四川省成都市树德中学2022-2023学年高二数学（文）上学期期中试题（Word版附解析）

树德中学外国语校区高2021级秋期半期考试

（文科）数学试题

一、选择题（每题5分，每题只有一个正确的选项）

1. 以椭圆的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用椭圆和抛物线的几何意义求解即可.

【详解】由椭圆可得，

所以左焦点坐标为，

所以以为焦点的抛物线的标准方程为，

故选：C.

2. 曲线​（    ）

A. 关于​轴对称 B. 关于​轴对称 C. 关于原点对称 D. 不具有对称性

【答案】C

【解析】

【分析】将点，，分别代入方程，即可检验对称性.

【详解】对于A，将点代入曲线方程得：，

所以曲线不关于轴对称，A错误；

对于B，将点代入曲线方程得：，

所以曲线不关于轴对称，B错误；

对于C，将点代入曲线方程得：，

所以曲线关于原点对称，C正确，D错误.

故选：C

3. 已知的周长为20，且顶点，则顶点的轨迹方程是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知条件及椭圆定义求椭圆标准方程.

【详解】错解：

∵△ABC的周长为20，顶点，

∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，

∵12＞8，

∴点A到两个定点的距离之和等于定值，

∴点A的轨迹是椭圆，

∵a＝6，c＝4，

∴b2＝20，

∴椭圆的方程是

故选：D.

错因：

忽略了A、B、C三点不共线这一隐含条件.

正解：

∵△ABC的周长为20，顶点，

∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，

∵12＞8，

∴点A到两个定点的距离之和等于定值，

∴点A的轨迹是椭圆，

∵a＝6，c＝4，

∴b2＝20，

∴椭圆的方程是

故选：B.

4. 已知命题，则是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据全称量词命题的否定是存在性量词命题即可选出答案.

【详解】解：由题意得：

全称量词命题的否定是存在性量词命题：

故，则

故选：C

5. 已知双曲线过点，且与双曲线：有相同的渐近线，则双曲线的焦距为（    ）

A. 7 B. 14 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先设出与共渐近线的双曲线方程，再代入点，求出，从而求出的方程，进而求解.

【详解】设双曲线：，将代入可得.故双曲线：，则，则焦距.

故选：B

6. 已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由正弦函数的有界性确定命题的真假性，由指数函数的知识确定命题的真假性，由此确定正确选项.

【详解】由于，所以命题为真命题；

由于在上为增函数，，所以，所以命题为真命题；

所以为真命题，、、为假命题.

故选：A．

7. 设圆的圆心为C， 直线l过点， 且与圆C交于A，B两点， 若， 则 直线l的方程为（  ）

A.  B. 或

C.  D. 或

【答案】D

【解析】

【分析】由直线与圆相交的弦长与点到直线的距离公式列式求解，

【详解】圆的方程为，得圆心，半径，，则圆心到直线距离为1，

当直线l的斜率不存在时，方程为，此时圆心到直线距离，满足题意，

当直线l的斜率存在时，设方程为，由题意得，解得，

此时方程为，

综上，直线l的方程为或，

故选：D

8. 执行如图的程序框图，如果输入的，那么输出的S的最大值为（    ）．

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】在直角坐标系内画出可行解域，根据平移的方式求出S的最大值，再与进行比较即可.

【详解】不等式组在直角坐标系内表示的平面区域如下图所示：

平移直线，当直线经过时，有最大值，最大值为，

故选：C

9. 若椭圆​的动弦​斜率为​，则弦中点坐标可能是（    ）

A. ​ B.  C. ​ D. ​

【答案】B

【解析】

【分析】已知弦中点的斜率，用点差法求中点的坐标.

【详解】设，，则由已知得，，，

两式作差可得，，整理可得.

中点D的坐标为，则有.

又点D在椭圆的内部，所以

故选：B.

10. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P是直线l上的动点．若点A在抛物线C上，且，则（O为坐标原点）的最小值为（    ）

A. 8 B.  C.  D. 6

【答案】B

【解析】

【分析】依题意得点坐标，作点关于的对称点，则，求即为最小值．

【详解】如图所示：作点关于的对称点，连接，设点，不妨设

由题意知，直线l方程为，则，得

所以，得

由，当三点共线时取等号，

又

所以的最小值为

故选：B

【点睛】关键点点睛：作点关于的对称点，将化为，利用三点共线是求得最小值的关键点．

11. 已知圆，，过圆上一点P作圆的两条切线，切点分别是E、F，则的最小值是　　

A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

【答案】A

【解析】

【分析】本题首先可以通过圆的方程得出圆的圆心轨迹，然后画出圆的圆心轨迹图像以及圆的图像，通过图像可以得出线段的取值范围以及的解析式，最后通过函数性质即可得出结果．

【详解】由可得：

圆的圆心在圆的圆周上运动，

设，则，

由图可知：，

，

由在上为增函数可知，

当时，取最小值6，故选A．

【点睛】本题考查圆的相关性质，主要考查圆的方程的相关性质以及圆的切线的相关性质，考查推理能力，考查数形结合思想、方程思想以及化归思想，是难题．

12. 设，是双曲线的左､右焦点，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H，且l与双曲线右支相交于点P，若，且，则下列说法正确的是（    ）．

A. 到直线l的距离为a B. 双曲线的离心率为

C. 的外接圆半径为 D. 的面积为9

【答案】B

【解析】

【分析】过作的垂线，垂足为，找出图形中所有线段的长度，就能直接求出A， 对于B，根据抛物线的定义求出的关系，即的一个关系，在中由勾股定理又找到的一个关系，就可以求出的值；C项，根据正弦定理求解，D项等于求解.

【详解】过作的垂线，垂足为，则又因为为的中点，所以

为的中点，且，即，在中，所以，

对于A项，易得到直线l的距离为，故A项错误.

对于B项， 在中，，由勾股定理得：①

又因为点在双曲线上，则，即，即②

把②式两边平方得③，

与③联立得

即，所以，即即，即

所以，即所以B对

对于C项，因为即，同时把②式乘得

即

在中，

在中，由正弦定理得：

即，即，所以C项错误.

对于D项，的面积为，所以D错.

故选：B

二、填空题（每题5分，请将正确的答案填写在答题卡的对应位置）

13. 若4进制数2m01（4）（为正整数）化为十进制数为177，则______.

【答案】3

【解析】

【分析】将各数位上的数乘以其权重累加后，即可求解

【详解】将4进制数2m01（4）化为十进制数为，解得.

故答案为：3

【点睛】本题考查进制间的转化，属于基础题.

14. 设；．若是的必要而不充分条件，则实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】计算，，根据必要不充分条件得到，解得答案.

【详解】，即；

，即，，

是的必要而不充分条件，故（等号不同时成立），解得.

故答案为：

15. 已知双曲线，过双曲线的右焦点作一条渐近线的平行线与双曲线交于点，与另一条渐近线交于点，是坐标原点，则___________．

【答案】

【解析】

【分析】联立直线与双曲线的方程可得，联立两直线的方程即可得进而根据三角形的高之比得面积之比，即可求解.

【详解】根据题意知，渐近线方程为：，

不妨设直线的方程为：，代入双曲线方程，得，

解得，即，双曲线的另一条渐近线方程为，

联立两条直线方程

，解得，即

．

故答案为：

16. 已知是椭圆和双曲线的交点，，是，的公共焦点，，分别为，的离心率，若，则的最大值为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据椭圆与双曲线的定义把用来表示，然后在中用余弦定理求出的关系，然后再用基本等式求解.

【详解】设

因为点在椭圆上，所以①

又因为点在双曲线上，所以②

则①②得；①②

在中由余弦定理得：

即

即，即即

由基本不等式得：

所以当且仅当即时成立.

故答案：

三、解答题（本题共6个小题，共70分，请写出必要的推理与演算过程）

17. 已知命题 ​: “方程​表示双曲线”，命题​: 方程​表 示椭圆”

（1）若 ​为真命题，求​的取值范围;

（2）若 ​为真命题，求​的取值范围.

【答案】（1）​   

（2）​

【解析】

【分析】(1)先分别求出命题​为真，​为真的条件，然后根据​为真命题求出结果即可；

(2) 先分别求出命题​为真，​为真的条件，然后根据​为真命题求出结果即可.

【小问1详解】

若 ​为真，有​，即​;

若​为真，则有​，即 ​.

若 ​为真，则有​，即​.

【小问2详解】

若 ​为真，有​，即​;

若​为真，则有​，即 ​.

若 ​为真，则有​，即​.

18. 已知圆C的圆心在第一象限且在直线上，与x轴相切，被直线截得的弦长为

（1）求圆C的方程；

（2）由直线上一点P向圆C引切线，A，B是切点，求四边形PACB面积的最小值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）设出圆心坐标，判断出圆的半径，利用直线截圆所得弦长列方程来求得，从而求得圆的方程.

（2）先求得，通过求的最小来求得的最小值.

小问1详解】

依题意，设圆的圆心坐标为，半径为，

到直线的距离为，

所以，解得，

所以圆的方程为.

【小问2详解】

由（1）得，圆的圆心为，半径，

，所以当最小时，最小.

到直线的距离为，

所以的最小值为，

所以四边形PACB面积的最小值为.

19. 已知平面内两个定点，，过动点M作直线的垂线，垂足为N，且.

（1）求点M的轨迹E的方程；

（2）若直线与曲线E有且仅有一个交点，求实数k的取值范围.

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）设点M坐标为，然后求出、、的坐标，然后根据可得答案；

（2）由可得，然后分、两种情况求解即可.

【小问1详解】

设点M坐标为，则，，，，

，，

即：，点M的轨迹方程为；

【小问2详解】

将直线方程与曲线方程联立，，

①当，即时，直线与曲线E渐近线平行，满足

②当时，直线与曲线E相切，满足题意，解得

综上，的取值范围为或.

20. 已知椭圆的左右顶点分别为A，B，点P为椭圆上异于A，B的任意一点．

（1）求直线PA与PB斜率之积；

（2）任意过且与x轴不重合的直线交椭圆E于M，N两点，证明：以MN为直径的圆恒过点A．

【答案】（1）；   

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据椭圆的方程，可得参数的值，则得到顶点坐标，设出点，利用椭圆方程和斜率公式，可得答案；

（2）设出直线方程，联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，利用圆的性质，结合向量数量积建立方程，可得答案.

【小问1详解】

由椭圆，可得，则，．

设点，则有，即，

所以．

【小问2详解】

证明：设，，

因为MN与x轴不重合，所以设直线，

由，化简得；

由题意可知成立，且 ；

，

将韦达定理代入上式，可得，

所以，即以MN为直径的圆恒过点A．

21. 已知椭圆：的焦点，，点P在椭圆上满足

（1）求椭圆标准方程；

（2）设椭圆的左顶点为，过点的直线与椭圆相交于异于的不同两点，，求的面积的最大值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据椭圆定义，求出，，再根据求解即可；

（2）设直线方程，与椭圆方程联立，借助韦达定理（根与系数的关系）求出交点，纵坐标的关系与，以此求得的面积的最大值．

【小问1详解】

∵，∴，，

∵椭圆的焦点，，∴，

∴，

∴椭圆的标准方程为.

【小问2详解】

由椭圆的标准方程，左顶点，

易知过的直线斜率不为，

∴设直线的方程为：，

，消去，化简得：

，

恒成立，

设，，

则，，

，

令，则，，

，

令，则，

当时，，∴在单调递增，

∴，

∴

∴当，即，直线的方程为时，面积的最大值为.

22. 已知椭圆的离心率为，设是C上的动点，以M为圆心作一个半径的圆，过原点作该圆的两切线分别与椭圆C交于点P、Q，若存在圆M与两坐标轴都相切．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线OP，OQ的斜率都存在且分别为，，求证：为定值；

（3）证明：为定值？并求的最大值．

【答案】（1）；   

（2）证明见解析；    （3）证明见解析，最大值为．

【解析】

【分析】（1）由存在圆M与两坐标轴都相切确定圆心M坐标，由离心率及点M坐标即可列方程组求参数；

（2）分别联立两切线与圆消元得方程，由判别式为0可得，是该方程的两个不相等的实数根，由韦达定理及点在椭圆C上可得为定值；

（3）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设，，由（2）得，结合，在椭圆C上，可得，，即有，当直线OP，OQ落在坐标轴上时可直接求；最后由均值定理可得的最大值.

【小问1详解】

由椭圆的离心率，则，

又存在与两坐标轴都相切，则此时圆心，

代入，解得：，则，

∴椭圆方程：．

【小问2详解】

因为直线，与圆M相切，

由直线与圆联立，

可得，

同理，

由判别式为0可得，是方程的两个不相等的实数根，∴，

因为点在椭圆C上，所以，所以．

【小问3详解】

当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设，，

因，所以，

因为，在椭圆C上，所以，整理得，

所以，所以．

当直线落在坐标轴上时，显然有，

综上，，所以，

所以的最大值为．

【点睛】（2）中由判别式为0可得，是方程的两个不相等的实数根，以及点在椭圆上可得方程，即可进一步消元化简.