浙江省金华市两校2022-2023学年高二数学上学期12月阶段试题（Word版附答案）
展开2022学年第一学期12月阶段测试
高二数学参考答案
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
- 已知空间向量，，则( )
A. B. C. D.
【答案】
D
【解析】
【分析】
本题考查空间向量模的坐标运算，掌握空间向量模的坐标运算公式是解题基础．
先求，再求模．
【解答】
解：， ，
，．
故选：．
- 张邱建算经记载：今有女子不善织布，逐日织布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布( )
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
【答案】
C
【解析】
【分析】
利用等差数列的前项和求解．
本题考查等差数列的前项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数列知识在生产生活中的合理运用．
【解答】
解：由题意知每日织布量构成等差数列，
，，
尺．
- 方程表示一个圆，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】
A
【解析】
【分析】
本题主要考查求圆的标准方程，二元二次方程表示圆的条件，属于基础题．
由二元二次方程表示圆的条件得到的不等式，解不等式即可得到结果．
【解答】
解：方程，
即，
此方程表示圆时，应有，
解得，
故选A．
- 直线过定点，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】
D
【解析】
【分析】
本题主要考查直线经过定点问题，属于基础题．
在直线方程中，先分离参数，再令参数的系数等于零，求得、的值，可得直线恒过定点的坐标．
【解答】
解：直线可化简为，
故可得，可得，，
故可得直线过定点．
故选D．
- 已知直线：与：平行，则实数的值为( )
A. 或 B. 或 C. D.
【答案】
D
【解析】
【分析】
本题考查了利用两条直线平行求参数的值，考查了推理能力与计算能力，要注意重合的特殊情况，属于基础题．
由题意知，即，解得，经过验证即可得出．
【解答】
解：由题意知，即，解得或．
经过验证可得：时两条直线重合，舍去．
．
故选：．
- 已知，，直线过点且与线段相交，那么直线的斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】
D
【解析】
【分析】
本题考查了直线的倾斜角与斜率，属于基础题．
根据直线的斜率与倾斜角的变化关系求解即可．
【解答】
解：，，且直线与线段相交，
或，
故选D．
- 若三条直线，，相交于同一点，则点，到原点的距离的最小值是 ( )
A. B. C. D.
【答案】
A
【解析】
【分析】
本题考查直线的交点坐标以及两点间的距离公式，以及利用配方法求一元二次函数的最小值，属于中档题．
应先根据和求得交点，代入可得，利用两点距离公式表示出点到原点的距离，将用表示代入后，利用配方法求得最小值．
【解答】
解：联立，解得，
把代入，得，，
点到原点的距离，
当且仅当，时取等号．
点到原点的距离的最小值为．
故选A．
- 已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】
C
【解析】
【分析】
本题考查椭圆几何性质的运用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
【解答】
设椭圆右焦点为，连接，，
根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则，
因为，可得，所以，
则，，
由余弦定理可得，
即，即．
故椭圆离心率．
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
- 已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量不重合，那么下列说法中正确的有( )
A. B. C. D.
【答案】
BC
【解析】
【分析】
本题考查直线的方向向量与平面的法向量，以及利用直线的方向向量与平面的法向量判断空间的平行、垂直关系，属于基础题．
根据直线的方向向量与平面的法向量的定义以及空间线面、面面的平行和垂直关系的判断方法，逐项判断，即可得到答案．
【解答】
解：因为为直线的方向向量，分别为平面的法向量不重合，
A.或，故错误；
B.正确；
C.正确；
D.或，故错误，
故选BC．
- 关于，的方程其中对应的曲线可能是( )
A. 焦点在轴上的椭圆 B. 焦点在轴上的椭圆
C. 焦点在轴上的双曲线 D. 焦点在轴上的双曲线
【答案】
ABC
【解析】解：当且，即且时，曲线为，即，为以为圆心，为半径的圆；
当且，即时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，
当且，即时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，
当，即时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，
故选：．
分情况讨论的正负及与大小关系，即可得出答案．
本题考查曲线与方程，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．
- 若圆上恒有个点到直线的距离为，则实数的可能取值是( )
A. B. C. D.
【答案】
BC
【解析】解：作出到直线的距离为的点的轨迹，得到与直线平行，
且到直线的距离等于的两条直线，
圆的圆心为原点，
原点到直线的距离为，
两条平行线中与圆心距离较远的一条到原点的距离为，
又圆上有个点到直线的距离为，
两条平行线与圆有个公共点，即它们都与圆相交．
由此可得圆的半径，
即，实数的取值范围是．
故选：．
到已知直线的距离为的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于的两条直线，根据题意可得这两条平行线与有个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得的取值范围，从而可得结论．
本题给出已知圆上有四个点到直线的距离等于半径，求参数的取值范围．着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属中档题．
- 设、分别是双曲线：的左、右焦点，且，则下列结论正确的有( )
A.
B. 当时，的离心率是
C. 当时，到渐近线的距离随着的增大而减小
D. 当时，的实轴长是虚轴长的两倍
【答案】
AC
【解析】
【分析】
本题考查双曲线简单的几何性质，点到直线的距离公式，属于中档题．
根据题意，得出，，关于，的代数式，再逐一分析各选项即可．
【解答】
解：因为、分别是双曲线：的左、右焦点，且，
所以，可得，故A正确；
当时，，的离心率是，故B错误；
当时，，的实轴长是虚轴长的倍，故D错误；
到渐近线的距离为，
当，随着的增大而减小，故C正确；
故选AC．
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 设等差数列的前项和为，若，则的值为
【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，属于基础题．
由已知等差数列的求和公式及性质可求，结合等差数列的性质即可求解．
【解答】
解：因为等差数列中，，
，
则．
故答案为：．
- 圆：关于直线的对称圆的标准方程是 ．
【答案】
【解析】
【分析】
本题是考查对称圆的方程问题，重点在于求出对称圆的圆心坐标和半径，属于基础题．
先求出圆的圆心和半径，再利用两点关于已知直线对称所具有的结论，求出所求圆的圆心坐标即可求出结论．
【解答】
解：圆转化为标准方程为，
所以其圆心为：，，
设关于直线对称点为：
则有．
故所求圆的圆心为：，半径为．
所以所求圆的方程为：
故答案为．
- 已知抛物线，过焦点作直线与抛物线交于点，两点，若，则点的坐标为 ．
【答案】
或
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线焦半径公式的应用，属于基础题．
由抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，由焦半径公式求得的横坐标，代入抛物线方程即可求得点的坐标．
【解答】
解：如图所示：
设点的坐标为，
由题意可得：，
，
由抛物线定义可得：，解得．
代入抛物线方程可得，或，
点的坐标为或
故答案为：或
- 若恒成立，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查根据直线与圆的位置关系求参数，属于较难题．
把原不等式恒成立问题转化为转化成直线与圆的位置关系，由题意画出直线和半圆辅助分析，得到直线与半圆相切时斜率取到最大值，即可得出参数取值范围运用了数形结合和转化化归思想．
【解答】
解：由题意恒成立转化为，
令，，
所以表示过点，斜率为的直线，表示半圆，
则直线必须在圆的上方，利用点到直线的距离公式，
得到直线与半圆相切时的斜率，则．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
- 本小题分
记为等差数列的前项和，已知，．
求的通项公式；
求，并求的最小值．
【答案】
解：等差数列中，，，
，，
解得，，
；
，，，
，
当时，前项的和取得最小值，为．
【解析】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前项和公式，属于基础题．
根据，，可得，，求出等差数列的公差，然后求出即可；
由，，，得，由此可求出的最小值．
- 本小题分
已知圆的圆心在轴上，且经过点，
求圆的标准方程；
若直线过点，且与圆相切，求直线方程．
【答案】
解：根据题意，圆的圆心在轴上，设其坐标为，圆的半径为，
又圆经过点，，
则有，
解可得，
则，
则圆的标准方程为，
根据题意，圆的标准方程为，
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，与圆不相切，不符合题意；
若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
若直线与圆相切，且有，
解可得：或，
则直线的方程为或．
【解析】本题考查直线与圆相切，涉及圆的标准方程，属于基础题．
根据题意，设的坐标为，半径为，结合题意可得，又可得的值，即可得答案；
根据题意，分直线的斜率存在与不存在种情况讨论，若直线的斜率不存在，则直线的方程为，分析可得此时不符合题意；若直线的斜率存在，设直线的方程为，结合直线与圆的位置关系可得，求出的值，即可求出直线的方程．
- 本小题分
如图，在三棱柱中，底面，，，，点，分别为与的中点．
证明：平面．
求与平面所成角的正弦值．
【答案】
证明：如图，连接，．
因为三棱柱为直三棱柱，
所以为的中点，
又因为为的中点，
所以．
又平面，平面．
所以平面．
解：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，．
所以，，，
设平面的法向量为，
则
令，得记与平面所成角为，
则．
【解析】本题考查了线面平行的判定和利用空间向量求线面的夹角，是基础题．
利用直线与平面平行的判定定理进行证明即可；
利用空间向量求直线与平面所成的角即可．
- 本小题分
已知双曲线：的离心率为，虚轴长为，
求双曲线的标准方程；
若过点，倾斜角为的直线与双曲线交于，两点，为坐标原点，求的面积．
【答案】
解：依题意可得 ，
解得，
双曲线的标准方程为；
直线的方程为，
设、，
由，可得，
，，，
即
，
原点到直线的距离为，
于是，
的面积为．
【解析】本题考查双曲线的方程、双曲线的简单几何性质及直线与双曲线的位置关系，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于基础题．
根据已知条件及可得关于的方程组，从而可求得；
由点斜式可得直线方程，与双曲线联立消去可得关于的一元二次方程可得两根之和，两根之积由弦长公式可得 ，根据点到面的距离公式可得原点到直线的距离，从而可求得的面积．
- 本小题分
已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且若点是抛物线上的一个动点，设点到直线的距离为．
求抛物线的方程；
求的最小值．
【答案】
解：因为抛物线：，
所以抛物线的准线为．
在抛物线上，由抛物线的定义，得，解得，
所以抛物线的方程为．
方法一 设点的坐标为，
因为点在抛物线上，所以，
则到直线的距离．
当时，取到最小值，且的最小值为．
方法二 设直线的平行线与抛物线：相切，
由，得，
所以，解得，
故所求的最小值为．
【解析】本题主要考查抛物线的定义以及几何性质．
由抛物线的定义，得，解得，可得方程
法一：到直线的距离为当时，取到最小值，求解即可
法二：由得，令，解得，即可求解
- 本小题分
如图，椭圆的离心率是，短轴长为，椭圆的左、右顶点分别为、，过椭圆与抛物线的公共焦点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，点为的中点．
求椭圆和抛物线的方程
记的面积为，的面积为，若，求直线在轴上截距的范围．
【答案】
解：根据题意得：，解得，，，所以，抛物线焦点，所以，椭圆，拋物线；
设，联立与椭圆，整理得：，判别式：，
弦长公式：，
点到直线的距离为，
所以，
联立与抛物线，整理得：，
判别式：，
弦长公式：，
点到直线的距离为所以，
因为，即，解得：．
所以，直线在轴上截距或，
所以，直线在轴上截距取值范围是．
【解析】本题主要考查椭圆和抛物线的性质及几何意义，直线与抛物线、直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
利用所给条件求出方程，分别联立直线与椭圆，抛物线，求出弦长公式，进而求出面积．
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