2022届安徽省安庆市高考二模数学（理）试题（含答案）

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2022年安庆市高三模拟考试（二模）

数学试题（理）

命题：安庆市高考命题研究课题组

本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷

一、    选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，，则

A.            B.             C.           D.

2.复数满足（为虚数单位），则实数

A.               B.                C.              D.

3.命题：，，则为

A.，                     B.，   

C. ，                   D.，

4.抛物线的焦点为，点在抛物线上．若，则直线的斜率为

A.           B.           C.            D.   

5.已知，，则

A.            B.             C.             D.或

6.圆锥被过顶点的一个截面截取部分后所剩几何体的三视图如图所示，则截取部分几何体的体积为

A.             B.

C.             D.

7.我国唐代著名的数学家僧一行在著作《大衍历》中给出了近似计算的“不等间距二次插值算法”,用数学语言可表述为：若，，，则在闭区间上函数可近似表示为：，其中，，.已知函数，，分别取，，，则用该算法得到

A.               B.               C.             D.

8.已知函数，（）的最小正周期为，将其图象沿

轴向右平移（）个单位，所得图象关于直线对称，则实数的最小值为

A．              B．              C．            D．

9.已知，分别是双曲线（，）的右顶点和左焦点，是坐标原点. 点在第一象限且在的渐近线上，满足.若平分，则双曲线的离心率为

A.              B.              C.                D.              

10.已知等比数列，公比为，其中，均为正整数，且，，成等差数列，则等于

A.96               B.48              C.16                D.8

11.棱长为的正方体中， ，分别是棱，的中点，下列命题中错误的是

A.                            B. //平面    

C. 平面                    D. 四面体的体积等于      

12.若存在两个正实数x，y使得等式成立，则实数a的取值范围是

A. B. C. D.

第Ⅱ卷

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知平面向量，为单位向量，，若，垂直，则，的夹角为          .

14.立德中学开展学生数学素养测评活动，高一年级测评分值（满分100分）近似服从正态分布，正态曲线如图①所示.为了调查参加测评的学生数学学习的方法与习惯差异，决定在分数段内抽取学生，并确定，且.在某班随机抽样得到20名学生的分值分布茎叶图如图②所示.若该班抽取学生分数在分数段内的人数为，则等于      ；这名学生的人均分为      .(第1空2分，第2空3分）（附：，，）

15.已知定义在区间上的函数，满足，当时，.则满足不等式的实数的范围为          .

16.如图，在中，点在边上，垂直于，，，，则的面积为          .

三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22，23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（本小题满分12分）

已知数列的前项和为，且满足，.

（I）求的通项公式；

（Ⅱ）若，求的前项和.

18.（本小题满分12分）

如图，四边形是梯形，//，，，△是

等腰三角形，，且平面平面.

（I）求证：；

（Ⅱ）如果直线与平面所成角的大小为45°，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

19.（本小题满分12分）

2022年2月4日，第24届北京冬奥会在国家体育馆隆重开幕，本届冬奥会吸引了全球91个国家和地区的2892名冰雪健儿前来参赛.各国冰雪运动健儿在“一起向未来”的愿景中，共同诠释“更快、更高、更强、更团结”的奥林匹克新格言，创造了一项又一项优异成绩，中国队9金4银2铜收官，位列金牌榜第三，金牌数和奖牌数均创历史新高.中国健儿在赛场上努力拼搏，激发了全国人民参与冰雪运动的热情，憨态可掬的外貌加上富有超能量的冰晶外壳的吉祥物“冰墩墩”备受大家喜爱.某商场举行“玩摸球游戏，领奥运礼品”的促销活动，活动规定：顾客在该商场一次性消费满300元以上即可参加摸球游戏.摸球游戏规则如下：在一个不透明的袋子中装有10个大小相同、四种不同颜色的的小球，其中白色、红色、蓝色、绿色小球分别有1个、2个、3个、4个，每个小球上都标有数字代表其分值，白色小球上标30、红色小球上标20、蓝色小球上标10、绿色小球上标5.摸球时一次只能摸一个，摸后不放回.若第一次摸到蓝色或绿色小球，游戏结束，不能领取奥运礼品；若第1次摸到白色小球或红色小球，可再摸2次.若摸到球的总分不低于袋子中剩下球的总分，则可免费领取奥运礼品.

（I）求参加摸球游戏的顾客甲能免费领取奥运礼品的概率；

（Ⅱ）已知顾客乙在第一次摸球中摸到红色小球，设其摸球所得总分为，求的分布列与数学期望.

20.（本小题满分12分）

已知曲线，其离心率为，焦点在轴上.

（I）求的值；

（Ⅱ）若与轴交于两点（点位于点的上方），直线与交于不同的两点，直线与直线交于点.求证：当时，三点共线．

21.（本小题满分12分）

已知函数，.

（I）求函数的最值；

（Ⅱ）当时，证明：函数有两个零点.

（二）选考题：共10分.请考生从第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22. [选修4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）

已知直线（其中常数，为参数），以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.已知直线与曲线相切于点.

  （I）求的值；

（Ⅱ）若点为曲线上一点，求的面积取最大值时点的坐标.

23. [选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）

已知函数.

（I）求不等式的解集；

（Ⅱ）设函数的最小值为，正实数满足，求证：.

2022年安庆市高三模拟考试

数学（理）参考答案

命题：安庆市高考命题研究课题组

二、  选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.C.【解析】，，.选C.

2.C.【解析】设，则，有，由复数相等得到.选C.

3.D.【解析】“”的否定为“”，故选D.

4.B.【解析】设点，则，故，，故点坐标为或，所以直线的斜率为.选B.

另解：设直线的倾斜角为，点，在抛物线准线 上的射影分别为，.则，又，所以，得，所以．选B.

5.A.【解析】由已知，，平方得，由于，解得或（舍），所以，

故.选A.

6.A.【解析】解：如图，圆锥底面半径为2，高为3，，，，

截取的几何体的体积.选A.

7.D.【解析】根据条件可知，，，所以，

所以.故选D.

8.B.【解析】，由其最小正周期为，有，所以，将其图象沿轴向右平移（）个单位，所得图象对应函数为，其图象关于对称，则有，，，由，实数的最小值为.选B.

9.A.【解析】由已知，，而，，故，由可得，，整理可得.

另解：根据题意可得点的坐标为，点的坐标为，其中，所以直线的方程为，即，所以坐标原点到直线的距离等于. 因为，所以点到直线的距离等于， 由平分，得，变形为.

因为离心率，又，所以，解得. 故选A.

10.B.【解析】由，有，即，由于，均为正整数，故（不合题意，舍去）或，得.所以.选B.

11.C.【解析】，A正确；如图，取的中点，连接，，易知四边形是平行四边形，所以//，所以//平面，B正确；若平面，则，可得，不成立，C不正确；计算可知D正确.选C.

12.D.解析：因为x，y均为正数，所以等式可化为，即，即.令，，

则，令，解得，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以，且当时，，所以，故选D.

第Ⅱ卷

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.【解析】由于，故，故，

所以，的夹角为.

14.【解析】随机变量，由，可得.故该班在内抽取了10人，人均分为分.

15.【解析】设，，则，故为偶函数，由，有，故，由于函数在上为减函数，故，解得.

16.【解析】在中，因为，设，则．在中，由余弦定理得，在中，，

因为，故，

所以，解得.

所以， 则的面积.

三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22，23题为选考题，考生根据要求作答.

17.（本小题满分12分）

【解析】（I）时，，解得.               …………………1分

时，，故，

所以，                                         …………………3分

故.

符合上式

故的通项公式为，.                  …………………6分

（Ⅱ），

.                                         …………………12分

18.（本小题满分12分）

【解析】（I）如图①，取的中点，连接. 因为，//，，所以四边形是矩形，所以.

在△中，，所以°. 连接，则△是等边三角形.

取的中点，连接，则. 连接，因为，所以，因为，所以平面，所以.     …………………6分

（Ⅱ）因为平面平面，，所以平面. 连接，则就是直线与平面所成的角，所以°，所以.

在△中，，°，所以

，

所以.                                 …………………8分

如图②，以为坐标原点，、、分别为轴、轴和轴的正方向，建立空间直角坐标系，令，则，，， . 由，可得.

所以，. 设平面的一个法向量为，由，得.

可取，，则.

因为平面的一个法向量为，所以，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.    …………………12分

19.（本小题满分12分）

【解析】（I）因所有小球的总分为120分，若甲第1次摸到白球，再摸两个球的颜色若都是红色，或者一红一蓝即可领取奥运礼品，其概率为；

                                                             …………………2分

若甲第1次摸到红球，再摸2个球的颜色若是一白一红，一白一蓝即可领取奥运礼品，其概率为；                          

所以顾客甲能免费领取奥运礼品的概率为.          …………………5分

（Ⅱ）由条件可知，                 …………………6分

，，

，,

，，

，，            …………………9分

于是的分布列为：

其数学期望为

.

…………………12分

20.（本小题满分12分）

【解析】（I）由于是焦点在轴上的椭圆，则其方程可化为，所以必须满足：，解得.因的离心率为，则，解得.                                                …………………5分

（Ⅱ）由（I）可知的方程为，所以，.

把代入，整理得.

设，，

则，.                     …………………7分

因为点，所以直线的方程为：.

令，得，所以.

因为点，所以直线的斜率为，

直线的斜率为.

所以

.

，

当时，上式等于0，即，这说明，，三点共线．

…………………12分

21.（本小题满分12分）

【解析】（I）， …………………1分

由于，，所以，设，则，

故函数在区间上单调递减，由于，，

故存在，使.                             …………………3分

故当，，则，当时，，则，从而存在，的单增区间为，单减区间为.函数的最大值为，                        …………………4分

由于，所以，

故.

所以函数的最大值为,没有最小值.            …………………6分

（Ⅱ）设＞1），则，当时，，故在上单调递增，故，即.当时，由（I）知，由于，由（I）知，且，，故，即，所以，……………9分

且，而，

故函数有两个零点.                                      …………………12分

（说明：若采用极限证明，扣3分.）

22. [选修4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）

【解析】(Ⅰ)由已知可得直线的普通方程为，

曲线的直角坐标方程为，

根据点到直线的距离公式可知，

解得或，

又，所以.                                        …………………5分

(Ⅱ)由（Ⅰ）可知直线的方程为，而且弦的长度一定，要使的面积最大，只需点到直线的距离最大，设，则点到直线的距离为，

所以当即时，距离最大，

此时点的坐标为.                               …………………10分

23. [选修45：不等式选讲]（本小题满分10分）

【解析】（Ⅰ）由条件可知原不等式可化为

①，②，③，

解①得；解②得；解③得，

所以原不等式的解集为.                       …………………5分

（Ⅱ）因，        

所以当时，函数的最小值为，于是，

由于，而，于是.

因为

所以，原不等式得证.              ………………10分