安徽省安庆市2023届高考模拟考试（二模）数学试题及答案

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1.A.解析：，，所以∩，故选A.
2.B.解析：.模是故选B.
3.C.解析：由频率之和为1得：，解得，
由，，故第25百分位数位于内，
则第25百分位数为.可以估计该市高中学生每天体育活动时间的第25百分位数约为47.5，故选C.
4.C.解析：由有，，即，因此. 由于，所以，于是夹角为的最小值为.故选C.
5.D.解析: 因为，且为第二象限角，所以，
于是
. 故选D.
6. A. 解析： 法1：设，，则，所以. 故选A.
法2：因为,所以.
因此 故选A.
7.A.解析：方法1.由题意得，方程有三个不等的实数根.
，分别作出函数和的图象，可得的取值范围是. 故选A.
方法2.取作图检验可得.
8.C.解析：圆柱半径为1，截面与底边所成角为，作于，则， . 截面椭圆是以为中心，为长轴端点的椭圆，其长轴长为，短轴长为2，作于，利用解析几何知识易得，，过作，则，由于均平行于底面，故点到底面的距离是. 故选C.
9.ABD.解析：因为与的图象振幅相等，所以，而，因此.所以函数. 将函数的图象上的点的横坐标缩短为原来的倍，然后将所得图象向右平移个单位得到函数的图象，所以，由于，从而.于是，即，从而，.因此，，函数的最小正周期为. A正确.是函数的一条对称轴，故B正确；单调递增区间为， C不正确. 函数在区间的值域为， D正确. 故选ABD.
10.ABC.解析：由于分别是的重心，所以分别延长,交于中点
因为，，
所以故.平面,平面,因此. A正确.
因为是的重心，所以
因此.B正确.
显然线段的交点分为同理线段和线段的交点分为因此四条直线 相交于一点.C正确.
因为，所以因此.D错误.故选ABC.
11.ACD.解析：由得，解得.
就是.
由得，.一方面，.
另一方面，.因此，
于是，即，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，故.故选ACD.
12.AD.解析：设，，由，得，故，，所以切线的方程为，即，同理，切线的方程为，设点坐标为，所以，，从而为方程的两根，故，，，故，，成等差数列，A正确；
若，则，B不正确；
若点在抛物线的准线上，则，，故两切线垂直，则为直角三角形，C不正确；
若点在直线上，则，直线的方程为，即，由于，故直线的方程为，即，从而过定点，故D正确.选AD.
三、 填空题（每小题5分，共20分）
13.5%.解析：A 表示“取到的是一件次品”，，， 分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生产的，显然是样本空间 S 的一个划分，且有 ，，.由于，，设，
由全概率公式得
而2.95%，故5%.
14. . 解析：由条件知正方体的内切球半径大小为2，设球心到平面的距离为，则得到，解得.于是截面圆的半径大小为，
故截面圆的面积大小为.
15..解析：由双曲线的定义
16.. 解析：因为所以不等式就是
即两边是同构式.构造函数则就是因为所以在上单增.而，因此由得，
故正实数的最小值为
17.解析：（Ⅰ）由条件知，故.
设数列的公差为，则.
因成等比数列，所以，
即，解得， ……………………………3分
所以. ……………5分
（Ⅱ）由（1）知，所以
，
故
. ……………………………………10分
18.解析：（Ⅰ）由于，有，即，,，，所以.
由于,且，故 . …………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
…………8分
当为锐角时， ……10分
当为钝角时， ……12分
19. 解析：（Ⅰ）如图 = 1 \* GB3 ①，在梯形中，作于点.
因为//， °，，所以四边形是正方形，且，，所以，.
在△中，，，，所以，所以.
在四棱锥中，由，，得平面.

………… 5分
（Ⅱ）解法一、如图 = 2 \* GB3 ②，连接交于点，连接.
因为//平面，平面经过与平面相交于，所以//.
………… 6分
因为//，所以△∽△，所以.
由//，得. ………… 7分
由，，可知. 又由于（1）平面，故
、、两两垂直，故可以点为原点，以、、所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，如图 = 3 \* GB3 ③所示. ………… 8分
则，，，由，可得，
所以，.
设平面的一个法向量为，则，取，，，则.
又平面的一个法向量为，设平面与平面所成二面角大小为，则.
故平面与平面所成二面角的余弦值为. ………… 12分
解法二：由（1）平面，所以.
因为，，所以△是直角三角形，，所以平面. 又在平面内，所以.
由，，平面，平面，平面平面，所以就是平面与平面所成二面角的一个平面角. ………… 7分
如图 = 4 \* GB3 ④，连接交于点，连接，作垂足为点.
因为//平面，平面经过与平面相交于，所以//.
因为//，所以△∽△，故 .
由//，得. ………… 8分
在△中，，，所以//，所以，，所以，.
在中，，.
所以平面与平面所成二面角的余弦值为.………… 12分
20.解析：（Ⅰ）由条件知的可能值为5，4，3，2. …………………………1分
其分布列为
………………4分
，
. ………6分
（Ⅱ）设小A每天赢得的局数为，则~，
于是. ……………………………………8分
根据条件得，解得，
又因为，所以，因此在每天的30局四人赛中，小A赢得10局的比赛概率最大. ……………………………………12分
21. 解析：（Ⅰ）由题意可知点，，的坐标分别为 ()，()，()，所以直线的方程为：，直线的方程为：.
由和，消除得，，即为点的横坐标. ………3分
因为点在直线上，所以.
整理得，所以离心率. ………… 5分
（Ⅱ）当椭圆的离心率为时，，，所以椭圆的方程为，即，直线的方程为：.
，消去，化简整理得，所以点的横坐标为，纵坐标为.
因为点的坐标为()，所以中点的坐标为. ……… 8分
又由（1）知点的横坐标为，所以点的纵坐标为.
所以，
，
故，为定值. ………… 12分
22.解析：（Ⅰ）因为，所以 …………2分
因为曲线在点处的切线方程是
所以即
解得 …………4分
（Ⅱ）由得，.显然
因此 . …………5分
令且，则
解方程得， …………7分
因此函数在和内单增，在和内单减，且极大值为，极小值为. …………9分
由图象可知,当或时，直线与曲线分别有两个交点，即函数恰有两个零点.
故的取值范围是 ……12分 题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
C
C
D
A
A
C
ABD
ABC
ACD
AD
5
4
3
2