福建省宁德市2022届九年级上学期第一次质量检测数学试卷(含答案)

宁德市2021－2022学年度第一学期九年级第一次质量检测

数学试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页，完卷时间120分钟，满分150分．

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 如果，那么的值为（   ）

A.  B.  C.  D.

2. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（   ）

A. AB＝CD B. OA＝OC，OB＝OD

C. AC=BD D. ，AD＝BC

3. 为增强学生环保意识，某中学举办了环保知识竞赛，某班共有3名学生（2名男生，1名女生）获奖．老师若从获奖的3名学生中任选两名作为班级的“环保小卫士”，则恰好是一名男生、一名女生的概率为（   ）

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝6，D为BC边上的一点，且∠BAC＝∠ADC．若△ADC的面积为a，则△ABC的面积为（ ）

A. 6a B. 4a C.  D.

5. 若m是方程的一个根，设，，则p与q的大小关系为（   ）

A. p＜q B. p＝q C. p＞q D. 与c的取值有关

6. 如图，在反映特殊四边形之间关系知识结构图中，①②③④表示需要添加的条件，则下列描述错误的是（ ）

A. ①表示有一个角是直角 B. ②表示有一组邻边相等

C. ③表示四个角都相等 D. ④表示对角线相等

7. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）

A. k＞ B. k≥ C. k＞且k≠1 D. k≥且k≠1

8. 三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程一个实数根，则该三角形的面积是（    ）

A. 24 B. 48 C. 24或 D.

9. 如图，△ABC中，AB=6，AC=4，以BC为对角线作正方形BDCF，连接AD，则AD长不可能（   ）

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

10. 七巧板是中国传统数学文化的重要载体，利用七巧板可以拼出许多有趣的图案．现用图1所示的一副七巧板拼成如图2所示的六边形，若图1中七巧板的总面积为16，则图2中六边形的周长为（    ）

A.  B.  

C.  D.

第Ⅱ卷

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．

11. 如图，在中，，是边的中点，若，则______．

12. 方程的根是_____．

13. 在一个不透明的布袋中，蓝色，黑色，白色的玻璃球共有20个，除颜色外其他完全相同．将布袋中的球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色再放回去，通过多次摸球试验后发现，摸到黑色、白色球的频率分别稳定在10%和35%，则口袋中蓝色球的个数很可能是_____．

14. 小白有两张卡片，分别标有数字1，2；小黄有三张卡片，分别标有数字3，4，5．两人各自随机地取出一张卡片，取出的两张卡片上数字之积为奇数的概率是______．

15. 《算学宝鉴》全称《新集通证古今算学宝鉴》，王文素著,完成于明嘉靖三年,全书12本42卷，近50万字，代表了我国明代数学的最高水平．《算学宝鉴》中记载的用导数解高次方程的方法堪与牛顿媲美，且早于牛顿140年．《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长十二步，问长阔共几何？”

译文：一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽的和是多少步？如果设矩形田地的长为x步，可列方程为_____________．

16. 如图，在边长为10的菱形中，为对角线，，、分别是边，上的点，，连接交于点，当最短时，长度为______．

三、解答题：本题共9小题，共86分．

17. 解方程: 

18. 已知关于x 的一元二次方程x2 -5x + m = 0．

（1）若方程有实数根，求实数m 取值范围；

（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足3 x1-2x2 =5，求实数m 值．

19. 如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，，求菱形的面积．

20. 第七次全国人口普查于2020年11月1日开展，某学校积极响应所在社区的号召，选派部分教师参与普查，其中数学组有4位教师志愿报名，分别记为甲、乙、丙、丁．

（1）若该校从数学组教师志愿者中抽调1位教师作为普查员，求教师甲被选中的概率．

（2）若该校从数学组教师志愿者中抽调2位教师作为普查员，请用列表或画树状图的方法，求出教师甲和乙被选中的概率．

21. 如图，矩形ABCD中，AB=6，点E在AB上，且BE=2，四边形EFGH为菱形，且点F，H分别在边BC，AD上．

（1）当点F的位置如图1所示，请用尺规作出菱形EFGH．（保留作图痕迹，不写作法）

（2）若菱形EFGH为正方形，求四边形EFGH的面积．

22. “中秋节”前，某超市第一次以80元/盒的进价购进一款月饼礼盒500盒，以120元/盒的售价全部销售完．销售人员根据市场调研发现，该款月饼礼盒每盒的售价在120元基础上每降价5元，销量就会相应增加100盒，该超市计划第二次购进该款月饼礼盒，但不超过650盒．

（1）在进价不变的情况下，第二次实际售价在第一次基础上降了a元时，则该超市这款月饼每盒利润为           元，预计销售量为            盒． 

（2）在（1）的条件下，若第二次的销售总利润比第一次增加5%，求a的值．

23. 四边形一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等），我们就把这条对角线称为这个四边形的“理想对角线”．

（1）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝70°，AB=AD，AD∥BC，当∠ADC=145°时．

求证：对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线”．

（2）如图2，四边形ABCD中，AC平分∠BCD，当∠BCD与∠BAD满足什么关系时，对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”，请说明理由．

24. 已知关于x的一元二次方程:．

（1）求证：该方程始终有两个实数根．

（2）已知该方程有一个固定解，求出这个解．

（3）若，设方程两根为，，且，当整数n至少可取到2个整数，求a的取值范围．

25. 如图，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，．

（1）当BE=BF时，求证：AE=CF；

（2）若AB=4，求的值；

（3）延长BF交CD于点G，连接EG．判断线段BE与EG的数量关系，并说明理由．

答案

1-10 BBABA  CCCDD

11. 3

12.

13.

14.

15. x（x-12）=864

16.

17解：

，

18. （1）∵一元二次方程有实数根，

∴，

∴，

解得；

（2）∵方程两实数根为x1，x2，

∴，

∴，

∵3 x1-2x2 =5，

∴，

解得，

∴，

∵，

∴m=6．

19. 解：（1）证明：∵是的中点，

∴，

∵，

∴，

∵在和中，

，，，

∴，

∴，

∴四边形是平行四边形，

∵，是的中点，

∴，

∴平行四边形是菱形；

（2）解：设AF到CD的距离为h，
∵AF∥BC，AF=BD=CD，∠BAC=90°，
∴S菱形ADCF=CD•h=BC•h=S△ABC=AB•AC=×12×16=96．

20. 解：（1）教师甲被选中的概率为．

（2）

因为由表可知，一共有12种结果.每种结果出现的可能性相同，其中甲，乙被选中的可能结果有2种，分别为（甲，乙），（乙，甲），所以甲，乙被选中的概率为，即.

21. 解：（1）如图四边形EFGH就是所求作的图形．

 (2)∵四边形ABCD是矩形，

 ∴∠A=∠B=90°，

∴∠AEH+∠AHE=90°，

如图，四边形EFGH正方形，

∴EF=GH，∠HEF=90° ，

∴∠AEH+∠BEF=90°，

∴∠BEF=∠AHE，

∴△BEF≌△AHE，

.∴BF=AE，

∵AE=AB-BE=6-2=4，

∴BF=4，

在Rt△BEF中，

∴，

∴四边形EFGH的面积为20．

22. (1) (40-a)， 500+20a；

（2）第一次利润为： 

依题意可得：

整理得：   

解得：，

∵ 500+20a≤650

∴a≤7.5

∴a=5

答：a的值为5．

23. （1）证明：∵AB=AD,

∴∠ABD=∠ADB

∵AD∥BC

∴∠ADC+∠BCD=180°

∴∠ADB =∠DBC

∴∠ABD=∠DBC

∵∠ABC=70°，∠ADC=145°

∴∠ADB=∠ABD=∠DBC=35°

∴∠BCD=180°-∠ADC=180°-145°=35

∴

∴对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线”

（2）解：当时，

对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”

理由如下：∵AC平分∠BCD

∴∠ACB=∠ACD

∵

∴∠ACB+∠BAD=180°

∴∠ACB+∠BAC+∠CAD=180°

∵△ABC中，∠ACB+∠B+∠BAC=180°

∴∠CAD=∠B

∴△ABC∽△DAC

∴对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”．

24. （1）解： ，

∴该方程始终有两个实数根，

（2）法一：∵，

∴ ，

∴， ，

∴方程的固定解为x=2，

法二：，

∴ ，

∴，

 ∵a≠0，

∴，，

∴方程的固定解为x=2，

法三：取k=3，a=-1，可得方程：，解得：，;

取k=2，a=-2，可得方程：，解得：，，

可得：方程的公共解为.

检验：将代入，

有左边=

∴方程的固定解为x=2，                          

（3）解：由（2）得， ，

∵，，

∴，

∴，

2<n<，

∵n至少取到2个整数，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

25. 解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠BAE=∠BCF=．     

∵BE= BF，

∴∠BEF=∠BFE．

∴∠AEB=∠CFB．

∴△ABE ≌△CBF．

∴AE=CF．

（2）∵∠BEC=∠BAE+∠ABE =+∠ABE，

∠ABF=∠EBF+∠ABE=+∠ABE，

∴∠BEC=∠ABF．

∵∠BAF=∠BCE=，

∴△ABF∽△CEB．  

∴．

∴=16．    

（3）如图2

∠EBF=∠GCF=45°，

∠EFB=∠GFC，

∴△BEF∽△CGF.

∴.

即.

∵∠EFG=∠BFC，

∴△EFG∽△BFC.

∴∠EGF=∠BCF=45°.

∴∠EBF =∠EGF.

∴EB=EG.