2023年中考数学专题19 图形的相似（原卷版）

这是一份2023年中考数学专题19 图形的相似（原卷版），共13页。试卷主要包含了比例的相关概念及性质，相似三角形的判定及性质，相似多边形，位似图形等内容，欢迎下载使用。
专题19  图形的相似 一、比例的相关概念及性质1．线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比．2．比例中项：如果=，即b2=ac，我们就把b叫做a，c的比例中项．3．比例的性质性质内容性质1=⇔ad=bc（a，b，c，d≠0）．性质2如果=，那么．性质3如果==…=（b+d+…+n≠0），则=（不唯一）．4.黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使，那么点C叫做线段AC的黄金分割点，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄金比．二、相似三角形的判定及性质1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．2．性质：1）相似三角形的对应角相等；2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．3．判定：1）有两角对应相等，两三角形相似；2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；3）三边对应成比例，两三角形相似；4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）；2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定（1）]或再找夹边成比例[用判定（2）]；3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．三、相似多边形1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．2．性质：1）相似多边形的对应边成比例；2）相似多边形的对应角相等；3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方．四、位似图形1．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比．2．性质：1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比．3．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．4．画位似图形的步骤：1）确定位似中心；2）确定原图形的关键点；3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；4）作出原图形中各关键点的对应点；5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．考向一 比例线段及其性质1．四条线段a，b，c，d成比例，其中b＝3cm，c＝8cm，d＝12cm，则a＝（　　）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm2．a，b，c，d是四条线段，下列各组中这四条线段成比例的是（　　）A．a＝2cm，b＝5cm，c＝5cm，d＝10cm B．a＝5cm，b＝3cm，c＝10cm，d＝6cm C．a＝30cm，b＝2cm，c＝0.8cm，d＝2cm D．a＝5cm，b＝0.02cm，c＝7cm，d＝0.3cm3．已知＝，则的值为（　　）A． B． C． D．4．已知2x＝3y，那么的值为　              　．5．若≠0，则＝　              　．考向二 平行线分线段成比例6．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝4，DB＝2，AE＝3，则EC的长为（　　）A． B．1 C．2 D．7．如图，直线l1∥l2∥l3，两条直线AC和DF与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．则下列比例式不正确的是（　　）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝8．如图：已知AD∥BE∥CF，且AB＝4，BC＝5，EF＝4，则DE＝　               　．9．如图，如果AE∥BD，CD＝20，CE＝36，AC＝27，那么BC＝　   　．10．如图，点D、E分别在△ABC的边AB，AC上，DE∥BC，点G在边BC上，AG交DE于点H，点O是线段AG的中点，若AD：DB＝3：1，则AO：OH＝　    　．考向三 相似多边形11．两个相似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（　　）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：1612．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（　　）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．1：1613．如图，一个矩形广场的长为90m，宽为60m，广场内有两横，两纵四条小路，且小路内外边缘所围成的两个矩形相似，如果两条横向小路的宽均为1.2m，那么每条纵向小路的宽为　    　m．考向四 相似三角形性质与判定14．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE⊥BC于点E，交BD于点F，下列三角形中不一定与△BCD相似的是（　　）A．△BFE B．△AFD C．△ACE D．△BAE15．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（　　）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝16．如图，在△ABC中，中线AE、BD相交于点F，连接DE，则下列结论：①；②；③；④＝．其中正确结论的个数是（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个17．若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积之比为1：3，则△ABC与△DEF的相似比为　             　．18．如图，D是△ABC的BC边上一点，E为AD上一点，若∠DAC＝∠B，CD＝CE，试说明△ACE∽△BAD．19．如图，在矩形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，过点A作AF⊥DE于点F，求证：△DEC∽△ADF．考向五 相似三角形的实际应用20．如图，路灯距离地面8米，若身高1.6米的小明在距离路灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM的长为（　　）A．1.25米 B．5米 C．6米 D．4米21．路边有一根电线杆AB和一块长方形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已知BC＝5米，长方形广告牌的长HF＝4米，高HC＝3米，DE＝4米，则电线杆AB的高度是（　　）A．6.75米 B．7.75米 C．8.25米 D．10.75米22．如图，小明为了测量树的高度CD，他在与树根同一水平面上的B处放置一块平面镜，然后他站在A处刚好能从镜中看到树顶D，已知A、B、C三点在同一直线上，且AB＝2m，BC＝8m．他的眼睛离地面的高度1.6m，则树的高度CD为　    　m．23．如图，某位同学通过调整自己的位置测量树高AB，设法使三角板的斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知两条边DE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边DF离地面距离AC＝1.5m，人与树的距离CD＝8m，求树高AB的值．考向六 位似24．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2），D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B的坐标为（6，0），则点A的坐标为（　　）A．（2，5） B．（2.5，5） C．（3，5） D．（3，6）25．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是（　　）A．△ABC∽△A′B′C′ B．点C、点O、点C′三点在同一直线上 C．AO：AA′＝1：2 D．AB∥A′B′26．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD＝90°，CO＝CD，若B（1，0），则点C的坐标为　      　．27．△ABC在边长为1的正方形网格中如图所示．（1）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C1，使其位似比为1：2．且△A1B1C1位于点C的异侧，并表示出A1的坐标．（2）作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C2． 一．选择题1．泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（　　）A．图形的平移 B．图形的旋转 C．图形的轴对称 D．图形的相似2．两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（　　）A．： B．2：3 C．4：9 D．8：273．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（　　）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个4．已知＝，则的值为（　　）A． B． C． D．5．如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（　　）A．4 B．4 C．6 D．46．如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为（　　）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：17．如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：①＝；②＝；③＝；④＝其中正确的个数有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2＝PH•PC其中正确的是（　　）A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④二．填空题9．若△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，则△ABC与△DEF的周长之比为　    　．10．如图，AB∥CD∥EF．若＝，BD＝5，则DF＝　   　．11．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为　 　米．12．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，已知△AOB与△A1OB1位似，位似中心为原点O，且相似比为3：2，点A，B都在格点上，则点B1的坐标为　                　．三．解答题13．如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．（1）求证：BD2＝AD•CD；（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．  14．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1）．（1）画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC以点O为位似中心，位似比为1：2的△A2B2C2．  15．如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．（1）求证：∠E═∠C；（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值；（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值．   16．背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现BE＝DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE＝DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE＝DG仍成立？请说明理由；（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE＝4，AB＝8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值．