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专题2.19 几何最值问题（专项练习）（巩固篇）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）
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这是一份专题2.19 几何最值问题（专项练习）（巩固篇）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版），共38页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题2.19 几何最值问题（专项练习）（巩固篇）
一、单选题
1．如图，是等边三角形，是边上的高，E是的中点，P是上的一个动点，当与的和最小时，的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠ACP的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．在中，，，于点，且，若点在边上移动，则的最小值是（ ）
A．4.5 B．4.6 C．4.7 D．4.8
4．如图，在锐角△ABC中，AB＝AC＝10，S△ABC ＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（ ）
A．4 B． C．5 D．6
5．如图，点是内任意点，分别是射线OA，和射线OB上的动点，周长的最小值为8cm，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为底边在△ABC外作等腰△ACD，过点D作∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若AC＝12，BC＝5，△ABC的周长为30，点P是直线DE上的一个动点，则△PBC周长的最小值为（ ）
A．15 B．17 C．18 D．20
7．在等腰中，，、分别是，的中点，点是线段上的一个动点，当的周长最小时，点的位置在的（ ）
A．重心 B．内心 C．外心 D．不能确定
8．如图, 的周长为16．点是边的中点，=2，过点作的垂线，是上任意一点，则 的周长最小值为( )
A．12 B．14 C．16 D．18
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AB于点E，AC于点F，在EF上确定一点P，使PB＋PD最小，则这个最小值为（ ）
A．10 B．11
C．12 D．13
10．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是24，腰的垂直平分线分别交边于点．若点为边上的中点，点为线段上一动点则周长的最小值为( )
A．12 B．14 C．16 D．24
11．如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为（ ）
A．145° B．110° C．100° D．70°
12．如图，在中，，，点、分别在边、上，，点是边上一动点，当的值最小时，，则为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，等腰中，垂直平分，交于点，交于点，点是线段上的一动点，若的面积是，，则的周长最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
14．如图，在中．，若，，，将折叠，使得点C恰好落在AB边上的点E处，折痕为AD，点P为AD上一动点，则的周长最小值为___．
15．如图，等腰△ABC底边BC的长为6cm，面积是24cm2，腰AB的垂直平分线MN交AB于点M，交AC于点N，若D为BC边上的中点，E为线段MN上一动点，则△BDE的周长最小值为____cm．
16．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，△ABC面积为12，AD⊥BC于点D，直线EF垂直平分AB交AB于点E，交BC于点F，P为直线EF上一动点，则△PBD的周长的最小值为____________．
17．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积为20，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为__________．
18．如图，在△AOB中，∠OAB=∠AOB=15º，OB=5，OC平分∠AOB，点P在射线OC上，Q是OA上一动点，则PA+PQ的最小值是__________
19．如图，在中，，，，是的角平分线，点，点分别是，边上的动点，点在上，且，则的最小值为___________．
20．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝10，S△ABC＝30，∠ABC的平分线BD交AC于点D，点M、N分别是BD和BC上的动点，则CM+MN的最小值是_____．
21．如图，在锐角中，，，平分，，分别是和上的动点，则的最小值是_______．
22．如图，在中，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值是________．
三、解答题
23．如图，是平面内三点．
（1）按要求作图：请先用铅笔作图，确认无误后，再用黑色水笔描深．
①作射线，过点作直线，使两点在直线两旁；
②过点作直线的垂线段，垂足为；
③点为直线上任意一点，点为射线上任意一点，连结线段．
（2）在（1）所作图形中，若点到直线的距离为2，点到射线的距离为5，点、之间的距离为8，点之间的距离为6，则的最小值为__________，依据是___________．
24．如图，在等腰三角形ABC中，底边，的面积是，腰AB的垂直平分线EF分别交AB、AC于点E、F，点D为BC边上的中点，M为EF上的动点．
（1）当周长的最小时，请在图中作出满足条件的（保留作图痕迹，不要求写出画法）．
（2）周长的最小值是___________．
25．如图要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？
聪明的小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线图（2）问题就转化为要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：
①作点B关于直线l的对称点；
②连接交直线l于点P，则点P即为所求．
请你参考小明的做法解决下列问题：
如图（3），在ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，请你在BC边上确定一点P，使的周长最小．
26．如图所示，在街道的同一侧，有两个居民区A，B，两个居民区门口到街道的距离分别为AC，BD．现准备在街道旁设置一个快递中转站．
（1）如果设置的快递中转站到A，B两个小区的距离相等，如图1，当∠A=∠BPD时，请说明AC+BD=CD的理由；
（2）如果设置的快递中转站到A，B两个小区的距离之和最短，请在图2中作出点P的位置，连接AP，BP，直接写出此时∠PAC与∠PBD的数量关系；
（3）为了能错峰进行取送快递，决定设置的快递中转站到A，B两个小区的距离之差最大，请在图3中作出点P的位置，连接AP，BP，直接写出此时∠PAC与∠PBD的数量关系．
参考答案
1．A
【分析】
连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC=∠PCB=30°，即可解决问题；
【详解】
解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE=BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE=60°，
∵BA=BC，AE=EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBC=30°，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=30°，
∴∠ECP=∠ACB-∠PCB=30°，
故选：A．
【点拨】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
2．A
【分析】
连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC=∠PCB=30°，即可解决问题；
【详解】
解：如图，连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE=BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE=60°，
∵BA=BC，AE=EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBC=30°，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=30°，
∴∠ACP =30°，
故选：A．
【点拨】本题考查了最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
3．D
【分析】
根据最短路径问题得：当BP⊥AC时，的值最小，利用面积关系得到，代入数值求出答案.
【详解】
由题意得：当BP⊥AC时，的值最小，
∵,
∴,
解得BP=，
故选：D.
【点拨】此题考查最短路径问题，三角形的面积计算公式，利用最短路径问题的思路得到当BP⊥AC时，的值最小是解题的关键.
4．C
【分析】
根据AD是∠BAC的平分线，AB=AC可得出确定出点B关于AD的对称点为点C，根据垂线段最短，过点C作CN⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM＋MN最小的点，CN＝BM＋MN，利用三角形的面积求出CN，从而得解．
【详解】
解：如图，∵AD是∠BAC的平分线，AB=AC，
∴点B关于AD的对称点为点C，
过点C作CN⊥AB于N交AD于M，
由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM＋MN最小的点，CN＝BM＋MN，
∵AB＝10，S△ABC＝25，
∴×10•CN＝25，
解得CN＝5，
即BM＋MN的最小值是5．
故选：C．
【点拨】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂线段最短的性质，等腰三角形的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
5．A
【分析】
分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=CN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．
【详解】
解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，
∵△PMN周长的最小值是8cm，
∴PM+PN+MN=8，
∴DM+CN+MN=8，
即CD=8=OP，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°；
故选：A．
【点拨】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
6．C
【分析】
根据点与点关于对称，即可得出，当点与点重合时，，此时的周长最小，根据与的长即可得到周长的最小值．
【详解】
解：是以为底边的等腰三角形，平分，
垂直平分，
点与点关于对称，
，
如图所示，当点与点重合时，，
此时的周长最小，
，，的周长为30，
，
周长的最小值为，
故选：．
【点拨】本题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
7．A
【分析】
连接BP，根据等边三角形的性质得到AD是BC的垂直平分线，根据三角形的周长公式、两点之间线段最短解答即可.
【详解】
连接BP、BE，
∵AB=AC，BD=BC，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PC+PE=PB+PE，
∵,
∴当B、P、E共线时，PC+PE的值最小，此时BE是△ABC的中线，
∵AD也是中线,
∴点P是△ABC的重心，
故选：A.
【点拨】此题考查等腰三角形的性质，轴对称图形中最短路径问题，三角形的重心定义.
8．A
【分析】
连接BE，依据l是AB的垂直平分线，可得AE=BE，进而得到AE+CE=BE+CE，依据BE+CE≥BC，可知当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变，故△AEC的周长最小值等于AC+BC．
【详解】
∵点D是AB边的中点，BD=2，
∴AB=2BD=4，
∵△ABC的周长为16，
∴AC+BC=12，
如图，连接BE，
∵点D是AB边的中点，l⊥AB，
∴l是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴AE+CE=BE+CE，
∵BE+CE≥BC，
∴当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变，
∴△AEC的周长最小值等于AC+BC=12，
故选：A．
【点拨】此题考查轴对称-最短距离问题，解题关键在于涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．
9．C
【分析】
根据三角形的面积公式即可得到AD的长度，再由最短路径的问题可知PB＋PD的最小即为AD的长．
【详解】
∵
∴
∵EF垂直平分AB
∴点A，B关于直线EF对称
∴
∴，
故选：C.
【点拨】本题主要考查了最短路径问题，熟练掌握相关解题技巧及三角形的高计算方法是解决本题的关键.
10．B
【分析】
连接AD，根据等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质结合三角形的面积公式求出AD的长，再根据垂直平分线的性质知点C关于直线EF的对称点为点A，故A、M、D共线时△CDM的周长的最小，由此即可得出结论．
【详解】
连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，=4，
∴AD⊥BC，=2，
∴，
∴AD=12，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短.
故选：B
【点拨】本题考查的是轴对称——最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
11．B
【分析】
分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长=P1P2，然后得到等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1=100°，即可得出∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2N=100°．
【详解】
解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则
OP1=OP=OP2，∠OP1M=∠MPO，∠NPO=∠NP2O，
∴∠P1OM=∠MOP，∠NOP=∠N O P2，
根据轴对称的性质，可得MP=P1M，PN=P2N，则
△PMN的周长的最小值=P1P2，
∴∠P1OP2=2∠AOB=70°，
∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1=110°，
∴∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2N=110°，
故选：B．
【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，正确作出辅助线，得到等腰△OP1P2中∠OP1P2+∠OP2P1=110°是关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．
12．B
【分析】
延长至点，使，过点作于点，交于点，
则此时的值最小.最后根据直角三角形的边角关系求解即可．
【详解】
如图，延长至点，使，
过点作于点，交于点，
则此时的值最小.
在中，，.
，，，
.
，.
，，.
，，.
在中，，.
，，.
故选B.
【点拨】本题考查了最短路径问题，涉及到最短路径问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，因此利用轴对称找到对称点是解题的关键．
13．B
【分析】
利用三角形的面积公式求出AD，再根据等腰三角形的性质得出BD的长，由EF垂直平分AB，推出BG=AG，推出AG+DG=BG+GD，由BG+GD≥BD，推出GA+GD≥3，推出GA+GD的最小值为3，由此即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接BG．
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=3cm，
∵S△ABC=•BC•AD=6，
∴AD=2，
∵EF垂直平分AB，
∴BG=AG，
∴AG+DG=BG+GD，
∵BG+GD≥BD，，
∴GA+GD≥3，
∴GA+GD的最小值为3，
∴△ADG的最小值为2+3=5，
故选：B．
【点拨】本题考查轴对称-最短问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14．20．
【分析】
根据由沿AD对称,得到，进而表示出，最后求周长即可．
【详解】
由沿AD对称得到，
则E与C关于直线AD对称，
，
∴，
如图,连接，
由题意得，
∴，
当P在BC边上，即D点时取得最小值12，
∴周长为，最小值为．
故答案为:20．
【点拨】本题考查了三角形折叠问题，正确读懂题意是解本题的关键．
15．11
【分析】
连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据MN是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线NM的对称点为点A，故AD的长为BE+ED的最小值，由此即可得出结论．
【详解】
解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，BD=3cm
解得AD=8（cm），
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线MN的对称点为点A，AD与MN的交点为E,
此时BE+DE的值最小
∴AD的长为BE+ED的最小值，
∴△BDE的周长最小值=
故答案为11．
【点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
16．7
【分析】
如图，连接PA．利用三角形的面积公式求出AD，由EF垂直平分AB，推出PB=PA，推出PB+PD=PA+PD，由PA+PD≥AD，推出PA+PD≥4，推出PA+PD的最小值为4，由此即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接PA．
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=3，
∵S△ABC=•BC•AD=12，
∴AD=4，
∵EF垂直平分AB，
∴PB=PA，
∴PB+PD=PA+PD，
∵PA+PD≥AD，
∴PA+PD≥4，
∴PA+PD的最小值为4，
∴△PBD的最小值为4+3=7，
故答案为：7．
【点拨】本题考查轴对称-最短问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17．12
【分析】
首先添加辅助线连接、，结合已知条件根据等要三角形的性质、三角形的面积公式求得的长，再根据垂直平分线的性质、最短路径问题推出结论的长为的最小值，由此可得出结论．
【详解】
解：连接、，如图：
∵是等腰三角形，点为边的中点
∴
∴
∴
∵是线段的垂直平分线
∴点关于直线的对称点为点，
∴
∴的长为的最小值
∴的周长的最小值为．
故答案是：
【点拨】本题考查了三角形的面积公式、等腰三角形的性质、轴对称以及最短路径问题等知识点，能利用相关知识点确定的长为的最小值是解决问题的关键．
18．
【分析】
在射线OB上截取一点Q′，使得OQ′＝OQ，则△OPQ≌△OPQ′，可得PQ＝PQ′．作AH⊥OB于H．可得PA＋PQ＝PA＋PQ′，推出当A、P、Q′共线，且垂直OB时，PA＋PQ′的值最小，最小值为AH．
【详解】
解：在射线OB上截取一点Q′，使得OQ′＝OQ，则△OPQ≌△OPQ′，可得PQ＝PQ′．作AH⊥OB于H．
∴PA＋PQ＝PA＋PQ′，
∴当A、P、Q′共线，且垂直OB时，PA＋PQ′的值最小，最小值为AH，
在Rt△ABH中，∵OB＝AB＝5，∠ABH＝30°，
∴AH＝AB＝，
∴PA＋PQ的最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题考查轴对称−最短问题、等腰三角形的性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
19．．
【分析】
作点关于的对称点，连接，则，，当，，在同一直线上，且时，的最小值等于垂线段的长，利用含角的直角三角形的性质，即可得到的最小值．
【详解】
解：如图所示，作点关于的对称点，连接，则，，
，
当，，在同一直线上，且时，的最小值等于垂线段的长，
此时，△中，，
，
的最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
20．6
【分析】
过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值．
【详解】
解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M作MN′⊥BC于N′，
∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于点E，M′N′⊥BC于N
∴M′N′＝M′E，
∴CE＝CM′+M′E
∴当点M与M′重合，点N与N′重合时，CM+MN的最小值．
∵三角形ABC的面积为30，AB＝10，
∴×10×CE＝30，
∴CE＝6．
即CM+MN的最小值为6．
故答案为6．
【点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．
21．4
【分析】
根据题意画出符合条件的图形，作N关于AD的对称点R，作AC边上的高BE（E在AC上），求出BM+MN=BR，根据垂线段最短得出，求出BE即可得出BM+MN的最小值；
【详解】
作N关于AD的对称点R，作AC边上的高BE（E在AC上），
∵AD平分，为锐角三角形，
∴R必在AC上，
∵N关于AD的对称点是R，
∴MR=MN，
∴，
即（垂线段最短），
∵的面积是，AC=7，
∴，
∴，
即的最小值为．
故答案为4．
【点拨】本题主要考查了轴对称最短路线问题，准确计算是解题的关键．
22．7
【分析】
根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，求出AC长度即可得到结论．
【详解】
解：∵垂直平分，
∴B，C关于直线对称．设交于点D，
∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长，
∴周长的最小值是．
【点拨】本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题的应用，解题的关键是找出P的位置．
23（1）①见解析；②见解析；③见解析；（2）5，垂线段最短
【分析】
（1）①作射线BC，过点B作直线l，使A、C两点在直线l两旁即可；
②过点A作AE⊥直线，垂足为E，则线段AE为所求；
③点P为直线l上任意一点，点Q为直线BC上任意一点，连接线段AP、PQ即可：
（2）根据垂线段最短，即可求出AP+PQ的最小值．
【详解】
解：如图所示，
（1）①射线BC，直线l即为所求；
②过点A作AE⊥直线，垂足为E，则线段AE为所求；
③点P、Q、线段AP、PQ即为所求；
（2）根据作图可知：
过点A作AQ⊥BC，垂足为Q，与直线相交与点P，
∴AP+PQ的最小值即为点A到直线BC的距离为：AQ=5．
依据为：垂线段最短．
故答案为：5，垂线段最短．
【点拨】本题考查了点到直线的距离，直线，射线，线段的定义，正确的作出图形是解题的关键．
24．（1）图见解析；（2）5.5
【分析】
（1）根据三角形周长公式和两点之间线段最短来分析，进而再利用简单的作图方法即可作图；
（2）根据三角形面积公式求出AD，再根据中点定义求出BD即可求解．
【详解】
（1）如图所示；连接AM，
∵EF是AB的线段垂直平分线
∴AM＝BM
∴△BDM的周长＝BM＋DM＋BD
又AM＝BM
∴△BDM的周长＝AM＋DM＋BD
∵BD是定值
∴当A、M、D三点在一条直线上时，AM＋DM值最小，即△BDM的周长最小，
（2）∵△ABC是等腰三角形
又点D为BC边上的中点，
∴AD是△ABC BC边上的高，
∵，，的面积是，
∴BD＝1.5cm，AD＝4cm
∴△BDM的周长最小值＝AM＋DM＋BD＝AD＋BD＝5.5cm
【点拨】本题考查轴对称—最短路线问题，线段存在平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形周长公式和面积公式等知识，解题的关键是运用所学知识求得△BDM的周长最小值＝AM＋DM＋BD
25．见解析
【分析】
由于DE为定值，只需的和最小，根据材料提供的方法作图即可，过点D作关于BC的对称点F，连接EF与线段BC交于P点．
【详解】
解：如图所示：
的周长
为的中位线
，DE为定值
要使的周长最小
则的和最小
根据小明的做法，
过点D作关于BC的对称点F，连接EF与线段BC交于P点，
则此时的和最小，此时的周长最小．
【点拨】本题考查图形的轴对称、最短路径的问题，作出对称点是解题的关键，属于常考题型．
26．（1）理由见解析；（2）∠PAC=∠PBD；（3）∠PAC=∠PBD．
【分析】
（1）先判断出∠ACP＝∠BDP＝90°，进而判断出△ACP≌△PDB，即可得出结论；
（2）先确定出点A关于直线l的对称点，连接，即可找出点P的位置，利用对称性和平行线的性质即可得出结论；
（3）连接BA交直线l于点P，利用平行线的性质即可得出结论．
【详解】
（1）∵ AC，BD分别是点A，B到直线的距离，
∴ ∠ACP=∠BDP=90°，
在△ACP和△PDB中，，
∴ △ACP≌△PDB（AAS），
∴ AC=PD，PC=BD，
∴CD=CP+PD=BD+AC；
（2）如图1所示，∠A＝∠B，
理由：由作图知，
AC＝，⊥l，
∴∠A＝∠A，
∵A∥BD，
∴∠＝∠B，
∴∠A＝∠B；
（3）如图2所示，
∵∠ACD＝∠BDC＝90°，
∴∠ACD＋∠BDC＝180°，
∴AC∥BD，
∴∠PAC＝∠PBD．
【点拨】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，对称性，掌握距离之和最短和距离之差最大的方法是解本题的关键．
专题2.19 几何最值问题（专项练习）（巩固篇）
一、单选题
1．如图，是等边三角形，是边上的高，E是的中点，P是上的一个动点，当与的和最小时，的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠ACP的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．在中，，，于点，且，若点在边上移动，则的最小值是（ ）
A．4.5 B．4.6 C．4.7 D．4.8
4．如图，在锐角△ABC中，AB＝AC＝10，S△ABC ＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（ ）
A．4 B． C．5 D．6
5．如图，点是内任意点，分别是射线OA，和射线OB上的动点，周长的最小值为8cm，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为底边在△ABC外作等腰△ACD，过点D作∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若AC＝12，BC＝5，△ABC的周长为30，点P是直线DE上的一个动点，则△PBC周长的最小值为（ ）
A．15 B．17 C．18 D．20
7．在等腰中，，、分别是，的中点，点是线段上的一个动点，当的周长最小时，点的位置在的（ ）
A．重心 B．内心 C．外心 D．不能确定
8．如图, 的周长为16．点是边的中点，=2，过点作的垂线，是上任意一点，则 的周长最小值为( )
A．12 B．14 C．16 D．18
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AB于点E，AC于点F，在EF上确定一点P，使PB＋PD最小，则这个最小值为（ ）
A．10 B．11
C．12 D．13
10．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是24，腰的垂直平分线分别交边于点．若点为边上的中点，点为线段上一动点则周长的最小值为( )
A．12 B．14 C．16 D．24
11．如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为（ ）
A．145° B．110° C．100° D．70°
12．如图，在中，，，点、分别在边、上，，点是边上一动点，当的值最小时，，则为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，等腰中，垂直平分，交于点，交于点，点是线段上的一动点，若的面积是，，则的周长最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
14．如图，在中．，若，，，将折叠，使得点C恰好落在AB边上的点E处，折痕为AD，点P为AD上一动点，则的周长最小值为___．
15．如图，等腰△ABC底边BC的长为6cm，面积是24cm2，腰AB的垂直平分线MN交AB于点M，交AC于点N，若D为BC边上的中点，E为线段MN上一动点，则△BDE的周长最小值为____cm．
16．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，△ABC面积为12，AD⊥BC于点D，直线EF垂直平分AB交AB于点E，交BC于点F，P为直线EF上一动点，则△PBD的周长的最小值为____________．
17．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积为20，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为__________．
18．如图，在△AOB中，∠OAB=∠AOB=15º，OB=5，OC平分∠AOB，点P在射线OC上，Q是OA上一动点，则PA+PQ的最小值是__________
19．如图，在中，，，，是的角平分线，点，点分别是，边上的动点，点在上，且，则的最小值为___________．
20．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝10，S△ABC＝30，∠ABC的平分线BD交AC于点D，点M、N分别是BD和BC上的动点，则CM+MN的最小值是_____．
21．如图，在锐角中，，，平分，，分别是和上的动点，则的最小值是_______．
22．如图，在中，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值是________．
三、解答题
23．如图，是平面内三点．
（1）按要求作图：请先用铅笔作图，确认无误后，再用黑色水笔描深．
①作射线，过点作直线，使两点在直线两旁；
②过点作直线的垂线段，垂足为；
③点为直线上任意一点，点为射线上任意一点，连结线段．
（2）在（1）所作图形中，若点到直线的距离为2，点到射线的距离为5，点、之间的距离为8，点之间的距离为6，则的最小值为__________，依据是___________．
24．如图，在等腰三角形ABC中，底边，的面积是，腰AB的垂直平分线EF分别交AB、AC于点E、F，点D为BC边上的中点，M为EF上的动点．
（1）当周长的最小时，请在图中作出满足条件的（保留作图痕迹，不要求写出画法）．
（2）周长的最小值是___________．
25．如图要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？
聪明的小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线图（2）问题就转化为要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：
①作点B关于直线l的对称点；
②连接交直线l于点P，则点P即为所求．
请你参考小明的做法解决下列问题：
如图（3），在ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，请你在BC边上确定一点P，使的周长最小．
26．如图所示，在街道的同一侧，有两个居民区A，B，两个居民区门口到街道的距离分别为AC，BD．现准备在街道旁设置一个快递中转站．
（1）如果设置的快递中转站到A，B两个小区的距离相等，如图1，当∠A=∠BPD时，请说明AC+BD=CD的理由；
（2）如果设置的快递中转站到A，B两个小区的距离之和最短，请在图2中作出点P的位置，连接AP，BP，直接写出此时∠PAC与∠PBD的数量关系；
（3）为了能错峰进行取送快递，决定设置的快递中转站到A，B两个小区的距离之差最大，请在图3中作出点P的位置，连接AP，BP，直接写出此时∠PAC与∠PBD的数量关系．
参考答案
1．A
【分析】
连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC=∠PCB=30°，即可解决问题；
【详解】
解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE=BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE=60°，
∵BA=BC，AE=EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBC=30°，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=30°，
∴∠ECP=∠ACB-∠PCB=30°，
故选：A．
【点拨】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
2．A
【分析】
连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC=∠PCB=30°，即可解决问题；
【详解】
解：如图，连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE=BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE=60°，
∵BA=BC，AE=EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBC=30°，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=30°，
∴∠ACP =30°，
故选：A．
【点拨】本题考查了最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
3．D
【分析】
根据最短路径问题得：当BP⊥AC时，的值最小，利用面积关系得到，代入数值求出答案.
【详解】
由题意得：当BP⊥AC时，的值最小，
∵,
∴,
解得BP=，
故选：D.
【点拨】此题考查最短路径问题，三角形的面积计算公式，利用最短路径问题的思路得到当BP⊥AC时，的值最小是解题的关键.
4．C
【分析】
根据AD是∠BAC的平分线，AB=AC可得出确定出点B关于AD的对称点为点C，根据垂线段最短，过点C作CN⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM＋MN最小的点，CN＝BM＋MN，利用三角形的面积求出CN，从而得解．
【详解】
解：如图，∵AD是∠BAC的平分线，AB=AC，
∴点B关于AD的对称点为点C，
过点C作CN⊥AB于N交AD于M，
由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM＋MN最小的点，CN＝BM＋MN，
∵AB＝10，S△ABC＝25，
∴×10•CN＝25，
解得CN＝5，
即BM＋MN的最小值是5．
故选：C．
【点拨】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂线段最短的性质，等腰三角形的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
5．A
【分析】
分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=CN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．
【详解】
解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，
∵△PMN周长的最小值是8cm，
∴PM+PN+MN=8，
∴DM+CN+MN=8，
即CD=8=OP，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°；
故选：A．
【点拨】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
6．C
【分析】
根据点与点关于对称，即可得出，当点与点重合时，，此时的周长最小，根据与的长即可得到周长的最小值．
【详解】
解：是以为底边的等腰三角形，平分，
垂直平分，
点与点关于对称，
，
如图所示，当点与点重合时，，
此时的周长最小，
，，的周长为30，
，
周长的最小值为，
故选：．
【点拨】本题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
7．A
【分析】
连接BP，根据等边三角形的性质得到AD是BC的垂直平分线，根据三角形的周长公式、两点之间线段最短解答即可.
【详解】
连接BP、BE，
∵AB=AC，BD=BC，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PC+PE=PB+PE，
∵,
∴当B、P、E共线时，PC+PE的值最小，此时BE是△ABC的中线，
∵AD也是中线,
∴点P是△ABC的重心，
故选：A.
【点拨】此题考查等腰三角形的性质，轴对称图形中最短路径问题，三角形的重心定义.
8．A
【分析】
连接BE，依据l是AB的垂直平分线，可得AE=BE，进而得到AE+CE=BE+CE，依据BE+CE≥BC，可知当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变，故△AEC的周长最小值等于AC+BC．
【详解】
∵点D是AB边的中点，BD=2，
∴AB=2BD=4，
∵△ABC的周长为16，
∴AC+BC=12，
如图，连接BE，
∵点D是AB边的中点，l⊥AB，
∴l是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴AE+CE=BE+CE，
∵BE+CE≥BC，
∴当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变，
∴△AEC的周长最小值等于AC+BC=12，
故选：A．
【点拨】此题考查轴对称-最短距离问题，解题关键在于涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．
9．C
【分析】
根据三角形的面积公式即可得到AD的长度，再由最短路径的问题可知PB＋PD的最小即为AD的长．
【详解】
∵
∴
∵EF垂直平分AB
∴点A，B关于直线EF对称
∴
∴，
故选：C.
【点拨】本题主要考查了最短路径问题，熟练掌握相关解题技巧及三角形的高计算方法是解决本题的关键.
10．B
【分析】
连接AD，根据等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质结合三角形的面积公式求出AD的长，再根据垂直平分线的性质知点C关于直线EF的对称点为点A，故A、M、D共线时△CDM的周长的最小，由此即可得出结论．
【详解】
连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，=4，
∴AD⊥BC，=2，
∴，
∴AD=12，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短.
故选：B
【点拨】本题考查的是轴对称——最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
11．B
【分析】
分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长=P1P2，然后得到等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1=100°，即可得出∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2N=100°．
【详解】
解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则
OP1=OP=OP2，∠OP1M=∠MPO，∠NPO=∠NP2O，
∴∠P1OM=∠MOP，∠NOP=∠N O P2，
根据轴对称的性质，可得MP=P1M，PN=P2N，则
△PMN的周长的最小值=P1P2，
∴∠P1OP2=2∠AOB=70°，
∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1=110°，
∴∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2N=110°，
故选：B．
【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，正确作出辅助线，得到等腰△OP1P2中∠OP1P2+∠OP2P1=110°是关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．
12．B
【分析】
延长至点，使，过点作于点，交于点，
则此时的值最小.最后根据直角三角形的边角关系求解即可．
【详解】
如图，延长至点，使，
过点作于点，交于点，
则此时的值最小.
在中，，.
，，，
.
，.
，，.
，，.
在中，，.
，，.
故选B.
【点拨】本题考查了最短路径问题，涉及到最短路径问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，因此利用轴对称找到对称点是解题的关键．
13．B
【分析】
利用三角形的面积公式求出AD，再根据等腰三角形的性质得出BD的长，由EF垂直平分AB，推出BG=AG，推出AG+DG=BG+GD，由BG+GD≥BD，推出GA+GD≥3，推出GA+GD的最小值为3，由此即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接BG．
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=3cm，
∵S△ABC=•BC•AD=6，
∴AD=2，
∵EF垂直平分AB，
∴BG=AG，
∴AG+DG=BG+GD，
∵BG+GD≥BD，，
∴GA+GD≥3，
∴GA+GD的最小值为3，
∴△ADG的最小值为2+3=5，
故选：B．
【点拨】本题考查轴对称-最短问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14．20．
【分析】
根据由沿AD对称,得到，进而表示出，最后求周长即可．
【详解】
由沿AD对称得到，
则E与C关于直线AD对称，
，
∴，
如图,连接，
由题意得，
∴，
当P在BC边上，即D点时取得最小值12，
∴周长为，最小值为．
故答案为:20．
【点拨】本题考查了三角形折叠问题，正确读懂题意是解本题的关键．
15．11
【分析】
连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据MN是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线NM的对称点为点A，故AD的长为BE+ED的最小值，由此即可得出结论．
【详解】
解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，BD=3cm
解得AD=8（cm），
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线MN的对称点为点A，AD与MN的交点为E,
此时BE+DE的值最小
∴AD的长为BE+ED的最小值，
∴△BDE的周长最小值=
故答案为11．
【点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
16．7
【分析】
如图，连接PA．利用三角形的面积公式求出AD，由EF垂直平分AB，推出PB=PA，推出PB+PD=PA+PD，由PA+PD≥AD，推出PA+PD≥4，推出PA+PD的最小值为4，由此即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接PA．
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=3，
∵S△ABC=•BC•AD=12，
∴AD=4，
∵EF垂直平分AB，
∴PB=PA，
∴PB+PD=PA+PD，
∵PA+PD≥AD，
∴PA+PD≥4，
∴PA+PD的最小值为4，
∴△PBD的最小值为4+3=7，
故答案为：7．
【点拨】本题考查轴对称-最短问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17．12
【分析】
首先添加辅助线连接、，结合已知条件根据等要三角形的性质、三角形的面积公式求得的长，再根据垂直平分线的性质、最短路径问题推出结论的长为的最小值，由此可得出结论．
【详解】
解：连接、，如图：
∵是等腰三角形，点为边的中点
∴
∴
∴
∵是线段的垂直平分线
∴点关于直线的对称点为点，
∴
∴的长为的最小值
∴的周长的最小值为．
故答案是：
【点拨】本题考查了三角形的面积公式、等腰三角形的性质、轴对称以及最短路径问题等知识点，能利用相关知识点确定的长为的最小值是解决问题的关键．
18．
【分析】
在射线OB上截取一点Q′，使得OQ′＝OQ，则△OPQ≌△OPQ′，可得PQ＝PQ′．作AH⊥OB于H．可得PA＋PQ＝PA＋PQ′，推出当A、P、Q′共线，且垂直OB时，PA＋PQ′的值最小，最小值为AH．
【详解】
解：在射线OB上截取一点Q′，使得OQ′＝OQ，则△OPQ≌△OPQ′，可得PQ＝PQ′．作AH⊥OB于H．
∴PA＋PQ＝PA＋PQ′，
∴当A、P、Q′共线，且垂直OB时，PA＋PQ′的值最小，最小值为AH，
在Rt△ABH中，∵OB＝AB＝5，∠ABH＝30°，
∴AH＝AB＝，
∴PA＋PQ的最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题考查轴对称−最短问题、等腰三角形的性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
19．．
【分析】
作点关于的对称点，连接，则，，当，，在同一直线上，且时，的最小值等于垂线段的长，利用含角的直角三角形的性质，即可得到的最小值．
【详解】
解：如图所示，作点关于的对称点，连接，则，，
，
当，，在同一直线上，且时，的最小值等于垂线段的长，
此时，△中，，
，
的最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
20．6
【分析】
过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值．
【详解】
解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M作MN′⊥BC于N′，
∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于点E，M′N′⊥BC于N
∴M′N′＝M′E，
∴CE＝CM′+M′E
∴当点M与M′重合，点N与N′重合时，CM+MN的最小值．
∵三角形ABC的面积为30，AB＝10，
∴×10×CE＝30，
∴CE＝6．
即CM+MN的最小值为6．
故答案为6．
【点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．
21．4
【分析】
根据题意画出符合条件的图形，作N关于AD的对称点R，作AC边上的高BE（E在AC上），求出BM+MN=BR，根据垂线段最短得出，求出BE即可得出BM+MN的最小值；
【详解】
作N关于AD的对称点R，作AC边上的高BE（E在AC上），
∵AD平分，为锐角三角形，
∴R必在AC上，
∵N关于AD的对称点是R，
∴MR=MN，
∴，
即（垂线段最短），
∵的面积是，AC=7，
∴，
∴，
即的最小值为．
故答案为4．
【点拨】本题主要考查了轴对称最短路线问题，准确计算是解题的关键．
22．7
【分析】
根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，求出AC长度即可得到结论．
【详解】
解：∵垂直平分，
∴B，C关于直线对称．设交于点D，
∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长，
∴周长的最小值是．
【点拨】本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题的应用，解题的关键是找出P的位置．
23（1）①见解析；②见解析；③见解析；（2）5，垂线段最短
【分析】
（1）①作射线BC，过点B作直线l，使A、C两点在直线l两旁即可；
②过点A作AE⊥直线，垂足为E，则线段AE为所求；
③点P为直线l上任意一点，点Q为直线BC上任意一点，连接线段AP、PQ即可：
（2）根据垂线段最短，即可求出AP+PQ的最小值．
【详解】
解：如图所示，
（1）①射线BC，直线l即为所求；
②过点A作AE⊥直线，垂足为E，则线段AE为所求；
③点P、Q、线段AP、PQ即为所求；
（2）根据作图可知：
过点A作AQ⊥BC，垂足为Q，与直线相交与点P，
∴AP+PQ的最小值即为点A到直线BC的距离为：AQ=5．
依据为：垂线段最短．
故答案为：5，垂线段最短．
【点拨】本题考查了点到直线的距离，直线，射线，线段的定义，正确的作出图形是解题的关键．
24．（1）图见解析；（2）5.5
【分析】
（1）根据三角形周长公式和两点之间线段最短来分析，进而再利用简单的作图方法即可作图；
（2）根据三角形面积公式求出AD，再根据中点定义求出BD即可求解．
【详解】
（1）如图所示；连接AM，
∵EF是AB的线段垂直平分线
∴AM＝BM
∴△BDM的周长＝BM＋DM＋BD
又AM＝BM
∴△BDM的周长＝AM＋DM＋BD
∵BD是定值
∴当A、M、D三点在一条直线上时，AM＋DM值最小，即△BDM的周长最小，
（2）∵△ABC是等腰三角形
又点D为BC边上的中点，
∴AD是△ABC BC边上的高，
∵，，的面积是，
∴BD＝1.5cm，AD＝4cm
∴△BDM的周长最小值＝AM＋DM＋BD＝AD＋BD＝5.5cm
【点拨】本题考查轴对称—最短路线问题，线段存在平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形周长公式和面积公式等知识，解题的关键是运用所学知识求得△BDM的周长最小值＝AM＋DM＋BD
25．见解析
【分析】
由于DE为定值，只需的和最小，根据材料提供的方法作图即可，过点D作关于BC的对称点F，连接EF与线段BC交于P点．
【详解】
解：如图所示：
的周长
为的中位线
，DE为定值
要使的周长最小
则的和最小
根据小明的做法，
过点D作关于BC的对称点F，连接EF与线段BC交于P点，
则此时的和最小，此时的周长最小．
【点拨】本题考查图形的轴对称、最短路径的问题，作出对称点是解题的关键，属于常考题型．
26．（1）理由见解析；（2）∠PAC=∠PBD；（3）∠PAC=∠PBD．
【分析】
（1）先判断出∠ACP＝∠BDP＝90°，进而判断出△ACP≌△PDB，即可得出结论；
（2）先确定出点A关于直线l的对称点，连接，即可找出点P的位置，利用对称性和平行线的性质即可得出结论；
（3）连接BA交直线l于点P，利用平行线的性质即可得出结论．
【详解】
（1）∵ AC，BD分别是点A，B到直线的距离，
∴ ∠ACP=∠BDP=90°，
在△ACP和△PDB中，，
∴ △ACP≌△PDB（AAS），
∴ AC=PD，PC=BD，
∴CD=CP+PD=BD+AC；
（2）如图1所示，∠A＝∠B，
理由：由作图知，
AC＝，⊥l，
∴∠A＝∠A，
∵A∥BD，
∴∠＝∠B，
∴∠A＝∠B；
（3）如图2所示，
∵∠ACD＝∠BDC＝90°，
∴∠ACD＋∠BDC＝180°，
∴AC∥BD，
∴∠PAC＝∠PBD．
【点拨】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，对称性，掌握距离之和最短和距离之差最大的方法是解本题的关键．
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