∠8+∠6＝180°﹣∠BPC＝60°，
∵△ABP'≌△ACP，
∴∠4＝∠5，
∴∠P'BP＝∠4+∠7
＝∠5+60°﹣∠8
＝60°﹣∠6+60°﹣∠8
＝120°﹣（∠6+∠8）
＝120°﹣60°
＝60°，
故答案为：60°；
②AP＝2PM，理由如下：
延长PM到N，使PM＝MN，连接BN，CN，

∵M为BC的中点，
∴BM＝CM，
∴四边形PBNC为平行四边形，
∴BN∥CP且BN＝CP，
∴BN＝BP'，∠9＝∠6，
又∵∠8+∠6＝60°，
∴∠8+∠9＝60°，
∴∠PBN＝60°＝∠P'BP，
又∵BP＝BP，P'B＝BN，
∴△P'BP≌△NBP（SAS），
∴PP'＝PN＝2PM，
又∵△APP'为正三角形，
∴PP'＝AP，
∴AP＝2PM．



类型四 连接线段——得全等
【知识点睛】
v 连接线段得△全等辅助线方法规律总结
基本图形
辅助线
条件与结论
结论应用


连接AD
条件：AB=AC，BD=CD
结论：
△ABD≌△ACD(SSS)
此种类型的辅助线虽然最简单，但是也最常见，常用来证明角相等

【类题训练】
13．如图，已知：，，，，则（   ）
A． B． C．或 D．
【分析】
连接，可证≌，根据全等三角形对应角相等可以得到，，代入角度即可求出和的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】
连接，如图，
在与中
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
14．把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图）．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．

【答案】解：．
连结，
四边形，都是正方形．
AG=AB，∠G=∠B=90°．
∵旋转
∴∠DAG=∠BAE
∴△AGH≌△ABH（ASA）
∴GH=BH

【课后综合练习】
1．[方法呈现]
（1）如图①，△ABC中，AD为中线，已知AB＝3，AC＝5，求中线AD长的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：
延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE，则易证△DEC≌△DAB，得到EC＝AB＝3，则可得AC﹣CE＜AE＜AC+CE，从而可得中线AD长的取值范围是　 　．
[探究应用]
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系，并写出完整的证明过程．
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．

【分析】（1）由已知得出AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣3＜AE＜5+3，据此可得答案；
（2）如图②，延长AE，DC交于点F，先证△ABE≌△FEC得CF＝AB，再由AE是∠BAD的平分线知∠BAF＝∠FAD，从而得∠FAD＝∠F，据此知AD＝DF，结合DC+CF＝DF可得答案；
（3）如图③，延长AE，DF交于点G，同（2）可得：AF＝FG，△ABE≌△GEC，据此知AB＝CG，继而得出答案．
【解答】解：（1）由题意知AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣3＜AE＜5+3，
∴1＜AD＜4，
故答案为：1＜AD＜4；

（2）如图②，延长AE，DC交于点F，
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠F，
在△ABE和△FCE中
CE＝BE，∠BAF＝∠F，∠AEB＝∠FEC，
∴△ABE≌△FEC（AAS），
∴CF＝AB，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAF＝∠FAD，
∴∠FAD＝∠F，
∴AD＝DF，
∵DC+CF＝DF，
∴DC+AB＝AD．

（3）如图③，延长AE，DF交于点G，
同（2）可得：AF＝FG，△ABE≌△GEC，
∴AB＝CG，
∴AF+CF＝AB．
2．阅读理解

（1） 如图①，△ABC中，D是BC中点，连接AD，直接回答S△ABD与S△ADC相等吗？　
　 （S表示面积）；
应用拓展
（2）如图②，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE、EC，试利用上题得到的结论说明S△DEC＝S△ADE+S△EBC；
解决问题
（3）现有一块如图③所示的梯形试验田，想种两种农作物做对比实验，用一条过D点的直线，将这块试验田分割成面积相等的两块，画出这条直线，并简单说明另一点的位置．
【分析】（1）由于△ABD与△ACD等底同高，根据三角形的面积公式即可得出S△ABD与S△ADC相等；
（2）延长DE交CB的延长线于点F，根据AAS证明△DAE≌△FBE，则DE＝FE，S△DAE＝S△FBE，又由（1）的结论可得S△DEC＝S△FEC，代入即可说明S△DEC＝S△ADE+S△EBC；
（3）取AB的中点E，连接DE并延长，交CB的延长线于点F，则S梯形ABCD＝S△CDF，再取CF的中点G，作直线DG，则S△CDG＝S△FDG＝S梯形ADGB＝S梯形ABCD，故直线DG即可将这块试验田分割成面积相等的两块．
【解答】解：（1）如图①，过点A作AE⊥BC于E．
∵D是BC中点，
∴BD＝CD，
又∵S△ABD＝•BD•AE，S△ADC＝•CD•AE，
∴S△ABD＝S△ADC．
故答案为相等；

（2）如图②，延长DE交CB的延长线于点F．
∵E是AB的中点，∴AE＝BE．
∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠BFE．
在△DAE与△FBE中，
，
∴△DAE≌△FBE（AAS），
∴DE＝FE，S△DAE＝S△FBE，
∴E是DF中点，
∴S△DEC＝S△FEC＝S△BFE+S△EBC＝S△ADE+S△EBC，
∴S△DEC＝S△ADE+S△EBC；

（3）如图所示：
取AB的中点E，连接DE并延长，交CB的延长线于点F，取CF的中点G，作直线DG，
则直线DG即可将这块试验田分割成面积相等的两块．
3．（1）如图①，OP是∠MON的平分线，点A为OM上一点，点B为OP上一点．请你利用该图形在ON上找一点C，使△COB≌△AOB，请在图①画出图形．参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（2）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你写出FE与FD之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，在（2）中所得结论是否仍然成立？请你直接作出判断，不必说明理由．

【分析】（1）在∠MON的两边上以O为端点截取相等的两条相等的线段，两个端点与角平分线上任意一点相连，所构成的两个三角形全等，即△COB≌△AOB；
（2）根据图（1）的作法，在AC上截取CG＝CD，证得△CFG≌△CFD（SAS），得出DF＝GF；再根据ASA证明△AFG≌△AFE，得EF＝FG，故得出EF＝FD；
（3）根据图（1）的作法，在AC上截取AG＝AE，证得△EAF≌△GAF（SAS），得出FE＝FG；再根据ASA证明△FDC≌△FGC，得DF＝FG，故得出EF＝FD．
【解答】解：（1）如图①所示，△COB≌△AOB，点C即为所求．
（2）如图②，在AC上截取CG＝CD，
∵CE是∠BCA的平分线，
∴∠DCF＝∠GCF，
在△CFG和△CFD中，
，
∴△CFG≌△CFD（SAS），
∴DF＝GF．
∵∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，

∴∠FAC＝∠BAC，∠FCA＝∠ACB，且∠EAF＝∠GAF，
∴∠FAC+∠FCA＝（∠BAC+∠ACB）＝（180°﹣∠B）＝60°，
∴∠AFC＝120°，
∴∠CFD＝60°＝∠CFG，
∴∠AFG＝60°，
又∵∠AFE＝∠CFD＝60°，
∴∠AFE＝∠AFG，
在△AFG和△AFE中，
，
∴△AFG≌△AFE（ASA），
∴EF＝GF，
∴DF＝EF；
（3）DF＝EF 仍然成立．
证明：如图③，在AC上截取AG＝AE，
同（2）可得△EAF≌△GAF（SAS），
∴FE＝FG，∠EFA＝∠GFA．
又由题可知，∠FAC＝∠BAC，∠FCA＝∠ACB，
∴∠FAC+∠FCA＝（∠BAC+∠ACB）＝（180°﹣∠B）＝60°，
∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝120°，
∴∠EFA＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC，
∴∠CFG＝∠CFD＝60°，
同（2）可得△FDC≌△FGC（ASA），
∴FD＝FG，
∴FE＝FD．

4．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题

(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 ．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．
【分析】
（1）①证明△DAB≌△FAC，即可得到CF⊥BD，CF＝BD．
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．结合∠BAC＝90°，AB＝AC，得到∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90度．即CF⊥BD．
（2）当∠ACB＝45°时，过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，可推出∠ACB＝∠AGC，所以AC＝AG，由（1）①可知CF⊥BD．
(1)
①CF⊥BD，CF＝BD
∵∠FAD＝∠BAC＝90°
∴∠BAD＝∠CAF
在△BAD与△CAF中，
∵
∴△BAD≌△CAF（SAS）
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD，
∵
∴∠BCF＝90°
∴CF⊥BD ；
故答案为：垂直，相等；
②成立，理由如下：
∵∠FAD＝∠BAC＝90°
∴∠BAD＝∠CAF
在△BAD与△CAF中，
∵，
∴△BAD≌△CAF（SAS）
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ACB＝45°，
∴∠BCF＝90°，
∴CF⊥BD；
(2)
当∠ACB＝45°时可得CF⊥BC，理由如下：
过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G
∵∠ACB＝45°
∴AG＝AC，∠AGC＝∠ACG＝45°
∵AG＝AC，AD＝AF，
∵∠GAD＝∠GAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∠FAC＝∠FAD﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，
∴∠GAD＝∠FAC，
∴△GAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF＝∠AGD＝45°，
∴∠GCF＝∠GCA+∠ACF＝90°，
∴CF⊥BC．

5．如图，已知在四边形ABCD中，BD是的平分线，．2 求证：．

【分析】
方法一，在BC上截取BE，使，连接DE，由角平分线的定义可得，根据全等三角形的判定可证和全等，再根据全等三角形的性质可得，，由AD=CD等量代换可得，继而可得，由于，可证；
方法2，延长BA到点E，使，由角平分线的定义可得，根据全等三角形的判定可证和全等，继而可得，．由，可得，继而求得，由，继而可得；
方法3， 作于点E，交BA的延长线于点F，由角平分线的定义可得，由，，可得，根据全等三角形的判定可证和全等，继而可得，再根据HL定理可得可证．
【详解】
解：方法1 截长如图，在BC上截取BE，使，
连接DE，
因为BD是的平分线，
所以．
在和中，
因为
所以，
所以，．
因为，
所以，
所以．
因为，
所以．
方法2   补短
如图，延长BA到点E，使．
因为BD是的平分线，
所以
在和中，
因为，
所以，
所以，．
因为，
所以，
所以．
因为，
所以．
方法3   构造直角三角形全等
作于点E．交BA的延长线于点F
因为BD是的平分线，
所以．
因为，，
所以，
在和中，
因为，
所以，
所以．
在和中，
因为，
所以，
所以．
因为，
所以．
6．如图，已知，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线，且CE⊥BD交BD的延长线于点E．求证：BD＝2CE．

【分析】延长CE与BA的延长线相交于点F，利用ASA证明△ABD和△ACF全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：如图，延长CE与BA的延长线相交于点F，
∵∠EBF+∠F＝90°，∠ACF+∠F＝90°，
∴∠EBF＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD＝CF，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠EBC＝∠EBF．
在△BCE和△BFE中，
，
∴△BCE≌△BFE（ASA），
∴CE＝EF，
∴CF＝2CE，
∴BD＝CF＝2CE．