2023天门外国语学校高二上学期12月月考数学试题含答案

天门外国语学校2022年秋季学期高二12月考试

数学

一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 下列命题：

①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件．

其中正确命题的个数是(　　)

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】根据互斥之间和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案．

【详解】由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A＝{摸到红球或黄球}，事件B＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A与B不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1.

【点睛】本题主要考查了互斥事件和对立事件的基本概念、互斥事件与对立时间的关系及其应用，其中熟记互斥事件和对立事件的概念和关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．

2. .如图，在平行六面体中，（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】用向量加法的三角形法则和平行四边形法则即可解决.

【详解】.

故选：A

3. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据投影向量的公式求解即可

【详解】在上投影向量

故选：A

4. 已知椭圆一个焦点为，则的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据椭圆方程可知值，根据焦点坐标得到值，即可求出代入离心率公式求解.

【详解】由已知可得，，则，所以，

则离心率．

故选：C.

5. 北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则四棱锥的总曲率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题中给出的定义，由多面体的总曲率计算求解即可．

【详解】解：由题意，四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，

因为四棱锥有5个顶点，5个面，其中4个三角形，1个四边形，

所以四棱锥的表面内角和由4个三角形和1个四边形组成，

所以面角和为，

故总曲率为．

故选：B.

6. 用一个圆心角为，面积为的扇形（为圆心）围成一个圆锥（点恰好重合），该圆锥顶点为，底面圆的直径为，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据扇形的弧长等于它围成的圆锥的底面周长，求出圆锥的底面半径、高，得到，利用二倍角公式即可求出．

【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，高为．

∵扇形的圆心角为

∴，∴

∵扇形的弧长等于它围成的圆锥的底面周长

∴，∴

∴

∴

∴．

故选：A．

7. 直线和上各有一点（其中点的纵坐标分别为且满足），的面积为4，则的中点的轨迹方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可设设，则，由三角形面积公式求解即可

【详解】因为直线和互相垂直，

所以，

又，

所以点在一，四象限或者二，三象限，

设，

因为为中点，

所以，

所以

因为，

所以，

所以，

所以，

所以，即，

故选：B

8. 设过点的直线与圆相交于，两点，则经过中点与圆心的直线的斜率的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据圆的方程求出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离为半径求出与圆相切的直线斜率，如图，结合过AB中点与圆心的连线必垂直于弦AB可得，即可求解.

【详解】由圆，知圆心，半径，

设过点且与圆相切的直线方程为，即，

则点到切线的距离为，

解得或，所以，

因为过AB中点与圆心的连线必垂直于弦AB，

所以，得.

故选：B.

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9. 已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（    ）

A. 当时，曲线C是椭圆

B. 当或时，曲线C是双曲线

C. 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则

D. 若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则

【答案】BC

【解析】

【分析】根据表示椭圆可求得或，判断A; 表示双曲线可求得或，判断B;根据表示椭圆时焦点的位置可列出相应的不等式组，求得参数范围，判断C,D.

【详解】当曲线C是椭圆时，解得或，故A错误；

当曲线C是双曲线时，，解得或，故B正确；

若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则解得，故C正确；

若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则，解得，故D错误．

故选:BC．

10. 在平面直角坐标系中，已知圆上有且仅有四个点到直线的距离为1，则实数的取值可能是（    ）

A. 14 B.  C. 12 D.

【答案】CD

【解析】

【分析】由圆方程求出圆心，求出半径，利用点到直线的距离公式根据题意列出不等式即可求得答案;

【详解】圆的圆心为 ，半径等于2，

圆心到直线的距离 ，

要使圆上有且仅有四个点到直线的距离为1，应有，

即 ，则结合选项可知适合题意，

故选∶ ．

11. 已知在直三棱柱中，底面是一个等腰直角三角形，且分别为的中点.则（    ）

A. 与平面夹角余弦值为

B. 与所成角为

C. 平面

D. 平面平面

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A、B：建系，利用空间向量处理相关角度问题；对于C：根据线面平行的判定定理证明；对于D：利用线面垂直的判定定理先证平面，可得，再证平面，进而说明结果.

【详解】对于A、B：如图1，建立空间之间坐标系，设，则有：

∴

设平面的法向量为

则有，令，则

∴

则

∴与平面夹角的正弦值为，则余弦值为，A错误；

∵

∴与所成角的余弦值为，则夹角为，B正确；

如图2：

对于C：连接，设，连接

分别为的中点，则且

∴为平行四边形，则O为的中点

又∵F为的中点，则

平面，平面

∴平面，C正确；

对于D：平面即为平面

由题意可得：

，平面

∴平面

平面，则

又∵为正方形，则

，平面

平面

平面

∴平面平面，即平面平面，D正确；

故选：BCD.

12. 月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐.一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是（    ）

A. 椭圆的离心率是

B. 点关于直线的对称点在半圆上

C. 面积的最大值是

D. 线段AB长度的取值范围是

【答案】ACD

【解析】

【分析】由题意可求出半圆和椭圆的方程，即可求得椭圆离心率，判断A；求出关于直线的对称点即可判断B；设坐标，表示出面积，利用基本不等式求得其最大值，判断C；结合半圆的半径以及椭圆的长半轴长，可确定线段AB长度的取值范围，判断D；

【详解】由题意得半圆的方程为，

设椭圆的方程为，

所以 ，所以，

所以椭圆的方程为．

A．椭圆的离心率是，故A正确；

B．设关于直线对称点为，

可得且，

解得，即对称点为，

因为半圆的方程为，

所以对称点为不在半圆上，故B错误；

C．由题得面积，

设，

设，

所以，

所以

，当且仅当时等号成立，故C正确；

D．当时，；当时，，

所以线段AB长度的取值范围是，故D正确；

故选：ACD.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，

13. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线的标准方程为__________.

【答案】

【解析】

【分析】依题意可得，，即可求出、的值，从而得解.

【详解】双曲线的渐近线方程为，

可得，其右焦点为，可得，又，

解得，，

则双曲线的方程为：．

故答案为：．

14. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点.当底面ABC水平放置时，液面高为__________.

【答案】9

【解析】

【分析】先根据条件将水的实际体积算出，再根据棱柱的体积公式即可算出当底面ABC水平放置时，液面高度.

【详解】设的面积为x，底面ABC水平放置时，液面高为h

则水的体积为

当底面ABC水平放置时，水的体积为，解得

故答案为:9

15. 若直线l：ax－y＋2－a＝0与圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9相交于A，B两点，且∠ACB＝90°，则实数a的值为________.

【答案】1或7

【解析】

【分析】根据题干条件得到圆心C到直线l：ax－y＋2－a＝0的距离为，利用点到直线距离公式列出方程，求出实数a的值.

【详解】由题意，得圆心C(3，1)，半径r＝3且∠ACB＝90°，

则圆心C到直线l：ax－y＋2－a＝0的距离为，

即，解得:a＝1或a＝7.

故答案为：1或7.

16. 某电视台举办知识竞答闯关比赛，每位选手闯关时需要回答三个问题．第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得0分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得分．规定，每位选手回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．若某位选手回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率是，且各题回答正确与否相互之间没有影响．则该选手仅回答正确两个问题的概率是______；该选手闯关成功的概率是______．

【答案】    ①.     ②. ##0.5

【解析】

【分析】利用独立事件乘法公式及互斥事件加法求选手仅回答正确两个问题的概率，分析知只需第三问回答正确则选手即可闯关成功，否则失败，即可确定选手闯关成功的概率.

【详解】由题设，选手仅回答正确两个问题的概率，

由题意，只要第三问回答正确，不论第一、二问是否正确，该选手得分都不低于30分，

只要第三问回答错误，不论第一、二问是否正确，该选手得分都低于30分，

所以选手闯关成功，只需第三问回答正确即可，故概率为.

故答案为：，

四､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程和演算步骤

17. （1）若直线过点，且与直线平行，求直线的斜截式方程；

（2）若直线过点，且与圆相切，求直线的方程.

【答案】（1）；（2）或者

【解析】

【分析】（1）设直线方程为：，将代入方程，并把方程化为斜截式即可；

（2）分斜率存在与斜率不存在讨论求解，当斜率存在时利用直线到圆心距离等于半径求解即可

【详解】（1）设直线方程为：，将代入方程，得，

所以直线方程为，

化为斜截式得，

所以直线的斜截式方程；

（2）①当直线的斜率不存在时，显然满足题意的直线的方程为，

②当直线的斜率存在时，设直线方程的方程为：，即

由题意可知原点到直线的距离等于单位圆的半径，即，

解得，此时直线的方程为.

综合上述直线的方程为或者

18. 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：

(1)长轴是短轴的3倍且经过点；

(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为；

【答案】(1) 或　(2) 或

【解析】

【分析】

（1）对椭圆的焦点位置分两种情况讨论，求出a,b,c即得椭圆的标准方程；（2）由已知有,解方程得a,c的值，即得椭圆的标准方程.

【详解】(1)若焦点在x轴上，设方程为．

∵椭圆过点，

∴∵，

∴.∴方程为.

若焦点在y轴上，设方程为．

∵椭圆过点，∴，

又，∴，∴方程为.

综上所述，椭圆方程为或.

(2)由已知有，解得，

从而，∴所求椭圆方程为或.

【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查椭圆的几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

19. 已知两圆和.求：

（1）m取何值时两圆外切？

（2）当m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.

【答案】（1）   

（2），

【解析】

【分析】（1）分别求出两圆的圆心及半径，由两圆外切得圆心距等于半径之和，即可得解；

（2）两圆方程相减即可得公共弦所在直线方程，再根据圆的弦长公式计算即可求出公共弦长.

【小问1详解】

解：两圆的标准方程分别为，

圆心分别为，

半径分别为和，

当两圆外切时，

＝＋，

解得；

【小问2详解】

解：两圆的公共弦所在直线的方程为，

即，

圆的圆心到公共弦所在直线的距离

，

公共弦长为.

20. 如图，已知以为圆心，为半径的圆在平面上，若，且，、为圆的半径，且，为线段的中点．求：

（1）异面直线，所成角的余弦值；

（2）点到平面的距离；

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)根据题意，建立空间直角坐标系，找到直线，的方向向量，代入向量的夹角公式，计算得答案；

(2)利用等体积法计算点到平面的距离；

【小问1详解】

解：由且可知两两垂直，

所以，以为原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，

由题意，

因为为线段的中点，所以，

所以，

，

所以，异面直线，所成角的余弦值为.

【小问2详解】

解：根据题意，，

所以，在等腰中，

所以，，

，

设点到平面的距离为，因为，

因为

所以，

所以，解得，

所以点到平面的距离；

21. 如图，在四棱锥中，平面平面，是的平分线，且.

（1）若点为棱的中点，证明：平面；

（2）已知二面角的大小为，求平面和平面的夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析.   

（2）.

【解析】

【分析】(1)延长交于点，连接,证明即可；

(2)以的中点为为原点 ，建立空间直角坐标系，用向量法解决问题.

【小问1详解】

延长交于点，连接，

在中，

是的平分线，且，

是等腰三角形，点是的中点，

又是的中点，

，

又平面平面，

直线平面.

【小问2详解】

在中，，

则，即，

由已知得，

又平面平面平面

所以平面，即，

所以以为二面角的平面角，

所以，

又，所以为正三角形，

取的中点为，连，则平面

如图建立空间直角坐标系，

则，

所以，

设分别为平面和平面的法向量，则

，即，取，则，

，即，取，则，

所以.

则平面和平面所成夹角的余弦值为.

22. 已知点，点M是圆A：上任意一点，线段MB的垂直平分线交半径MA于点P，当点M在圆A上运动时，记P点的轨迹为E.

（1）求轨迹E的方程；

（2）作轴，交轨迹E于点Q（Q点在x轴的上方），直线与轨迹E交于C、D（l不过Q点）两点，若CQ和DQ关于直线BQ对称，试求m的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用椭圆定义即可求得轨迹E的方程；

（2）先将直线的方程与轨迹E的方程联立，再利用设而不求的方法表示，进而得到的关系式，从而求得m的值.

【小问1详解】

圆的圆心，半径，

点为线段的垂直平分线与半径的交点，，

，

点的轨迹是以､为焦点的椭圆，设其方程为，

则，，所以，，，

因此，轨迹的方程为.

【小问2详解】

设、，轴，点在轴的上方，

将代入方程，可得，则，

联立可得，

，可得，

由韦达定可得，.

因为、关于直线对称，则，

则，

又，，

则，

即，

化简得： ，即

则或，

当时，，

此时，直线的方程为，

直线过点，不合题意.

综上所述，.