四川省广安市第二中学校2022-2023学年高三上学期一诊模拟考试数学（理）试题及答案

这是一份四川省广安市第二中学校2022-2023学年高三上学期一诊模拟考试数学（理）试题及答案，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数z满足，且，则（ ）
A．B．C．2D．
3．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为和，样本极差分别为和，则（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
4．已知数列是首项为1的等比数列，且，，成等差数列，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知随机变量，且，则的展开式中常数项为（ ）
A．B．C．240D．60
6．如图是函数的大致图象，则函数的解析式可以为（ ）
A．B．C．D．
7．我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面取得突破性进展，孪生素数也称为孪生质数，就是指两个相差2的素数，例如5和7.在大于3且不超过30的素数中，随机选取2个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
9．在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
10．设分别是椭圆的左、右焦点，若在其右准线上存在P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．如图，在正四棱柱中，，，分别为和的中点，过，，三点的平面截正四棱柱得一多边形，则该多边形在平面上的投影图形的面积为（ ）
A．B．2C．D．3
12．已知函数，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．已知实数满足则的最大值为___________.
14．已知平面，直线满足，，则“”是“”的______条件.（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要条件”，“既不充分也不必要”）
15．已知抛物线，圆，若点，分别在，上运动，且设点，则的最小值为______.
16．已知曲线相邻对称轴之间的距离为，且函数在处取得最大值，则下列结论正确的序号是______.
①当时，的取值范围是；
②将的图象向左平移个单位后所对应的函数为偶函数；
③函数的最小正周期为；
④函数在区间上有且仅有一个零点.
三、解答题
17．从①，②两个条件中选择一个补充到题目中，完成下列问题：在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，且 ．
(1)求的面积；
(2)若是线段的中点，求的长．
18．已知正项数列的前n项和为，且满足，
(1)求
(2)求
19．2022 年春节后，新冠肺炎的新变种奥密克戎在我国部分地区爆发. 该病毒是一种人传人，不易被人们直接发现，潜伏期长且传染性极强的病毒. 我们把与该病毒感染者有过密切接触的人群称为密切接触者. 一旦发现感染者，社区会立即对其进行流行性病医学调查，找到其密切接触者进行隔离观察. 调查发现某位感染者共有 10 位密切接触者，将这 10 位密切接触者隔离之后立即进行核酸检测. 核酸检测方式既可以采用单样本检测，又可以采用 “ 合 1 检测法”. “ 合 1 检测法” 是将 个样本混合在一起检测，若混合样本呈阳性，则该组中各个样本再全部进行单样本检测; 若混合样本呈阴性，则可认为该混合样本中每个样本都是阴性. 通过病毒指标检测，每位密切按触者为阴性的概率为 ，且每位密切接触者病毒指标是否为阴性相互独立.
(1)现对 10 个样本进行单样本检测，求检测结果最多有1个样本为阳性的概率 的表达式;
(2)若对 10 个样本采用 “5合1检测法” 进行核酸检测. 用 表示以下结论:
①求某个混合样本呈阳性的概率;
②设总检测次数为，求的分布列和数学期望 .
20．在四棱锥中，，，，， 平面，与平面所成角，又于，于.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
21．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若存在两个极值点，求证：.
22．在直角坐标系中，直线的参数方程为(其中为参数).以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线和曲线的直角坐标方程；
（2）设点，直线交曲线于，两点，求的值.
23．已知，，为正数，且满足.证明：
（1）；
（2）
参考答案：
1．B
【分析】先求解对数不等式得到，再利用集合的交集、补集运算，计算即得解
【详解】由题意，
故，
故选：B
2．D
【分析】设，根据复数相等的条件求出可得解.
【详解】设，则，
所以，，
所以，，得
所以，.
故选：D.
3．B
【分析】观察图形可知，样本A的数据均在之间，样本B的数据均在之间，利用平均数，标准差，极差的定义可得解.
【详解】观察图形可知，样本A的数据均在之间，样本B的数据均在之间，
由平均数的计算可知，样本极差
样本B的数据波动较小，故，
故选：B
4．C
【分析】设公比为，根据等差中项和等比数列的通项公式可求出结果.
【详解】设公比为，
因为，，成等差数列，
所以，
所以，又，
所以，所以，所以.
所以.
故选：C.
5．D
【分析】根据正态分布的性质求出，再写出二项式展开式的通项，令，求出，再代入计算可得；
【详解】解：因为，所以所对应的正态曲线关于对称，
因为，所以，所以，
其中展开式的通项为，
令，解得，所以，
即展开式的常数项为；
故选：D
6．C
【分析】由图象得函数为偶函数，判断奇偶性排除B，由排除D，然后根据AC三个选项的解析式，由导数确定其在时的单调性可得．
【详解】定义域是，四个选项均符合，
ACD选项中函数式里都是含有或,它们是偶函数，B选项中，，函数为奇函数，
由图象关于轴对称，排除B，
且时，
选项A，，，因此在上递增，排除A；
选项D，，不符合题意，排除D；
选项C，，，
时，，递增，时，，递增，时，，递减，满足题意，
故选：C．
7．B
【分析】求出随机选取2个不同的数的所有情况，得出其中恰好是一组孪生素数的情况，则可求出概率.
【详解】大于3且不超过30的素数有5，7，11，13，17，19，23，29，
从中随机选取2个不同的数的情况有（5，7），（5，11），（5，13），（5，17），（5，19），（5，23），（5，29），（7，11），（7，13），（7，17），（7，19），（7，23），（7，29），（11，13），（11，17），（11，19），（11，23），（11，29），（13，17），（13，19），（13，23），（13，29），（17，19），（17，23），（17，29），（19，23），（17，29），（23，29）共28种，
其中恰好是一组孪生素数的有（5，7），（11，13），（17，19）共3种，
所以恰好是一组孪生素数的概率为.
故选：B.
8．C
【分析】利用二倍角公式求出的值，代入所求代数式即可得解.
【详解】由可得，
则，又，，
所以，所以，，可得，
因为，则，解得，
因此，.
故选：C.
9．D
【分析】将三角形放到直角坐标系当中，利用坐标法求向量夹角，即可求解.
【详解】解：建立如图直角坐标系，则,
得,
所以，
故选：D.
10．D
【分析】先设出点的坐标，再由题目条件得到，利用两点间的距离公式列出式子，借助化简式子，得到关于离心率的式子，结合离心率的范围解出不等式即可.
【详解】设点，
因为线段的中垂线过点，所以，即，
化简得，
因为，所以，即，
所以，
又因为，所以，解得.
故选：D.
11．D
【分析】由空间图形的性质，作出截面图形，进而作出投影图形，计算面积即可．
【详解】解：正四棱柱中，，与必相交，记交点为，
连接延长交于，交于，连接并延长交于，连接，，
则四边形为截面四边形，过作于，连接，
则截面在平面上的投影图形为，
截面与正四棱柱的交线，，∴截面是平行四边形，可得是平行四边形，
，，∴为中点，，为的中点，∴，得，平行四边形底为1高为3，
故投影四边形的面积为．
故选：D．
12．D
【分析】先求得的取值范围，然后化简，结合导数求得的取值范围.
【详解】由于，
即，所以，
当时，递增，
所以有唯一解.
当时，递增，
所以有唯一解.
由得，
所以.
令，
所以在区间递减；在区间递增.
所以，
所以的取值范围为.
故选：D
【点睛】本题要求的取值范围，主要的解题思路是转化为只含有一个变量的表达式，然后利用导数来求得取值范围.在转化的过程中，主要利用了对数、指数的运算.
13．4
【分析】转化为，则取得最大值即直线与可行域相交，且截距最大，数形结合即得解
【详解】转化为，则取得最大值即直线与可行域相交，且截距最大，根据不等式组画出可行域，如图所示，
联立，可得
当直线经过点A时取得最大值为4.
故答案为：4
14．充分不必要条件
【分析】根据线线，线面关系，结合充分，必要条件，即可求解.
【详解】因为，且，，所以，反过来，时，包含或是或,所以不一定垂直，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要条件
15．
【分析】先判断在曲线里面，然后的最小值为
过点作抛物线准线的垂线垂足为，的最小值等于求的最小值.
【详解】把代入，得，所以点在曲线里面.
因为的最小值为，而正好是抛物线的焦点
过点作抛物线准线的垂线垂足为，则根据抛物线的定义得
所以的最小值等于求的最小值，
当三点共线时最小，最小值为
故的最小值为
故答案为：5
16．①③
【分析】根据题意确定函数周期，求得，先讨论时情况，对于①，由函数在处取得最大值，可得，结合辅助角公式可得，解不等式即可得的取值范围；对于②，取特殊值，求得一个值，代入验证，可判断②；对于③，根据函数的最小正周期即可判断；对于④，根据题意可得当时，，可得，此时有无数个零点，即可判断④.
【详解】由题意得
其中 ，
由函数 相邻对称轴之间的距离为，可得 ，
先讨论时情况，则 ，
对于①，由函数在处取得最大值，则，
解得，，又 ，则，
故 ，
即，
解得，故①正确；
对于②，不妨令，则，
由函数在处取得最大值，则，可解得一个，那么将的图象向左平移个单位后得到的函数为 ，该函数为奇函数，故②错误；
对于③，由的最小正周期为 ，则的最小正周期为，则也是的周期，
则函数 的最小正周期为,故③正确；
对于④，函数在处取得最大值，且最小正周期为，
故当时，，则，此时有无数个零点，
则函数在区间上有无数个零点，
则函数在区间上有无数个零点，故④错误；
同理讨论时情况，①③正确，
故答案为：①③
【点睛】关键点点睛：此题综合考查正弦型函数性质，解答的关键是利用辅助角公式化简，并能结合周期确定参数的值，在判断④时，关键点在于要明确时，，则有，从而判断函数零点个数.
17．(1)
(2)
【分析】（1）若选择①，则得，由余弦定理即可得到，结合条件，，代入三角形面积公式即可求解；
若选择②，由射影定理，又，，结合余弦定理即可得到，代入三角形面积公式即可求解；
（2）由中点向量得，，平方化简可得，即可求解.
【详解】（1）选择①，
因为，即
在中，由余弦定理得：，
，，又，，
故的面积.
选择②，
因为，则射影定理，得，
又，，在中，由余弦定理得：，
，，
故的面积.
（2）因为是线段的中点，
所以，即，则
所以，故的长为.
18．(1)
(2)
【分析】(1)先令求出首项，再由数列的递推公式，当时，代入并结合
等差数列的定义和通项公式求出.
(2)由第一问的公式，正好利用分母有理化进行化简抵消即可得出结果
【详解】（1）根据题意可得，当时，，解得，
由，代入得，整理后得
，即，根据等差数列的定义可知，数列
是首项为1，公差为1的等差数列，则，
（2）由(1)可知，
，
19．(1)；
(2)①；②分布列见解析，.
【分析】（1）对10个样本进行逐个检测属于独立重复试验，利用独立重复试验概率即可求解；
（2）采用“5合1检测法”，“某个混合样本呈阴性”仍然属于独立重复试验，可求出该事件的概率，利用互为对立事件的概率和为1即可求出；此时总检测次数可能为2,7,12，列出分布列，计算数学期望.
【详解】（1）由题意可知，对10个样本进行逐个检测属于独立重复试验，所以最多有1个阳性样本的概率为：
，
所以
（2）①设“某个混合样本呈阳性”为事件，则表示事件“某个混合样本呈阴性”，而混合样本呈阴性即为该混合样本全部为阴性，．
故
②X的可能取值为2，7，12．
当两个混合样本都呈阴性时，.
当两个混合样本一个呈阳性，一个呈阴性时，．
当两个混合样本都呈阳性时，．
故X的分布列为：
的数学期望，
所以的数学期望为
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)利用空间向量的坐标运算，根据求出点的坐标，进而可得，利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）利用空间向量的坐标运算求解面面夹角的余弦值.
【详解】（1）过作，则四边形为矩形，
以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，因为与平面所成角，
所以，所以，所以,
，，
设，
所以，即,
因为，所以,解得，
所以，又因为，
所以，即，
又因为，，平面，
所以平面.
（2）由（1）可知平面，
则为平面的一个法向量.
,所以,即，
又因为平面，平面,所以，
又因为平面，
所以 平面，
则为平面的一个法向量.
则
所以二面角的余弦值为.
21．（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）求出导函数，根据二次函数的与的关系来分类讨论函数的单调性，并注意一元二次方程根的正负与定义域的关系；
（2）由是两个极值点得到对应的韦达定理形式，然后利用条件将转变为关于函数，再运用的关系将不等式转化为证，构造函数，分析函数的单调性，得出最值，不等式可得证.
【详解】（1）解：函数的定义域为，，则.
①当时，对，所以函数在上单调递增；
②当时，，所以对，所以函数在上单调递增；
③当时，令，得或，所以函数在，上单调递增；
令，得，所以在上单调递减.
（2）证明：由（1）知且，所以.
又由
.
又因为.
所以要证，只需证.
因为，所以只需证，即证.
令，则，所以函数在上单调递增，
所以对.所以.
所以若存在两个极值点，则.
【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，属于较难题.导数中通过双极值点求解最值或证明不等式时，可通过双极值点对应的等式将待求的式子或待证明的式子转变为关于同一变量（注意变量的范围）的式子，然后通过构造新函数，分析新函数的单调性后从而达到求解最值或证明不等式的目的.
22．（1）：，：；（2）.
【分析】（1）通过加减消元消去便可得到直线的直角坐标方程；给的极坐标方程两边同乘，再将代入，得曲线的直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程与曲线的参数方程联立，得到关于的二次方程，利用的几何意义可知，利用韦达定理求解即可.
【详解】解：（1）直线的参数方程为(其中为参数)，消去可得.
由，得，则曲线的直角坐标方程为.
（2）设在直线的参数方程中，点，所对应的参数分别为和，
将直线的参数方程代入，得，
则，故.
【点睛】在求解直线与曲线的相交弦长时，注意运用直线参数方程中的几何意义，将所求问题转化为与，有关的式子计算即可，注意参数的系数平方和为时，的几何意义才成立.
23．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）根据分析法，结合不等式关系中，，，即可证明不等式成立；
（2）根据题中条件，直接构造基本不等式进行证明即可.
【详解】（1），
，
又由均值不等式，
得，，，
则，
，
即得证；
（2），，，，
，，，
则
，
又由均值不等式得，
同理可得，，
则，
当且仅当时等号成立，得证.
【点睛】本题考查了不等式的证明，基本不等式的应用，属于中档题.
2
7
12