2023届新高考复习多选题与双空题 专题3函数及其性质多选题

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【多选题与双空题满分训练】专题3 函数及其性质多选题 2022年高考冲刺和2023届高考复习满分训练
新高考地区专用

1．（2022·海南海口·模拟预测）已知函数，则（       ）
A．的定义域为R B． 是奇函数
C．在上单调递减 D． 有两个零点
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据函数解析式，结合函数性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】
对：的定义域为，错误；
对：，且定义域关于原点对称，故是奇函数，正确；
对：当时，，单调递减，正确；
对：因为，，所以无解，即没有零点，错误．
故选：.
2．（2022·湖南永州·三模）已知函数，则（       ）
A．的图象关于直线对称
B．在上为减函数
C．有4个零点
D．，使
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据二次函数的对称性判断A，当时利用导数求出函数的单调区间，即可得到函数的最值，再结合函数的对称性，即可判断B、C、D；
【详解】
解：定义域为，
因为，其中与关于轴对称，即的图象关于轴对称，
将 向右平移个单位得到，即关于对称，
又
关于直线对称在此处键入公式。，故函数的图象关于直线对称，故A正确；
当时，则，
所以当时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，故B正确；
所以当时在处取得极大值即最大值，又因为，根据对称性可得，所以只有2个零点，故C错误；
由，所以不存在，使，故D错误；
故选：AB
3．（2022·湖北十堰·三模）已知函数，则(   )
A．，，成等差数列 B．，，成等差数列
C．，，成等比数列 D．，，成等比数列
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据函数解析式，求出选项对应的函数值，结合等差数列的等差中项和等比数列的等比中项的应用依次判断选项即可.
【详解】
A：，，
则，由等差中项的应用知，
成等差数列，所以A正确；
B：，，，
则，由等差中项的应用知，
成等差数列，所以B正确；
C：，，
则，，成等差数列，又，所以C错误；
D：，，，
则，由等比中项的应用知，
成等比数列，所以D正确.
故选：ABD.
4．（2022·山东枣庄·三模）已知、，且，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用基本不等式可判断A选项；利用基本不等式结合对数函数的单调性可判断B选项；利用特殊值法可判断C选项；构造函数，利用函数在上的单调性可判断D选项.
【详解】
对于A选项，因为，
所以，，当且仅当时，等号成立，A对；
对于B选项，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，
所以，，B对；
对于C选项，取，，则
，此时，C错；
对于D选项，令，其中，
则，所以，函数在上为增函数，
因为，则，D对.
故选：ABD.
5．（2022·重庆·模拟预测）已知（e为自然对数的底数），则（       ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
利用指数函数的单调性，可比较大小，然后将，，变形并构造函数，利用导数判断其单调性，进而比较出，，的大小关系，由此可判断A，B，C，D.
【详解】
因为，所以，，．
对，，这三个数先取自然对数再除以，则，，,
设，则，由，解得，
所以在上单调递增，故，
即，则，故，
故选：AD．
6．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）已知是定义在R上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（       ）
A．是以2为周期的周期函数
B．点是函数的一个对称中心
C．
D．函数有3个零点
【答案】BD
【解析】
【分析】
首先根据函数的对称性求出的周期和对称中心，然后求得.利用图象法即可判断D.
【详解】
依题意，为偶函数，
且，有，即关于对称，
则
，
所以是周期为4的周期函数，故A错误；
因为的周期为4，关于对称，
所以是函数的一个对称中心，故B正确；
因为的周期为4，则，，
所以，故C错误；
作函数和的图象如下图所示，

由图可知，两个函数图象有3个交点，
所以函数有3个零点，故D正确.
故选：BD.
7．（2022·江苏盐城·三模）已知函数为上的奇函数，为偶函数，下列说法正确的有（       ）
A．图象关于直线对称 B．
C．的最小正周期为4 D．对任意都有
【答案】ABD
【解析】
【分析】
由奇偶性知的对称中心为、对称轴为，进而推得，即可判断各选项的正误.
【详解】
由的对称中心为，对称轴为，
则也关于直线对称且，A、D正确，
由A分析知：，故，
所以，
所以的周期为4，则，B正确；
但不能说明最小正周期为4，C错误；
故选：ABD
8．（2023·福建漳州·三模）若函数的图象与的图象关于y轴对称，则（       ）
A．
B．θ的值可以是
C．函数f(x)在单调递减
D．将的图象向右平移个单位长度可以得到g(x)的图象
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据函数关于y轴对称可知，据此可判断AB，由正弦函数的单调性可判断C，根据函数图象的平移判断D.
【详解】
因为，
由题意，所以，即，
所以，θ的值不可以是，，
当时，，由正弦函数的单调性知函数f(x)在单调递减；
将的图象向右平移个单位长度可得，得不到g(x)的图象.
故选：AC
9．（2022·辽宁沈阳·二模）已知奇函数在R上可导，其导函数为，且恒成立，若在单调递增，则（       ）
A．在上单调递减 B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据函数的的对称性和周期性，以及函数的导数的相关性质，逐个选项进行验证即可.
【详解】
方法一：
对于A，若，符合题意，故错误，
对于B，因已知奇函数在R上可导，所以，故正确，
对于C和D，设，则为R上可导的奇函数，，
由题意，得，关于直线对称，
易得奇函数的一个周期为4，，故C正确，
由对称性可知，关于直线对称，进而可得，（其证明过程见备注）
且的一个周期为4，所以，故D正确．
备注：，即，所以，
等式两边对x求导得，，
令，得，所以．
方法二：
对于A，若，符合题意，故错误，
对于B，因已知奇函数在R上可导，所以，故正确，
对于C，将中的x代换为，
得，所以，
可得，两式相减得，，
则，，…，，
叠加得，
又由，得，
所以，故正确，
对于D，将的两边对x求导，得，
令得，，
将的两边对x求导，得，所以，
将的两边对x求导，得，
所以，故正确．
故选：BCD
10．（2022·辽宁锦州·一模）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（       ）
A． B．在上为减函数
C．点是函数的一个对称中心 D．方程仅有个实数解
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据和的奇偶性可推导得到，，
由可知A错误；推导可得，知C正确；作出图象，结合图象知B错误；将解的个数转化为与的交点个数，结合图象可知D正确.
【详解】
为奇函数，，即，
关于点对称；
为偶函数，，即，
关于对称；
由，得：，
，即是周期为的周期函数；
对于A，，A错误；
对于C，，即，
关于点成中心对称，C正确；
对于BD，由周期性和对称性可得图象如下图所示，

由图象可知：在上单调递增，B错误；
方程的解的个数，等价于与的交点个数，
，，
结合图象可知：与共有个交点，即有个实数解，D正确.
故选：CD.
11．（2022·河北·模拟预测）若函数（）是周期为2的奇函数．则下列选项一定正确的是（       ）
A．函数的图象关于点对称
B．2是函数的一个周期
C．
D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
本题考查抽象函数的对称性与周期性，利用函数是奇函数得到关系式和，即可逐个判断出选项.
【详解】
函数是奇函数，，函数图象关于点对称，故A正确；
函数是周期为2，所以的周期为4，故B错误；
函数是周期为2的奇函数， ，故C正确；
，无法判断的值，故D错误.
故选：AC.
12．（2022·河北沧州·模拟预测）已知三次函数，若函数的图象关于点（1，0）对称，且，则（       ）
A． B．有3个零点
C．的对称中心是 D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
由题设且，可得，代入解析式，结合已知条件即可判断选项的正误.
【详解】
由题设，，且，
所以，整理得，
故，可得，故，
又，即，A正确；有3个零点，B正确；
由，则，所以关于对称，C错误；
，D正确.
故选：ABD
13．（2021·四川省泸县第二中学一模（理））已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且．则下列选项中说法不正确的有（       ）
A．为奇函数 B．周期为2 C． D．是奇函数
【答案】BC
【解析】
【分析】
由于关于中心对称，又将函数向左平移1个单位后为，可知是奇函数；又是偶函数，又将函数向右平移1个单位后为，可知关于直线对称，由此即可求出函数的周期，进而可判断选项A,B是否正确；利用周期和对称性即可判断选项C，D是否正确.
【详解】
由于关于中心对称，又将函数向左平移1个单位后为，所以关于中心对称，即是奇函数；又是偶函数，又将函数向右平移1个单位后为，所以关于直线对称，即；
所以，
所以函数的周期，所以选项A正确、B错误；
，故选项C错误；
对选项D：
所以是奇函数，D正确.
故选：BC.
14．（2022·河北石家庄·二模）已知函数，则下列结论正确的是（       ）
A．函数的一个周期为 B．函数在上单调递增
C．函数的最大值为 D．函数图象关于直线对称
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据函数的周期性定义判断A，根据复合函数的单调性及三角函数的单调性判断B，取特殊值法可判断C，由的关系可判断D.
【详解】
由知，A正确；
由在上单调递增及复合函数的单调性知，在上单调递增，由在上单调递减，可知在上单调递增，
所以函数在上单调递增，故B正确；
当时，，故函数的最大值取不是，故C错误；

关于直线对称，故D正确.
故答案为：ABD
15．（2022·重庆八中模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（       ）
A．是以4为周期的周期函数
B．
C．函数有3个零点
D．当时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】
首先判断出的周期，然后求得.利用图象法判断C选项的正确性，通过求在区间上的解析式来判断D选项的正确性.
【详解】
依题意，为偶函数，且关于对称，
则
，
所以是周期为4的周期函数，A正确.
因为的周期为4，则，，
所以，B错误；
作函数和的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有3个交点，C正确；
当时，，则，D正确.
故选：ACD

16．（2022·湖北·一模）已知函数，则下列说法正确的是（       ）
A．是偶函数 B．在（0，+∞）上单调递减
C．是周期函数 D．≥-1恒成立
【答案】AD
【解析】
【分析】
判定的奇偶性判断选项A；判定的单调性判断选项B；判定的周期性判断选项C；求得的最小值判断选项D.
【详解】
的定义域为R
，
则为偶函数.故选项A判断正确；
时，
恒成立，则为上增函数.
故选项B判断错误；选项C判断错误；
又为偶函数，则为上减函数
又，则的最小值为.故选项D判断正确；
故选：AD
17．（2022·辽宁·模拟预测）已知定义在R上的偶函数的图像是连续的，，在区间上是增函数，则下列结论正确的是（       ）
A．的一个周期为6 B．在区间上单调递减
C．的图像关于直线对称 D．在区间上共有100个零点
【答案】BC
【解析】
【分析】
由条件结合周期函数的定义证明函数为周期函数，再根据奇偶性，周期性，单调性判断B，C，并由零点的定义判断D.
【详解】
因为，取，得，故，又是偶函数，所以，所以，
故，即的一个周期为12，故A项错误；
又在区间上是增函数，所以在区间上为减函数，由周期性可知，在区间上单调递减，故B项正确；
因为是偶函数，所以的图像关于y轴对称，由周期性可知的图像关于直线对称，故C项正确；
因为在区间上是增函数，所以在区间上为减函数，，由周期性可知，在区间上，，而区间上有168个周期，故在区间上有336个零点，又，所以在区间上有337个零点，由为偶函数，可知在区间上有674个零点，故D项错误．
故选：BC项．
18．（2022·广东·三模）已知，e是自然对数的底，若，则的取值可以是（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】CD
【解析】
【分析】
由题构造函数，进而可得，然后构造函数，利用导数可得函数的最小值，即得.
【详解】
设，则在R上单调递增，
因为，则，
设，则，即，
所以，
设，，
当，当，
则在单调递减，在单调递增，
，即，
所以，即，
故的取值可以是3和4.
故选：CD.
19．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）对于偶函数，下列结论中正确的是（       ）
A．函数在处的切线斜率为
B．函数恒成立
C．若 则
D．若对于恒成立，则的最大值为
【答案】BD
【解析】
【分析】
利用导数的几何意义可判断A；构造函数，利用导数研究不等式恒成立问题可判断B；对求导，构造函数，利用函数的单调性比较函数值的大小可判断C；利用在上的单调性，求出恒成立，进而确定的最大值，进而判断D.
【详解】
因为为偶函数，所以，所以；
对于选项， 因为 所以 所以
所以函数在处的切线斜率为 故选项正确；
对于选项， 令 则
当时， 所以单调递减，所以
即   所以
因为为偶函数，所以函数恒成立. 故选项正确；
对于选项， 令
则 当时，
所以在上单调递减，所以
即在上恒成立，
因此函数在上单调递减. 又
所以 故选项错误；
对于选项，因为函数在上单调递减，
所以函数在上也单调递减，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
即的最大值为 故选项正确；
故选：.
20．（2022·福建厦门·模拟预测）已知函数，则（       ）
A．是奇函数 B．的图象关于点对称
C．有唯一一个零点 D．不等式的解集为
【答案】BCD
【解析】
【分析】
求解的定义域，可知定义域不关于原点对称，知A错误；根据解析式验证可知，则知B正确；当时，由单调性的性质可确定在上单调递减，结合值域的求法可求得；结合对称性可知在上单调递减；利用零点存在定理可说明在有且仅有一个零点，知C正确；结合C的结论可说明时，时，；利用单调性，分别讨论和在同一单调区间内、两个不同单调区间内的情况，解不等式组可求得结果.
【详解】
对于A，由得：，即定义域为，不关于原点对称，
为非奇非偶函数，A错误；
对于B，，，
，图象关于点对称，B正确；
对于C，当时，；
在上单调递增，在上单调递增，
在上单调递增，在上单调递减；
在上单调递增，在上单调递减；
在上单调递减；
由知：图象关于对称，在上单调递减；
当时，，，，在上无零点；
当时，，，
，使得，则在上有唯一零点；
综上所述：有唯一一个零点，C正确；
对于D，由C知：在和上单调递减，
又时，；时，；
①当，即时，由得：，解得：（舍）或；
②当时，不等式组无解，不合题意；
③当，即时，，，满足题意；
④当，即时，，，不合题意；
综上所述：的解集为：，D正确.
故选：BCD.
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数性质的综合应用问题，涉及到函数奇偶性的判断、对称性的判断、函数零点个数的求解、利用函数单调性解不等式；利用单调性解不等式的关键是能够确定函数的单调性，并根据单调性将函数值大小关系的比较转化为自变量大小关系的比较问题.
21．（2022·江苏南通·模拟预测）已知定义在R上的函数的图象连续不间断，当时，，且当时，，则下列说法正确的是（       ）
A．
B．在上单调递减
C．若，则
D．若是的两个零点，且，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】
对于A，在中令，即可判断A；
对于B，对两边求导，结合，即可得出在上单调递增，即可判断B.
对于C，分别讨论和 ，再结合在上单调递增，上单调递减，即可判断C.
对于D，先证明，则，再令，而由，所以，所以，即可判断D.
【详解】
对于A，在中令，则，所以，故A正确；
对于B，当时，，对两边求导，则，
所以时，，
所以，令，，，
所以在上单调递增，所以B错；
对于C，由B知，在上单调递增，上单调递减，由知不可能均大于等于1，否则，则，这与条件矛盾，舍去.
①若，则，满足条件，此时，；’
②若，则，而，则
，
所以，而，所以
，C正确；
对于D，由在上单调递增，上单调递减，知，
注意到，，，
所以，
若，则，则，
所以
()，这与矛盾，舍去.
所以，在时，中，令，而由，所以，所以，故D正确.
故选：ACD.
22．（2022·广东·普宁市华侨中学二模）对于函数，下列结论中正确的是（     ）
A．任取，都有
B．，其中；
C．对一切恒成立；
D．函数有个零点；
【答案】ACD
【解析】
【分析】
作出函数的图象.对于A：利用图象求出，即可判断；对于B：直接求出，即可判断；
对于C：由，求得，即可判断；
对于D：作出和的图象，判断出函数有3个零点.
【详解】
作出函数的图象如图所示.所以.

对于A：任取，都有.故A正确；
对于B：因为，所以.故B错误；
对于C：由，得到，即.故C正确；
对于D：函数的定义域为.作出和的图象如图所示：

当时,;
当时,函数与函数的图象有一个交点;
当时,因为,，所以函数与函数的图象有一个交点,所以函数有3个零点.故D正确.
故选：ACD
23．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）函数在上的大致图像可能为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据的取值分类讨论，研究函数性质后判断图象
【详解】
①当时，为奇函数，由时，时等性质可知A选项符合题意
②当时，令，作出两函数图象，研究其交点
数形结合可知在内必有一交点，记横坐标为，此时，故排除D选项
时，；时，
若在内无交点，则在恒成立，则图象如C选项所示，故C选项符合题意
若在内有两交点，同理得B选项符合题意
故选：ABC

24．（2022·广东茂名·模拟预测）所谓整数划分，指的是一个正整数划分为一系列的正整数之和，如可以划分为，．如果中的最大值不超过，即，则称它属于的一个划分，记的划分的个数为．下列说法正确的是（       ）
A．当时，无论为何值， B．当时，无论为何值，
C．当时， D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
正确理解题干信息，确定AB选项；C选项，分析出两种情况：一是划分中包含，二是划分中不包含，分别得到划分情况，再相加，从而判断出C选项；D选项可以把6的划分情况一一列举出来，从而作出判断.
【详解】
当时，由于正整数只有本身一种划分，故A正确；
当时，无论为何值，只有个相加这一种情况，，故B正确；
当时，分两种情况：一是划分中包含，只有一种情况，即；
二是划分中不包含，则问题转化为求，因此，
故C正确；
由于时，有，共种划分，
所以，故D错误．
故选：ABC
25．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知定义在上的单调递增的函数满足：任意，有，，则（       ）
A．当时，
B．任意，
C．存在非零实数，使得任意，
D．存在非零实数，使得任意，
【答案】ABD
【解析】
【分析】
令可推导得，结合的值可知A正确；令可推导得，结合可推导知B正确；根据单调性可知C错误；当时，根据的对称中心及其在时的值域可确定时满足，知D正确.
【详解】
对于A，令，则，即，
又，；
令得：，，，，
则由可知：当时，，A正确；
对于B，令，则，即，
，
由A的推导过程知：，，B正确；
对于C，为上的增函数，
当时，，则；当时，，则，
不存在非零实数，使得任意，，C错误；
对于D，当时，；
由，知：关于，成中心对称，则当时，为的对称中心；
当时，为上的增函数，，，，
；
由图象对称性可知：此时对任意，，D正确.
故选：ABD.
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数对称性的应用，解题关键是能够根据已知关系式确定的对称中心，同时采用赋值的方式确定所满足的其他关系式，从而结合对称性和其他函数关系式来确定所具有的其他性质.
26．（2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在R上的函数，对于R，令，若存在正整数k使得，且当0