重庆市长寿中学2022-2023学年高三数学上学期12月月考试题(Word版附解析)
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数学试题
一、单选题(本大题共8小题,共40分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1.已知集合,集合,则( )
A. B. C. D.
2.复数在复平面内对应点的点是,则复数是虚数单位的虚部为( )
A. B. C. D.
3.若两个正实数,满足,且不等式恒成立,则实数的取值范围为( )
A. 或 B.
C. 或 D.
4.如图所示,等腰梯形中,,点为线段上靠近的三等分点,点为线段的中点,则( )
A. B.
C. D.
5.某地高考规定每一考场安排名考生,编成六行四列就坐若来自同一学校的甲、乙两名学生同时排在“考点考场”,那么他们两人前后左右均不相邻的概率是( )
A. B. C. D.
6.在中,内角,,所对的边分别为,,,若,,则当取最大值时,外接圆的面积( )
A. B. C. D.
7.如图所示,在直角梯形中,,、分别是、上的点,,且如图将四边形沿折起,连结、、如图在折起的过程中,下列说法中错误的个数是( )
平面;
、、、四点不可能共面;
若,则平面平面;
平面与平面可能垂直.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8.已知函数,若关于的函数有个不同的零点,则实数的取值范围是( )
A. 或 B. 或
C. D.
二、多选题(本大题共4小题,共20分。在每小题有多项符合题目要求)
9.已知函数,下列叙述正确的有( )
A. 函数是偶函数
B. 函数的周期为
C. 函数在区间上单调递减
D. ,,
10.已知为椭圆的左焦点,直线与椭圆交于,点,轴,垂足为,与椭圆的另一个交点为,则( )
A. 的最小值为 B. 面积的最大值为
C. 直线的斜率为 D. 直线与直线的斜率之积为定值
11.已知二项式的展开式中各项系数的和为,则下列结论正确的是( )
A. B. 展开式中二项式系数和为
C. 展开式中项的系数为 D.展开式中有项有理项
12.某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为吨,最多为吨,月处理成本元与月处理量吨之间的函数关系可近似表示为:,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元.以下判断正确的是( )
A. 该单位每月处理量为吨时,才能使每吨的平均处理成本最低
B. 该单位每月最低可获利元
C. 该单位每月不获利也不亏损
D. 每月需要国家至少补贴元才能使该单位不亏损
三、填空题(本大题共4小题,共20分)
13.已知函数在上具有单调性,则实数的取值范围是 .
14.已知函数为奇函数,设,则 .
15.若,,,且,,共面,则 .
16.已知函数是定义在的奇函数,当时,,则不等式的解集为 .
四、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.本小题10分已知等差数列和等比数列满足,,,.
求数列,的通项公式;
设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列,记数列的前项和为,求.
18.本小题12分如图:某公园改建一个三角形池塘,,百米,百米,现准备养一批观赏鱼供游客观赏.
若在内部取一点,建造连廊供游客观赏,如图,使得点是等腰三角形的顶点,且,求连廊的长单位为百米;
若分别在,,上取点,,,并连建造连廊,使得变成池中池,放养更名贵的鱼类供游客观赏,如图,使得为正三角形,求的面积最小值.
19.本小题12分月日为我国的植树节,某校为增强学生的环保意识,普及环保知识,于该日在全校范围内组织了一次有关环保知识的竞赛,现从参赛的所有学生中,随机抽取人的成绩满分为分作为样本,得到成绩的频率分布直方图,如图所示,其中样本数据分组区间为,,,,,.
求频率分布直方图中的值,并估计该校此次环保知识竞赛成绩的第百分位数;
在该样本中,若采用分层抽样的方法,从成绩低于分的学生中随机抽取人,查看他们的答题情况,再从这人中随机抽取人进行调查分析,求这人中至少有人成绩在内的概率.
20.本小题12分如图,已知平行六面体中,底面是边长为的菱形,,.
求线段的长
求异面直线与所成角的大小.
21.本小题12分已知椭圆:的左、右顶点分别为,,上、下顶点分别为,,四边形的周长为.
求的方程;
设为上异于,的动点,直线与轴交于点,过作,交轴于点试探究在轴上是否存在一定点,使得,若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
22.本小题12分若函数和的定义域均为,关于和的“线函数”定义如下:存在实数,使得.
函数,线函数,求实数的值;
若关于和的线函数同时满足以下条件:是偶函数;的最小值为求的解析式.
重庆市长寿中学校高三上期·12月月考数学答案
1.C
解:因为集合,所以,
在集合中,因为,得,即,
又,所以,,,
即.
故选C.
2. A
解:根据题意,,
的虚部为.
故答案选:A.
3.D
解:两个正实数,满足,,
,
当且仅当,即,时等号成立,
,
又不等式恒成立,则应,
解得,
故选:D.
4.B
解:由题意可得,,
,
故选B.
5.B
解:根据甲的位置不同分三种情况讨论:
甲坐在四个角的位置,有种坐法,而乙有种坐法,则有种坐法
甲坐在四条边上但不是四个角上,有种坐法,乙有种坐法,则有种坐法
甲坐在中间的位置,有种坐法,乙有种坐法,则有种坐法
共有种
甲、乙共有种,
两人前后左右均不相邻的概率是.
故选B.
6.B
解:令,则,
所以,则,
当且仅当时取得等号.
又,故.
又,所以当时,取得最大值,
故此时由正弦定理可得的外接圆的直径为,
所以此时外接圆的面积为.
故选:B.
7.A
解:对于,在图中记与的交点中点为,取的中点为,连结,
易证得四边形为平行四边形,
即,面,面,平面,故正确;
对于,如果四点共面,由平面,,
与已知矛盾,故正确;
对于,在梯形中,易得,
又,,
平面,
即有,
又,与相交,
平面,则平面平面,故正确;
对于,延长至使得,连结、,
易得平面平面,过作于,
则平面.
若平面平面,
则过作直线与平面垂直,其垂足在上,矛盾,故错误.
故选:A.
8.D
解:作出函数的大致图象,如图所示:
设,则当或时,方程只有个解,
当时,方程有个解,
当时,方程有个解,
当时,方程无解,
关于的函数有个不同的零点,
关于的方程在上有两个不相等的根,
,解得:,
即实数的取值范围是,
故选D.
9.AC
解:函数定义域为,且,即A正确
易知,,所以,即B错误
当时,,则,所以在该区间上单调递减,即C正确
由B所举例可知,D错误.
故选AC.
10.BCD
解:如图所示,
对于,设椭圆的右焦点为,连接,,则四边形为平行四边形,
,
,当且仅当时等号成立,故A错误;
对于,由,得,,
的面积,当且仅当时等号成立,故B正确;
对于,设,则,,故直线的斜率,故C正确
对于,设,则,
又因为点和点在椭圆上,所以,,
得:,
因为,则,得,所以,
直线与直线的斜率之积为定值,故D正确.
故本题选BCD.
11.BD
解:令,得,所以,A错误;
展开式中二项式系数和为,B正确;
展开式的通项公式为,令,解得,展开式中项的系数为,C错误.
展开式的通项公式为,当,,时,为有理项,D正确;
故选BD.
12.AD
解:由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为
,
当且仅当,即时,能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为元.
设该单位每月获利为,
则
,
因为,所以当时,有最大值元.
故该单位不获利,需要国家每月至少补贴元,才能不亏损.
故选AD.
13.
解:函数的对称轴为,
则或,
解得或.
则的取值范围为.
故答案为.
14.
解:函数为奇函数,
,
所以,
即,
则,
,
,
则,
则,
所以,
故答案为.
15.
解:,,共面,且易知,不共线,
存在实数使得,
解得.
故答案为:.
16.
解:由已知当时,,令,
则当时,,
所以在上单调递减.
由是定义在的奇函数,,
故是定义在的偶函数.
令,则关于对称,且在上单调递减,
当时,,则,
即,
即,所以,得;
当时,,则,
即,
由上可得在上单调递增,
即,所以,得,
故不等式解集为.
17.解:设等差数列的公差为,等比数列的公比为,
由,,,可得,,
则,,,,;
由题意可得的前几项为,,,,,,,,,,,,
即在与之间有项,可得的第项在与之间,
所以
.
18.解:点是等腰三角形的顶点,且,,
且由余弦定理可得:,
解得:,又,
在中,,,,在中,由余弦定理得
,解得,,,
连廊的长为百米.
解:设图中的正三角形的边长为,,
则,,
设,可得,,,
在中,由正弦定理得:,即,
即,化简得:,
,
其中,为锐角,且.
19.解:由频率分布直方图可得,,
则,
前组的频率和为,
第组频率为,
所以第百分位数位于第组内,
记第百分位数为,则,解得,
即第百分位数为;
由频率分布直方图可知,
成绩在,,内的频率分别为,,,
采用分层抽样的方法从样本中抽取的人,成绩在内的有人,记为,
成绩在内的有人,记为、,
成绩在内的有人,记为、、,
则从成绩在内的人随机抽取人,共有:
、、、、、、、、、、、、、、,共有种,
人中至少有人成绩在内,共有:
、、、、、、、、、、、,有种,
记事件“人中至少有人成绩在内”,则.
20.解:设,则,
又,
所以,
又,
所以
,
所以线段的长为.
,,
所以
,
所以,
即异面直线与所成角的角为.
21.解:依题意,.
由椭圆的对称性可知,四边形为菱形,其周长为.
所以,所以的方程为.
设,则,
直线的方程为,故,
由知的方程为,故,
假设存在,使得,
则
,解得.
所以当的坐标为时,.
22.解:函数,,线函数,
可得,
即有,,,
解得;
关于和的线函数,
可得,由为偶函数,
可得,
即有,
即为,化为,
则,
又,
由的最小值为,
可得,由,
当且仅当时函数取得最小值,即,
故F
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