四川省成都市第七中学2022-2023学年高二数学（文）上学期期中试卷（Word版附解析）

成都七中2022-2023学年度高二（上）期期中考试

文科数学总分: 150分

一 单选题（5分*12）

1. 双曲线 ​的渐近线方程为（    ）

A.​ B.​

C.​ D.​

2. 直线 ​的倾斜角为（    ）

A.​ B.​

C.​ D.​

3. 原命题为 “若 ​, 则​, 且​”, 则其否命题为（    ）

A.若 ​, 则​, 且​   B.若 ​, 则​, 且​

C.若 ​, 则​, 或​   D.若 ​, 则​, 或​

4. 双曲线 ​的左、右焦点分别为​点​位于其左支上, 则​（    ）

A.​ B.​ C.​ D.​

5. 曲线 ​（    ）

A.关于 ​轴对称 B.关于 ​轴对称 C.关于原点对称 D.不具有对称性

6. 若抛物线 ​的准线方程为​, 则实数​（    ）

A.​ B.​ C.​ D.​

7. 已知 ​: 直线​与​平行, 则​是​的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

8. 过点 ​且横、纵截距相等的直线其条数为（    ）

A.1 B.2 C.3 D.4

9. 若椭圆 ​的弦​中点坐标为​, 则直线​的斜率为（    ）

A.​ B.​ C.​ D.​

10. 从平面 ​内、外分别取定点​, 使得直线​与​所成线面角的大小为​, 若平面​内一动点​到直线​的距离等于​, 则​点的轨迹为（    ）

A.圆 B.抛物线 C.双曲线 D.椭圆

11. 过点 ​的直线​与曲线​交于​两点, 且满足​, 则直 线​的斜率为（    ）

A.​ B.​ C.​ D.​

12. 椭圆 ​的离心率为​, 其左、右焦点分别为​, 上顶点为​, 直线​与椭圆另一交点为​, 则​内切圆的半径为（    ）

A.​ B.​   C.​ D.​

二 填空题（5分*4）

13. 命题 “ ​” 的否定为___________.

14. 在空间直角坐标系中, ​轴上与点​和点​距离相等的点的坐标 为___________.

15. 圆 ​与圆​公共弦所在直线方程为___________.

16. 当 ​时, 点​到直线​的距离最小值为 ___________.

三 解答题部分70分

17. （10分）已知命题 ​: “方程​表示双曲线”, 命题​方程​表示 椭圆”, 若​为真命题, 求​的取值范围.

18. （12分）设椭圆 ​的右焦点为​, 右顶点为​, 已知椭圆的短轴长为​, 且有​.

（1）求椭圆的方程;

（2）设 ​为该椭圆上一动点,​为​在​轴上的射影, 而直线​的斜率为​, 其中​为原点. 记​的面积为​, 试用​写出​的解析式.

19. （12分）已知直线 ​的方程为​, 点​的坐标为​.

(1) 若直线 ​与​关于点​对称, 求​的方程;

(2) 若点 ​与​关于直线​对称, 求​的坐标.

20. （12分）

设双曲线 ​的上焦点为​, 过​且平行于​轴的弦其长为​.

(1) 求双曲线 ​的标准方程及实轴长;

(2) 直线 ​与双曲线​交于​两点, 且满足​, 求实数​的取值.

21. （12分）已知曲线 ​的参数方程为​(​为参数).

(1) 求曲线 ​的轨迹方程, 并判断轨迹的形状;

(2) 设 ​为曲线​上的动点, 且有​, 求​的取值范围.

22. （12分）设抛物线 ​的准线为​为抛物线上两动点,​为 垂足，已知​有最小值​, 其中​的坐标为​.

(1) 求抛物线的方程;

(2) 当 ​, 且​时, 是否存在一定点​满足​为定值？若存在, 求出​的坐标和该定值; 若不存在, 请说明理由.

答案

1.  D

 【解析】

双曲线 ​的渐近线方程为:​

2.  C

 【解析】

解: 由题意可得: 直线的斜率为 ​, 即​, 又​, 故​

3.  C

 【解析】

“若 ​, 则​, 且​”, 则其否命题为若​, 则​, 或​

4.  D

 【解析】

由双曲线的定义得 ​, 则​​

5.  C

 【解析】

用 ​代替曲线中的​代替曲线中的​得，​，即为​所以曲线​关于原点对称；

6.  A

 【解析】

由 ​, 变形得:​

​, 又抛物线的准线方程是​,

​, 解得​.

7.  A

8.  B

9.  B

10. D

11. B

12. B

13.

​

 【解析】

命题 “ ​” 的否定为​

14.

​

15.

​

16.

​

17.

​.

 【解析】

解: 若 ​为真, 有​, 即​;

若 ​为真, 有​,

即 ​.

若 ​为真, 则有​, 即​.

18.

（1） ​（2）​

 【解析】

解: (1) 由题设知 ​, 设椭圆半焦距为​, 即​,

又 ​, 可 得​,

则椭圆的方程为 ​;

(2) 联立 ​,

而 ​,

即 ​

19.

（1） ​.（2）​

 【解析】

解: (1) 设 ​的方程为​, 有​,

即 ​, 或​(舍去), 故​的方程为​.

(2) 设点 ​的坐标为​, 有​

计算可得 ​故​的坐标为​.

20.

（1） ​的标准方程为​, 双曲线​的实轴长也为​. （2）​

 【解析】

解: (1) 双曲线 ​的上焦点​的坐标为​, 取​, 代入​, 得​, 而​, 可知​, 故​的标准方程为​, 双曲线​的实轴长也为​.

(2) 联立 ​可得​, 且​,​①,

​②,

将①式、②式代入 ​， 有​, 计算可得​, 且满足​.

21.

（1）以 ​为圆心,​为半径的圆.（2）​

 【解析】

解: (1) 消去参数 ​, 有​, 则曲线​的轨 迹方程为​, 轨迹是以​为圆心,​为半径的圆.

(2) 设 ​的坐标为​,

则 ​

​

​

而 ​, 其中​为锐角,

且 ​, 故​的取值范围为​.

22.

（1） ​（2）​.

 【解析】

解: (1) 设抛物线焦点为 ​, 有​, 得​, 则 抛物线的方程为​.

(2) 设 ​, 直线​方程为​

联立 ​得​,

且有 ​,

而 ​

​

​

​

为满足题设, 取 ​

可得 ​

即存在定点 ​, 使得​为定值​.