江苏省苏州市2021-2022学年高一上学期期末学业质量阳光指标调研数学试卷

这是一份江苏省苏州市2021-2022学年高一上学期期末学业质量阳光指标调研数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

苏州市2021-2022学年第一学期期末学业质量阳光指标调研卷
高一数学
（解析版）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）命题“∀x∈R，sinx+1≥0“的否定是（　　）
A．∀x∈R，sinx+1＜0 B．∃x0∈R，sinx0+1≥0
C．∀x∈R，sinx+1≤0 D．∃x0∈R，sinx0+1＜0
【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x0∈R，sinx0+1＜0，
故选：D．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
2．（5分）已知集合M＝，N＝{x|0≤x≤4}，则M∩N＝（　　）
A．（0，1] B．（1，4] C．[0，1） D．{1，4}
【分析】化简集合M，利用交集定义求解．
【解答】解：∵集合M＝＝{x|0≤x＜1}，N＝{x|0≤x≤4}，
∴M∩N＝[0，1）．
故选：C．
【点评】本题考查了交集的求法，属于基础题．
3．（5分）在△ABC中，“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：在△ABC中，若A＝，则sinA＝sin＝，即“”⇒“”，
反之，在△ABC中，若sinA＝，则A＝或，故由“”不能推出“”，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查了充分必要条件的判定，属于基础题．
4．（5分）若定义域为R的奇函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则不等式f（2x﹣1）﹣f（x）＜0的解集为（　　）
A．（﹣∞，1） B．[0，1） C． D．（1，+∞）
【分析】由奇函数在对称区间上的单调性相同，可得到f（x）在R上单调递增，将原不等式移项得f（2x﹣1）＜f（x），脱“f”，可解得原不等式的解集．
【解答】解：∵f（x）为R上的奇函数，
∴f（0）＝0；
又f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，奇函数在对称区间上单调性相同，
∴f（x）在R上单调递增；
∴由不等式f（2x﹣1）﹣f（x）＜0，得f（2x﹣1）＜f（x），
∴2x﹣1＜x，解得x＜1，
∴不等式f（2x﹣1）﹣f（x）＜0的解集为（﹣∞，1）．
故选：A．
【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及奇函数在对称区间上的单调性特点，考查了等价转化思想及运算求解能力，属于中档题．
5．（5分）若三个变量y1，y2，y3，随着变量x的变化情况如下表．
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1715
3645
6655
y2
5
29
245
2189
19685
177149
y3
5
6.10．
6.61
6.985
7.2
7.4
则关于x分别呈函数模型：y＝mlogax+n，y＝pax+q，y＝kxa+t变化的变量依次是（　　）
A．y1，y2，y3 B．y3，y2，y1 C．y1，y3，y2 D．y3，y1，y2
【分析】根据表中数据，结合函数的变化率，即可求解．
【解答】解：由表可知，y2随着x的增大而迅速的增大，是指数函数型变化，
y3随着x的增大而增大，但是变化缓慢，是对数函数型变化，
y1相对于y2的变化要慢一些，是幂函数型的变化．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握函数的变化率是解本题的关键，属于基础题．
6．（5分）已知a，b＞0，且a+2b＝1，则的最小值为（　　）
A．6 B．8 C．9 D．10
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵a+2b＝1，
∴＝＝9，当且仅当时等号成立．
故选：C．
【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．
7．（5分）已知函数y＝f（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式最可能是（　　）

A．y＝xcosx B．y＝sinx﹣x2
C． D．y＝sinx+x
【分析】由图象判断函数的奇偶性，以及函数值的符号，运用排除法可得结论．
【解答】解：由f（x）的图象关于原点对称，可得f（x）为奇函数，
对于选项B，f（x）＝sinx﹣x2，f（﹣x）＝﹣sinx﹣x2≠﹣f（x），f（x）不为奇函数，故排除B；
对于选项C，f（x）＝，f（﹣x）＝＝2x（1﹣cosx）≠﹣f（x），f（x）不为奇函数，故排除C；
对于选项D，f（x）＝x+sinx，f（﹣x）＝﹣sinx﹣x＝﹣f（x），可得f（x）为奇函数，
由f（x）＝0，可得sinx＝﹣x，f（0）＝0，由y＝sinx和y＝﹣x的图象可知它们只有一个交点，故排除D；
对于选项A，f（x）＝xcosx，f（﹣x）＝﹣xcos（﹣x）＝﹣xcosx＝﹣f（x），可得f（x）为奇函数，
且f（x）＝0时，x＝0或x＝kπ+（k∈Z），f（）＜0，f（π）＜0，
故选项A最可能正确．
故选：A．
【点评】本题考查函数的图象的判断，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．
8．（5分）若函数有4个零点，则ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【分析】当x＞0时有一个零点，故当﹣π≤x≤0时有3个零点，然后求解即可．
【解答】解：当x＞0时，令log2x+2x＝0，解得：x＝，
又因为f（x）＝0有4个根，
所以当﹣π≤x≤0时，f（x）有3个零点，
因为﹣π≤x≤0，
所以﹣πω+≤ωx+≤，
所以有：﹣3π＜﹣πω+≤﹣2π，解得：，
故选：B．
【点评】本题考查了函数的零点，也考查了学生的数形结合思想，属于中档题．
二、选择题：本题共4小题。每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（5分）下列结果为1的是（　　）
A． B．lg2+lg5
C． D．log23×log34×log42
【分析】由对数运算及指数运算的性质化简即可．
【解答】解：对于选项A，＝＝≠1，
对于选项B，lg2+lg5＝lg10＝1，
对于选项C，＝4﹣3＝1，
对于选项D，log23×log34×log42＝log24×log42＝1，
故选：BCD．
【点评】本题考查了指数运算及对数运算的应用，属于基础题．
10．（5分）已知a＞b＞c＞0，下列结论中一定正确的是（　　）
A．ab＞bc B．
C．tana＞tanb D．2022a﹣c+a＞2022b﹣c+b
【分析】直接利用不等式的性质，构造函数，作差法的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于A：由于a＞b＞c＞0，所以ab＞bc，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：当时，tana＞tanb，故C错误；
对于D：设f（x）＝2022x﹣c+x，由于函数在（0，+∞）上单调递增，故当a＞b＞c＞0，不等式2022a﹣c+a＞2022b﹣c+b成立，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，构造函数，作差法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
11．（5分）若关于x的不等式aex+bx+c＜0的解集为（﹣1，1），则（　　）
A．b＞0 B．|a|＜|c| C．a+b+c＞0 D．8a+2b+c＞0
【分析】根据题意，分析可得方程aex+bx+c＝0的两个根为﹣1和1，可得，联立两式，用a表示b、c，进而分析可得a＞0，据此依次分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，关于x的不等式aex+bx+c＜0的解集为（﹣1，1），
则方程aex+bx+c＝0的两个根为﹣1和1，则有，
联立可得：c＝﹣a，b＝﹣a，
0∈（﹣1，1），则有ae0+b×0+c＝a+c＝a﹣a＜0，变形可得：a＜0，
则有a＞0，
依次分析选项：
对于A，由于b＝﹣a，且a＜0，则有b＝﹣a＜0，A错误；
对于B，由于c＝﹣a，则|c|＝|a|＞|a|，B正确；
对于C，a+b+c＝a﹣a﹣a＝（1﹣e）a＜0，C错误；
对于D，8a+2b+c＝8a﹣（e﹣）a﹣a＝（8﹣+）a＞0，D正确；
故选：BD．
【点评】本题考查函数与方程的关系，关键是推导a、b、c之间的关系，属于中档题．
12．（5分）记区间M＝[a，b]，集合N＝{y|y＝，x∈M}，若满足M＝N成立的实数对（a，b）有且只有1个，则实数k可以取（　　）
A．﹣2 B． C．1 D．3
【分析】由集合与函数的性质进行分析，即可求出满足题意的k．
【解答】解：∵y＝，当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，y＝，可知函数为偶函数，且在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，
若存在唯一实数对（a，b）使M＝N，
则当x＝a时，y＝b，
当x＝b时，y＝a，
即，两式相乘得，
∴k2＝（|a|+1）（|b|+1）或k2＝﹣（|a|+1）（|b|+1），
∵k2＞0，
∴k2＝（|a|+1）（|b|+1），
又∵|a|＞0，
∴|a|+1＞1，同理|b|+1＞1，
∴（|a|+1）（|b|+1）＞1，
即k2＞1，
k＞1或k＜﹣1，
故满足条件的为AD，
故选：AD．
【点评】本题考查集合与函数的性质，考查学生的运算能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）写出一个满足“对任意实数a，b，f（a+b）＝f（a）f（b）”的增函数f（x）＝　ax（a＞1）　．
【分析】由幂运算性质ar+s＝ar•as知函数为指数函数，从而写出答案．
【解答】解：由幂运算性质ar+s＝ar•as知，
满足“对任意实数a，b，f（a+b）＝f（a）f（b）”的函数为指数函数，
故满足条件的增函数可以为f（x）＝ax（a＞1），
故答案为：ax（a＞1）．
【点评】本题考查了指数运算及指数函数的性质，属于基础题．
14．（5分）若对任意a＞0且a≠1，函数f（x）＝ax+1+1的图象都过定点P，且点P在角θ的终边上，则tanθ＝　﹣2　．
【分析】令幂指数等于零，求得x、y的值，可得函数的图象经过定点的坐标，进而根据任意角的三角函数的定义即可求解．
【解答】解：令x+1＝0，求得x＝﹣1，y＝2，
可得函数f（x）＝ax+1+1（a＞0，a≠1）的图象经过定点P（﹣1，2），
所以点P在角θ的终边上，则tanθ＝＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查指数函数的特殊点，任意角的三角函数的定义，属于基础题．
15．（5分）若函数a，b满足a•2a＝b•log2b＝4，则a，b的大小关系a　＜　b（填“＜”，“＝”或“＞”）．
【分析】画出指数函数，对数函数，反比例函数的图象求解即可．
【解答】解：a•2a＝b•log2b＝4⇔2a＝，log2b＝，
在同一直角坐标系画出函数y＝2x，y＝log2x，y＝的图象如下，

由图知a＜b，
故答案为：＜．
【点评】本题考查了指数函数，对数函数，反比例函数的图象，属于中档题．
16．（3分）立德中学拟建一个朋环而形状的花坛（如图），该该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后可通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环而的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧度）．当时，x＝　5　米．现要给花坛的边缘（实线部分）进行装饰，已知直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，则花坛每平方米的装饰费用M最小为 　　元．

【分析】由题意可得，30＝θ•（10+x）+2（10﹣x），解得，当时，解得x＝5，再结合换元法，以及基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：由题意可得，30＝θ•（10+x）+2（10﹣x），
解得，
当时，解得x＝5，
S花＝＝（0＜x＜10），
装饰费为9θ（10+x）+8（10﹣x）＝170+10x，
故M＝＝，
令t＝17+x，17＜t＜27，
则M＝＝＝，
∵，当且仅当，即t＝18时，等号成立，
∴M的最小值为，
花坛每平方米的装饰费用M最小为元．
故答案为：5；．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握换元法，以及基本不等式的公式是解本题的关键，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣5x≤0}，B＝{x|（x﹣t）（x﹣t﹣6）≤0}，其中t∈R．
（1）当t＝1时，求A∪B；
（2）若A⊆B，求t的取值范围．
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求出集合A和集合B，然后根据并集的定义进行求解；（2）根据A⊆B，然后建立关系式，解之即可．
【解答】解：集合A＝{x|x2﹣5x≤0}＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|（x﹣t）（x﹣t﹣6）≤0}＝{x|t≤x≤t+6}，
（1）当t＝1时，B＝[1，7]，
故A∪B＝[0，7]．
（2）因为A⊆B，
所以，解得﹣1≤t≤0，
所以t的取值范围为[﹣1，0]．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法和集合的运算，以及充分条件、必要条件的判定，同时考查了学生逻辑推理的能力和运算求解的能力，属于基础题．
18．（12分）已知，其中α为第二象限角．
（1）求cosα﹣sinα的值；
（2）求的值．
【分析】（1）由已知条件可得，利用同角三角函数基本关系式可得，结合α在第二象限，解得cosα的值，利用同角三角函数基本关系式即可求解．
（2）利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值，进而即可求解．
【解答】解：（1）由已知条件可得，
化简可得，代入sin2α+cos2α＝1，可得，
所以，或，
又α在第二象限，
故cosα＜0，
所以，
所以，
所以．
（2），
所以．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
19．（12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式和单调增区间；
（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数g（x）的图象，若关于x的方程g（x）﹣2m＝0在区间[0，π]上有两个不同的解x1，x2，求g（）的值及实数m的取值范围．

【分析】（1）结合图象和T＝，求得ω的值，再根据，f（0）＝﹣1，求得f（x）的解析式，然后利用正弦函数的单调性，即可得解；
（2）根据函数图象的变换法则写出g（x）的解析式，再结合正弦函数的单调性、对称性，即可得解．
【解答】解：（1）设f（x）的最小正周期为T，
由图象可知，，得T＝π，所以，
故f（x）＝Asin（2x+φ），
又，所以，即，
所以，k∈Z，
所以，k∈Z，
因为|φ|≤，所以，
所以，所以，
所以，
令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，则x∈[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，
故f（x）的单调增区间为[，k∈Z．
（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得，
由g（x）﹣2m＝0，知，
因为y＝在上单调递增，在[，π]上单调递减，
所以若方程有两个不同的解，则m∈[，1），所以m∈[，），
此时．
【点评】本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握正弦函数的图象与性质，函数图象的变换法则是解题的关键，考查转化思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20．（12分）已知函数f（x）＝x|x﹣m|+n．
（1）当f（x）为奇函数，求实数m的值；
（2）当m＝1，n＞1时，求函数y＝f（x）在[0，n]上的最大值．
【分析】（1）利用f（x）为奇函数，通过f（﹣x）＝﹣f（x），求解m值即可．
（2）化简函数的解析式，利用函数的单调性，求解函数的最大值，推出结果即可．
【解答】解：（1）因为f（x）为奇函数，所以f（﹣0）＝﹣f（0），
所以f（0）＝0，即n＝0，所以f（x）＝x|x﹣m|，
又f（﹣1）＝﹣f（1），所以|1﹣m|＝|1+m|，解得m＝0，
此时f（x）＝x|x|，对∀x∈R，f（﹣x）＝﹣x|x|＝﹣f（x），
所以f（x）为奇函数．故m＝0．
（2）f（x）＝x|x﹣1|+n＝
所以f（x）在和[1，n]上单调递增，在]上单调递减，
其中，，
所以时，所以，
时，，．
令得，，
因此y＝f（x）在[0，n]上的最大值为．
【点评】本题考查函数的最值的求法，分段函数的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
21．（12分）已知函数，其中实数a＞0且a≠1．
（1）若关于x的函数在上存在零点，求a的取值范围；
（2）求所有的正整数m的值，使得存在a∈（0，1），对任意x∈[m，7]，均有不等式成立．
【分析】（1）求出g（x）的解析式，令g（x）＝0，则ax2+x＝1，得到，利用换元法求解函数的值域，得到a的取值范围．
（2）不等式转化为：1﹣a＞x|ax﹣1|，即a﹣1＜ax2﹣x＜1﹣a，对任意x∈[m，7]成立，推出（ax2﹣x）max＝49a﹣7＜1﹣a恒成立，利用函数的最值转化求解m的范围，转化求解m的值即可．
【解答】解：（1），
令g（x）＝0，则ax2+x＝1，
由题意，，使得ax2+x＝1，所以，
令，所以a＝t2﹣t，在上单调递增，所以．
所以a的取值范围为
（2）当a∈（0，1）时，在（0，+∞）上单调递增，
而∈（0，1），x∈[m，，
所以，
所以1﹣a＞x|ax﹣1|，
所以，
即a﹣1＜ax2﹣x＜1﹣a，对任意x∈[m，7]成立，
x＝7时，a﹣1＜49a﹣7＜1﹣a，所以，
所以函数y＝ax2﹣x的对称轴方程为，m∈N*，所以，
所以，7]时，（ax2﹣x）max＝49a﹣7＜1﹣a恒成立，
当m≤3时，，
则﹣1＞4a2﹣4a，所以（2a﹣1）2＜0，不可能，舍去；
当4≤m≤6时，一1，
所以a（1﹣m2）＜1﹣m，即a（1+m）＞1，
即a＞，而＜，所以，
所有m的正整数的取值为6．
【点评】本题考查函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
22．（12分）悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线．1691年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为，其中c为参数．当c＝1时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数．
（1）诸从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数y＝cosh（2x）+sinh（x）的最小值；
①[cosh（x）]2﹣[sinh（x）]2＝1；
②sinh（2x）＝2sinh（x）cosh（x）；
③cosh（2x）＝[cosh（x）]2+[sinh（x）]2．
（2）求证：．

【分析】（1）由三角函数的新定义，进行分析即可，
（2）由题意，代入三角函数的解析式，进行证明即可．
【解答】证明：（1）①；
②；
③inh2x，，则，所以cosh（2x）＝2t2+1，
所以，时取“＝”，
所以y＝cosh（2x）+sinh（x）的最小值为．
证明：（2），cosh（cosx）＞sinh（sinx）≡，
当x∈[﹣π，0]时，ecosx+e﹣cosx＞0，sinx≤0≤﹣sinx，所以esinx≤e﹣sinx，所以esinx﹣e﹣sinx≤0，所以ecosx+e﹣cosx＞esinx﹣e﹣sinx成立：
当时，，所以ecosx＞esinx，﹣e﹣x＜0＜e﹣cosx，
所以ecosx+e﹣cosx＞esinx﹣e﹣sinx成立，
综上，∀x∈[﹣π，，cosh（cosx）＞sinh（sinx）．
【点评】本题考查新定义函数的性质，考查函数思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
日期：2022/1/23 15:56:42；用户：平安；邮箱：orFmNtyKKPUFdOqsWsH2OJ6NfYlE@weixin.jyeoo.com；学号：41666386