新高考高一上册数学期末模拟卷9(解析版)

这是一份新高考高一上册数学期末模拟卷9(解析版)，共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高一第一学期期末检测卷
试卷范围：苏教版必修一；总分：150分；难度：较难
一、单选题(共40分)
1．(本题5分)（2021·江苏·）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A． B．
C． D．，且
2．(本题5分)（2021·江苏·南京一中）若命题“，使得”是真命题，则实数的取值集合是（ ）
A． B． C． D．
3．(本题5分)（2021·江苏·）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．(本题5分)（2021·江苏·）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
5．(本题5分)（2021·江苏·泗阳县实验高级中学）若，则下列不等式中不成立的（ ）
A． B． C．； D．.
6．(本题5分)（2020·江苏·）正数a,b满足,若不等式对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是
A． B． C． D．
7．(本题5分)（2020·江苏省通州高级中学）已知函数是定义在R上奇函数，当时，.若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．(本题5分)（2020·江苏省盱眙中学）已知是定义域为的单调函数，若对任意的，都有，且方程在区间上有两解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

二、多选题(共20分)
9．(本题5分)（2021·江苏如皋·）已知函数的定义域为，值域为，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
10．(本题5分)（2021·江苏·）已知定义域为R的奇函数，满足，下列叙述正确的是（ ）
A．存在实数k，使关于x的方程有7个不相等的实数根
B．当时，恒有
C．若当时，的最小值为1，则
D．若关于的方程和的所有实数根之和为零，则
11．(本题5分)（2021·江苏如皋·）已知函数满足：对于任意实数，都有，且，则（ ）
A．是奇函数 B．是周期函数
C． D．在上是增函数
12．(本题5分)（2021·江苏省天一中学）一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ）
A．若为的跟随区间，则
B．函数存在跟随区间
C．若函数存在跟随区间，则
D．二次函数存在“3倍跟随区间”

三、填空题(共15分)
13．(本题5分)（2019·江苏·南京师大附中）函数在区间内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是_____.
14．(本题5分)（2021·江苏高邮·）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.则函数图象的对称中心为___________.
15．(本题5分)（2021·江苏·）设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中：
①；②；③；④
以0为聚点的集合有______．

四、双空题(共5分)
16．(本题5分)（2020·江苏省苏州实验中学）设函数，.①的值为_______；②若函数恰有个零点，则实数的取值范围是___________.

五、解答题(共70分)
17．(本题10分)（2021·江苏·）心脏跳动时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80为标准值.设某人的血压满足函数式，其中为血压（单位：），t为时间（单位：min），试回答下列问题：
（1）求函数的周期；
（2）此人每分钟心跳的次数；
（3）画出函数的草图；
（4）求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值比较.



18．(本题12分)（2021·江苏省苏州实验中学）已知正实数a，b，x，y．
（1）若（x﹣1）（y﹣1）＝4，求xy的最小值；
（2）证明：≥，并指出等号成立的条件．






19．(本题12分)已知函数.
（1）若不等式 的解集为，求的取值范围；
（2）当时，解不等式；
（3）若不等式的解集为，若，求的取值范围.





20．(本题12分)（2020·江苏南通·）已知函数.
（1）当时，
①若函数满足求的表达式，直接写出的递增区间；
②若存在实数使得成立，求实数的取值范围；
（2）若函数满足当时，恒有，试确定a的取值范围.




21．(本题12分)（2019·江苏·）已知函数()，且满足.
（1）求a的值；
（2）设函数，()，若存在，，使得成立，求实数t的取值范围；
（3）若存在实数m，使得关于x的方程恰有4个不同的正根，求实数m的取值范围.







22．(本题12分)（2020·江苏省通州高级中学）已知定义在R上的偶函数和奇函数满足(且)，且.
（1）求函数和的解析式；
（2）判断并证明函数在定义域上的单调性；
（3）若函数的最小值为，求实数的值.









参考答案
1．B
【分析】
根据指对幂函数的单调性与奇偶性依次讨论个选项即可得答案.
【详解】
解：对于A选项，，为偶函数，故错误；
对于B选项，，为奇函数，且函数均为减函数，故为减函数，故正确；
对于C选项，指数函数没有奇偶性，故错误；
对于D选项，函数为奇函数，在定义域上没有单调性，故错误.
故选：B
2．B
【分析】
讨论时是否符合题意，当时，不等式恒成立的等价条件为且即可求解.
【详解】
当时，等价于不满足对于恒成立，不符合题意；
当时，若对于恒成立，
则即可得：，
综上所述：实数的取值集合是，
故选：B.
3．A
【分析】
首先根据题意得到在为增函数，根据是偶函数得到，从而得到.
【详解】
当时，恒成立，
所以在为增函数.
又因为是偶函数，所以，
即，所以，即.
故选：A
4．A
【分析】
，由结合函数的递减区间可得结果.
【详解】
，
由得，又，
所以函数的单调递减区间为.
故选：．
5．B
【分析】
利用不等式的基本性质，对选项逐一分析，选出正确选项
【详解】
由，
选项A：利用数轴可得，则，根据不等式的性质，，则，故A成立；
选项B：由于，根据“如果，那么”可得，故B不成立；
选项C：由于，两边同乘，可得，，故C成立；
选项D：由，，再由不等式性质可得，故，故D成立.
故选：B
6．A
【分析】
利用基本不等式求得的最小值，把问题转化为恒成立的类型，求解的最大值即可.
【详解】
,
，且a,b为正数，
，
当且仅当，即时，，
若不等式对任意实数x恒成立，
则对任意实数x恒成立，
即对任意实数x恒成立，
，
，
故选：A
【点睛】
本题主要考查了恒成立问题，基本不等式求最值，二次函数求最值，属于中档题.
7．D
【分析】
先判断函数在R上的单调性，再将函数值的大小转化为自变量的大小，分参转化为恒成立问题，进而得到答案.
【详解】
因为在单调递增（增＋增），且函数是R上的奇函数，容易判断函数在R上是增函数.
对任意的,
问题
，
记，则问题
因为，当且仅当时取“=”，
所以.
故选：D.
【点睛】
本题较为综合，到这一步都是比较正常的思路，接下来注意齐次式的处理方式，，目的是为了消元（看成一个量），下一步的换元一定要注意要把分母整体换元，这样后面的运算会简单，最后结合基本不等式或者导数解决即可.
8．A
【分析】
根据函数的定义域和单调函数，可得必存在唯一的正实数满足，，结合，可得，所以函数，由方程
在区间上有两解，则在区间上有两解，设
，作出函数在上的图象， 结合图象，可得实数的取值范围.
【详解】
解:因为函数是定义域为的单调函数，对于任意的，
都有，
所以必存在唯一的正实数满足，，
所以，可得，即，所以，
所以，所以函数，
由方程在区间上有两解，则在区间上有两解，
设，作出函数在上的图象，如图所示，
结合图象，可得方程在区间上有两解，
实数满足.
故选:A

【点睛】
本题考查了对数函数的运算性质及对数函数的图象与性质的综合应用，综合性强，难度较大，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理进行等价转化，本题的解答中根据，等价转换求得函数的解析式是解答的关键.
9．ABC
【分析】
由三角恒等变换得，作出函数的图象，在一个周期内考虑，可得或，即可得解.
【详解】



作出函数的图象，如图所示，

在一个周期内考虑问题，若要使函数的值域为，
则或，
所以的值可以为区间内的任意实数，
所以A、B、C可能，D不可能.
故选：ABC
10．AC
【分析】
根据奇函数，利用已知定义域的解析式，可得到对称区间上的函数解析式，然后结合函数的图象分析各选项的正误，即可确定答案
【详解】
函数是奇函数，故在R上的解析式为：

绘制该函数的图象如所示：

对A：如下图所示直线与该函数有7个交点，故A正确；

对B：当时，函数不是减函数，故B错误；
对C：如下图直线，与函数图交于，
故当的最小值为1时有，故C正确

对D：时，函数的零点有、、；
若使得其与的所有零点之和为0，
则或，如图直线、，故D错误

故选：AC
【点睛】
本题考查了分段函数的图象，根据奇函数确定对称区间上函数的解析式，进而根据函数的图象分析命题是否成立
11．AB
【分析】
利用赋值法以及特殊函数即可得出答案.
【详解】
解：对A，由
令，得 ，
，
为奇函数，故A正确；
对B，令，得



是周期函数，故B正确；
对C，当时，符合题意，但是，故C错误；
对D，当时，符合题意，但是在上是减函数，故D错误.
故选：AB.
【点睛】
关键点睛：对于抽象函数，常用赋值法求解函数相关性质.
12．ACD
【分析】
根据“倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可.
【详解】
对A, 若为的跟随区间,因为在区间为增函数,故其值域为,根据题意有,解得或,因为故.故A正确；
对B,因为函数在区间与上均为减函数,
故若存在跟随区间，
则有,解得：，不合题意，故不存在,B错误.
对C, 若函数存在跟随区间,因为为减函数,故由跟随区间的定义可知,
即,因为,所以.
易得.
所以,令代入化简可得,同理也满足,即在区间上有两根不相等的实数根.
故,解得,故C正确.
对D,若存在“3倍跟随区间”,则可设定义域为,值域为.当时,易得在区间上单调递增,此时易得为方程的两根,求解得或.故存在定义域,使得值域为.
故D正确.
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查了函数新定义的问题,需要根据题意结合函数的性质分析函数的单调性与取最大值时的自变量值,并根据函数的解析式列式求解.属于难题.
13．
【分析】
对函数零点问题等价转化，分离参数讨论交点个数，数形结合求解.
【详解】
由题：函数在区间内有且仅有两个零点，
，
等价于函数恰有两个公共点，
作出大致图象：

要有两个交点，即，
所以.
故答案为：
【点睛】
此题考查函数零点问题，根据函数零点个数求参数的取值范围，关键在于对函数零点问题恰当变形，等价转化，数形结合求解.
14．
【分析】
首先设的对称中心为点，根据题意得到函数是奇函数，从而得到，即可得到，再解方程即可.
【详解】
根据题意，设的对称中心为点
则函数是奇函数，则有，
变形可得，
则有，
必有，；
即函数的对称中心为；
故答案为：.
15．②③
【分析】
根据集合聚点的新定义，结合集合的表示及集合中元素的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意，集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，
①对于某个，比如，
此时对任意的，都有或者，
也就是说不可能，从而0不是的聚点；
②集合，对任意的，都存在（实际上任意比小得数都可以），
使得，∴0是集合的聚点；
③集合中的元素是极限为0的数列，
对于任意的，存在，使，
∴0是集合的聚点；
④中，集合中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大，∴在的时候，不存在满足得的，
∴0不是集合的聚点．
故答案为：②③．
【点睛】
本题主要考查了集合新定义的应用，其中解答中认真审题，正确理解集合的新定义——集合中聚点的含义，结合集合的表示及集合中元素的性质，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与论证能力，属于难题.
16．1
【分析】
①根据分段函数的解析式，求得的值. ②求得的部分解析式，由此画出和两个函数图象，根据两个函数图象有个交点，确定的取值范围.
【详解】
①.
②当时，，所以.
当时，，所以.
当时，，所以.
当时，，所以.
画出和两个函数图象如下图所示，由，由.由图可知，当两个函数图象有个交点，也即函数恰有个零点时，的取值范围是
故答案为：（1）；（2）

【点睛】
本小题主要考查分段函数求函数值，考查分段函数解析式的求法，考查分段函数的图象与性质，考查函数零点问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
17．（1）min；（2）80(次)；（3）答案见解析；（4）收缩压为140,舒张压为90.
【分析】
（1）直接利用公式求周期；
（2）直接套公式求频率；
（3）用五点法作图；
（4）由图可知直接读出结果.
【详解】
.
（1）由于,代入周期公式,所以函数 的周期为min；
（2）每分钟心跳的次数即为函数的频率 (次)；
（3）列表：
t
0





115
140
115
90
115
描点、连线并向左右扩展得到函数的简图如图所示：

（4）由图可知此人的收缩压为140,舒张压为90，收缩压和舒张压均高于标准值.
18．（1）9；（2）具体见解析.
【分析】
（1）将原式化为，进而通过基本不等式构造关于 的二次不等式，进而得到答案；
（2）对题目进行分析，进而对进行化简，然后运用基本不等式，最后变形即可.
【详解】
（1）因为a，b，x，y都是正实数，原式化简得：，
所以，则，
当且仅当x=y=3时取“=”
（2）因为a，b，x，y都是正实数，所以
，则，当且仅当bx=ay时取“=”.
19．（1）；（2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；
（3）.
【分析】
（1）由不等式 的解集为，分和两种情况讨论，即可求解；
（2）由不等式，可得，分，和三种情况讨论，结合一元二次不等式的解法，即可求解；
（3）由题设条件对任意的，不等式恒成立，转化为不等式恒成立，利用换元法和基本不等式求得的最大值，即可求解.
【详解】
（1）①当时，即时，，不合题意；
②当时，即时，满足，
即，解得，即实数的取值范围是.
（2）因为不等式，即，即，
①当时，即时，不等式的解集为；
②当时，即时，不等式可化为，
因为，所以不等式的解集为；
③当时，即时，不等式可化为
因为，可得，所以，
所以不等式的解集为.
（3）不等式的解集为，若，
即对任意的，不等式恒成立，
即恒成立，
因为恒成立，所以恒成立，
设 则，
所以，
因为，当且仅当时，即时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
所以当时，的最大值为，
所以的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合与集合件的关系，以及基本不等式的应用，着重考查分类讨论和转化思想的应用，属于中档试题.
20．（1）①，增区间为；②；（2）.
【分析】
（1）①应用换元法，令即可求的表达式，根据含对数的复合函数单调性可写出的递增区间；②由参变分离得，根据在闭区间存在使不等式成立，即即可求的取值范围；
（2）由题设求得，利用对数函数的性质可知，再由不等式恒成立，结合二次函数的性质列不等式组求a的取值范围.
【详解】
解：（1）①由题意知：，若，则，
∴，即，
∴函数单调递增区间为.
②由题设有，，即有，
，则，即，
∴由使不等式成立知：当时，即可.
∴m取值范围是
（2）由题意知：，令，则，即，
∴由题设不等式中可知：，而
，又，
∴，即有，对恒成立，若令，其对称轴为且开口向上，而，
∴在区间上递增，
∴上式等价于，解得.
【点睛】
关键点点睛：
（1）应用换元思想求函数解析式，结合对数型复合函数的单调性确定单调区间；由参变分离法有，根据存在使不等式能成立，即在对应区间内只需求参数范围；
（2）根据对数函数的性质，结合不等式在闭区间内恒成立，列不等式组求参数范围.
21．（1）1；（2）；（3）
【分析】
（1）根据题意，代入函数值，即可求解；
（2）根据题意，求解函数和值域，若存在，，使得成立，转化为值域有交集，即可求解参数取值范围；
（3）由（1）分析函数的值域，可知时，有两根；再观察方程，同除后方程可化简为，只需使方程在上有两根，即可求解.
【详解】
（1）由，得或0.
因为，所以，所以.
（2），
所以;故的值域为
因为时，在上单调递增，，
所以的值域为，由题意，
考虑到，所以，解得;
综上:实数t的取值范围是
（3）当时，，在上为增函数;
当时，.
可得在上为减函数，当时，.
方程可化为，
即.
设，方程可化为.
要使原方程有4个不同的正根，
则关于s方程在有两个不等的根，，
则有，解得，
所以实数m的取值范围为.
【点睛】
（1）考查计算能力，基础题；（2）转化与化归思想解题，考查求函数值域，交集不空的参数范围，属于中等题；（3）转化方程与已知函数关联，考查函数与方程思想，转化与化归思想，一元二次方程根的限定条件，综合性较强，属于难题.
22．（1）和；（2）增函数，证明见解析；（3）.
【分析】
（1）利用奇偶函数的定义列出方程组求解即可；
（2）利用函数单调性的性质证明即可；
（3）通过代换转化为二次函数的最小值问题进行求解
【详解】
（1）由(且)，可得，
又是偶函数和是奇函数，故(且)，
由解得，
由，解得

（2）在上递增，证明如下：
设，则





在上是增函数
（3）

令，则

令，
，
若，则，则，
若，则，则，