【高考真题解密】高考数学真题题源——专题09《直线与圆》母题解密（新高考卷）

专题09  直线与圆  

【母题来源】2022年新高考I卷

【母题题文】写出与圆和都相切的一条直线的方程         

【答案】            填一条即可

【分析】

本题考查了圆与圆的公切线问题，涉及圆与圆的位置关系、 点到直线的距离 等知识，属较难题．

【解答】

解：方法 显然直线的斜率不为 ，不妨设直线方程为 ，于是 ， ．
故 ， 于是 或 ，再结合 解得 或 或 ，所以直线方程有三条，分别为 ， ， ．
填一条即可
方法 设圆 的圆心 ，半径为 ，圆 的圆心 ，半径 ，则 ，因此两圆外切，

由图像可知，共有三条直线符合条件，显然 符合题意；
又由方程 和 相减可得方程 ，即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线 的方程为 ，
直线 与直线 的交点为 ，设过该点的直线为 ，则 ，解得 ，
从而该切线的方程为 填一条即可

【母题来源】2022年新高考II卷

【母题题文】设点，，直线关于直线的对称直线为，已知与圆有公共点，则的取值范围为          ．

【答案】

【分析】

本题考查直线关于直线对称的直线求法，直线与圆的位置关系的应用，属于中档题．

【解答】

解：因为 ，所以 关于直线 的对称直线为 ，所以 ，整理可得 解得 ．

【命题意图】

考察直线倾斜角与斜率，考察直线方程，考察直线平行与垂直，考察直线交点坐标，点到直线距离公式。考察圆的标准方程与一般方程。能判断直线和圆的位置关系，判断两个圆的位置关系，能用直线和圆的方程解决问题。

【命题方向】

直线与圆常见为中等题，多考察直线与圆的位置关系，动点与圆，圆与圆的关系。考察圆的切线，考察直线与圆相交弦，考察与圆有关的角度，点或者动点与圆的存在或者恒成立问题等等综合应用。涉及到解析法，几何法，三角函数，函数与最值范围等等方面的应用。试题涉及知识多，综合面广。

【得分要点】

一、直线倾斜角与斜率对应关系

斜率与倾斜角的对应关系

二、直线方程的五种形式

三、方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形

四、圆与直线位置关系

一、单选题

1．（2020·山东·高考真题）直线关于点对称的直线方程是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果.

【详解】

设对称的直线方程上的一点的坐标为，

则其关于点对称的点的坐标为，

因为点在直线上，

所以即.

故选：D.

2．（2020·山东·高考真题）已知直线的图像如图所示，则角是（       ）

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

【答案】D

【分析】

本题可根据直线的斜率和截距得出、，即可得出结果.

【详解】

结合图像易知，，，

则角是第四象限角，

故选：D.

3．（2023·全国·高三专题练习）直线与圆相交，所得弦长为整数，这样的直线有（       ）条

A．10 B．9

C．8 D．7

【答案】C

【分析】

求出过定点的直线与圆的最短弦长为，最长的弦长为直径10，则弦长为6的直线恰有1条，最长的弦长为直径10，也恰有1条，弦长为7，8，9的直线各有2条，即可求出答案.

【详解】

直线过定点，圆半径为5，

最短弦长为，恰有一条，但不是整数；

弦长为6的直线恰有1条，有1条斜率不存在，要舍去；

最长的弦长为直径10，也恰有1条；

弦长为7，8，9的直线各有2条，共有8条，

故选：C．

4．（2023·全国·高三专题练习）当圆的圆心到直线的距离最大时，（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

求出圆心坐标和直线过定点，当圆心和定点的连线与直线垂直时满足题意，再利用两直线垂直，斜率乘积为-1求解即可.

【详解】

解：因为圆的圆心为,半径，

又因为直线过定点A(-1,1),

故当与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，

此时有，即，解得.

故选：C.

5．（2022·全国·模拟预测（理））过圆C: 外一点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若PA⊥PB，则点P到直线的距离的最小值为（       ）

A．1 B． C．2 D．3

【答案】B

【分析】

求出点P的轨迹为圆，再由圆心到直线的距离减去半径即可得出最小值.

【详解】

∵过圆C: 外一点向圆C引两条切线，

切点分别为A，B，由PA⊥PB可知，四边形CAPB为边长为1的正方形，所以，

所以点的轨迹E是以C(1,0)为圆心，为半径的圆，

圆心到直线的距离，

所以点P到直线的最短距离为，

故选：B

6．（2023·全国·高三专题练习）如图，P为圆O：x2+y2＝4外一动点，过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝120°，直线OP与AB相交于点Q，点M（3，），则|MQ|的最小值为（       ）

A． B．2 C． D．

【答案】A

【分析】

利用平面几何知识得点轨迹是圆，然后求出与圆心距离减去半径得最小值．

【详解】

解：过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝120°，

由圆与切线的平面几何性质知，∠APO＝60°，又|OA|＝2，则可得|OP|＝

在直角中，，由得，

∴Q点的轨迹是以O为圆心，为半径的圆，方程为x2+y2＝3；

|MQ|的最小值即为|OM|﹣r＝﹣＝．

故选：A．

7．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，圆，若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

由题意求出的距离，得到 P 的轨迹，再由圆与圆的位置关系求得答案．

【详解】

由题可知圆O 的半径为，圆M上存在点P，过点P作圆 O 的两条切线，

切点分别为A，B，使得，则，

在中，，

所以点 在圆上，

由于点 P 也在圆 M 上，故两圆有公共点.

又圆 M 的半径等于1，圆心坐标，

，

∴，

∴.

故选：D.

8．（2023·全国·高三专题练习）若，分别为圆：与圆：上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（       ）

A． B．6 C．9 D．12

【答案】C

【分析】

设圆圆心半径为1，与关于直线对称，求出，最小时，由即可求解.

【详解】

易得圆圆心为半径为2，圆圆心为半径为1，设圆圆心半径为1，与关于直线对称，

则，解得，如图所示，要使最小，

则.

故选：C.

9．（2022·全国·高三专题练习）已知A，B为圆上的两动点，，点P是圆上的一点，则的最小值是（       ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】C

【分析】

根据向量的运算律将题意转化为圆上的点到的中点的距离最值问题即可得解.

【详解】

设M是AB的中点，因为，所以，

即M在以O为圆心，1为半径的圆上，

，所以．

又，所以，

所以．

故选：C.

10．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则当四边形周长取最小值时，四边形的外接圆方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

根据给定条件，利用切线长定理求出四边形周长最小时点M的坐标即可求解作答.

【详解】

圆的圆心，半径，点C到直线l的距离，

依题意，，四边形周长，

当且仅当时取“=”，此时直线，由得点，

四边形的外接圆圆心为线段中点，半径，方程为.

故选：D

11．（2022·辽宁·沈阳市第三十一中学高三阶段练习）已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

将的最小值，转化为到圆心的最小距离再减去半径来求得的最小值.设出函数上任意一点的坐标，求得圆心的坐标，利用两点间的距离公式求得的表达式，利用导数求得这个表达式的最小值，再减去求得的最小值.

【详解】

依题意，圆心为，设点的坐标为，由两点间距离公式得，设，，令解得，由于，可知当时，递增，时，，递减，故当时取得极大值也是最大值为，故，故时，且，所以，函数单调递减.当时，，，当时，，即单调递增，且，即，单调递增，而，故当时，函数单调递增，故函数在处取得极小值也是最小值为，故的最小值为，此时.故选A.

12．（2021·四川省绵阳南山中学高三阶段练习（文））已知圆C:x2＋(y－3)2＝2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ的取值范围是

A．[，) B．[，) C．[，] D．[，]

【答案】B

【分析】

根据点A在原点及在x轴极限远的特殊位置，求得PQ的取值范围．

【详解】

当A在坐标原点时，sin∠POC=

∴由 可得cos∠POC=

∴sin∠POQ=sin2∠POC=2sin∠POC cos∠POC=

即∴sin∠PCQ=

∴cos∠PCQ=

此时

当点A在x轴上无限远时，PQ值接近直径

所以PQ的取值范围为[，)

所以选B

二、填空题

13．（2022·全国·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．

【答案】

【分析】

首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；

【详解】

解：关于对称的点的坐标为，在直线上，

所以所在直线即为直线，所以直线为，即；

圆，圆心，半径，

依题意圆心到直线的距离，

即，解得，即；

故答案为：

14．（2022·全国·高考真题（文））设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．

【答案】

【分析】

设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.

【详解】

解：∵点M在直线上，

∴设点M为，又因为点和均在上，

∴点M到两点的距离相等且为半径R，

∴，

，解得，

∴，，

的方程为.

故答案为：

15．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）△ABC中，角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，c＝2b，若△ABC的面积为1，则BC的最小值是________ ．

【答案】

【分析】

由三角形面积公式得到，利用角A的三角函数表达出，利用数形结合及的几何意义求出最值.

【详解】

因为△ABC的面积为1，所，可得，

由，可得

，

设，其中，

因为表示点与点（cosA，sinA）连线的斜率，

如图所示，当过点P的直线与半圆相切时，此时斜率最小，

在直角△OAP中，，可得，

所以斜率的最小值为，

所以m的最大值为，所以，所以，即BC的最小值为，

故答案为：．

16．（2022·内蒙古·包钢一中一模）已知实数满足，，，则的最大值为___________.

【答案】

【分析】

设，为坐标原点，则，由题意两点在圆上，且三角形为等边三角形，，由的几何意义为两点到直线的距离与之和，记线段的中点分别是，到直线的距离为，根据，且即可得答案.

【详解】

解：设，为坐标原点，则，

由，

可得两点在圆上，且，则，

所以三角形为等边三角形，，

的几何意义为两点到直线的距离与之和，

记线段的中点分别是，到直线的距离为，

则有，且，

所以，

所以的最大值为，

故答案为：.