【中考冲刺】初三数学培优专题 26 分而治之（含答案）（难）

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分而治之
——分类讨论
阅读与思考
在解决某些数学问题的时候，需要将问题所涉及的所有对象按一定的标准，分成若干类，然后逐类讨论，才能得出正确的解答，这种解题方法称为分类讨论法．
运用分类讨论法解题的关键是如何正确进行分类．正确分类的标准是：对所讨论的全体分类要“既不重复，又不遗漏”；在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行；对于多级讨论，应逐级进行．
初中数学分类讨论问题的常见形式有：
1．一些定义、定理、公式和法则有范围或条件的限制，在使用过程中必须讨论；
2．题设条件中含有变量或参数时，必须根据变量或参数的不同取值进行讨论；
3．一些问题的图形位置或形状不确定时，只有通过讨论，才能保证结论的完整性；
4．一些问题的条件没有明确给出或结论不唯一时，只有通过讨论，才能保证解答的严密性；
5．对于自然数问题，有时须按剩余类分类讨论．

例题与求解
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的取值范围是 ．（北京市宣武区中考试题）

解题思路：圆与斜边只有一个公共点，则圆与斜边相切或圆与斜边相交．

【例2】 解方程：｜－2｜+｜+3｜=+10．
解题思路：解绝对值方程的关键是去方程左边的绝对值符号，这就要对的取值范围进行分类讨论．需分下列三种情况：①≤－3；②－3＜≤2；③＞2．





【例3】若关于的方程(6－k)(9－k)x2－(117－15k)+54=0的解都是整数，则符合条件的整数的值有___________． （全国初中数学竞赛试题）
解题思路：用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定的值才能全面而准确．






【例4】如图，已知△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC上（与点A，C不重合），Q在BC上．
(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；
(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；
(3)试问：在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长． （福州市中考试题）
解题思路：对于(3)，使△PQM为等腰直角三角形有两种情况：一是以PQ为直角边，二是以PQ为斜边．


【例5】证明：每个大于6的自然数n都可表示为两个大于1且互质的自然数之和．（全国初中数学联赛试题）
解题思路：由于自然数可分为奇数、偶数两大类，因此，很容易考虑到按奇数、偶数分类讨论．






【例6】设a和b是相异实数，证明：存在整数m和n，使得，． （加拿大中学生竞赛试题）
解题思路：a，b为相异实数，则必有a－b>0或a－b0，k≠0）的图象经过线段BC的中点D．
(1) 求k的值；
(2) 若点P(x，y)在该反比例函数的图象上运动（不与点D重合），过点P作PR⊥y轴于点R，作PQ⊥BC所在直线于点Q，记四边形COPR的面积为S，求S关于x的解析式并写出x的取值范围．




18．已知△ABC中，BC=6 cm，CA=8 cm，∠C=90°，动点P从点C出发，以每秒1 cm的速度沿CA，AB运动到B点．
(1)设P从C开始运动的距离为x cm，△BCP的面积为y cm2，把y表示成的函数；
(2)从C出发几秒时，S△BCP=S△ABC? （荆州市中考试题）

19．如图，已知⊙O1与⊙O2外切于点O，以直线O1O2为x轴，点O为坐标原点建立直角坐标系，直线AB切⊙O1于点B，切⊙O2于点A，交y轴于点C(0，2)，交x轴于点M；BO的延长线交⊙O2于点D，且OB：OD=1：3．
(1) 求⊙O2的半径长；
(2) 求直线AB的解析式；
(3) 在直线AB上是否存在点P，使△MO2P与△MOB相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
（吉林省中考试题）
20．已知抛物线l1：y=ax2－2amx+am2+2m+1(a>0，m>0)的顶点为A，抛物线l2的顶点B在y轴上，且抛物线l1和抛物线l2关于点P(1，3)成中心对称．
(1) 当a=1时，求l2的解析式和m的值；
(2) 设l2与轴正半轴的交点是C，当△ABC为等腰三角形时，求a的值．
（浙江省竞赛试题）








21．已知定理：“若三个大于3的质数a，b，c满足关系式2a+5b=c，则a+b+c是整数n的倍数，”试问：上述定理中的整数n的最大可能值是多少？并证明你的结论．
（全国初中数学联赛试题）







22．如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c都是平方数（即整数的平方），证明：
(1) 2a，2b都是整数；
(2) a，b，c都是整数，并且c是平方数．
反过来，如果(2)成立，是否对一切x的整数值，ax2+bx+c的值都是平方数？
（全国初中数学竞赛试题）







23．2 007个质点均匀分布在半径为R的圆周上，依次记为P1，P2，P3，…，P2007．小明用红色按如下规则去涂这些点：设某次涂第i个质点，则下次就涂第i个质点后面的第i个质点．按此规则，小明能否将所有的质点均涂成红色？若能，请给出一种涂色方案；若不能，请说明理由， 、
（浙江省竞赛试题）







24．甲、乙、丙三支乒乓球队，人数都不相同，每队不少于2人，甲队最少，丙队最多．同一球队的队员互相不比赛，不同球队的队员之间都要比赛一场．统计员作了记录：参加比赛的共有13人，进行的比赛共有54场．求甲、乙、丙三支球队的队员数，并说明理由． （江苏省竞赛试题）










专题26 分而治之
——分类讨论
例1 R＝2. 4cm或3cm＜R≤4cm
例2 分三种情况讨论：
①当x≤－3时，方程为－2x－1＝x＋10解得，符合x≤－3，故是一解；②当－3＜x≤2时，方程为5＝x＋10解得x＝－5，不符合－3＜x≤2，故舍去；
③当x＞2时，方程为2x＋1＝x＋10解得x＝9，符合x＞2，故x＝9也是一解．
综合①②③可得原方程的解为或x＝9．
例3 当k＝6时，得x＝2；当k＝9时，得x＝－3；
当k≠6且k≠9时，解得，；
当6－k＝±1，±3，±9时，x1是整数，这时k＝7，5，3，－3，15；
当9－k＝±1，±2，±3，±6时，x2是整数，这时k＝10，8，11，7，12，15，3．
综上所述，k＝3，6，7，9，15时，原方程的解是整数．
例4 （1）； （2）；
（3）①如图1所示，设PM⊥PQ且PM＝PQ，点M在AB上，令PQ＝x，∵△CPQ∽△CAB，∴ ，解得．②如图2所示，当∠PMQ＝90°，且PM＝MQ，点M在AB上，令PQ＝y，
∵△CPQ∽△CAB，∴ ，解得．
例5 ①若n为奇数，设n＝2k＋1，k为大于2的整数，则可写成n＝k＋(k＋1)，显然符合要求．②若n为偶数，则可设n＝4k，或n＝4k＋2，k为大于1的自然数．当n＝4k时，n＝(2k－1)＋(2k＋1)，且易知2k－1与2k＋1互质，假如它们有公因子d≥2，则d＝2，但2k－1，2k＋1均为奇数，此为不可能；当n＝4k＋2时，n＝(2k－1)＋(2k＋3)，且易知2k－1与2k＋3互质，事实上假如它们有公因子d≥2，设2k－1＝nd，2k＋3＝md，m，n均为自然数，则有(m－n)d＝4，可见d＝4，矛盾．
例6 当a－b＞0时，取m＝1，n＝－1，则am＋bn＝a－b＞0成立，bm＋an＝b－a＜0成立，验证知满足所给不等式．当a－b＜0时，取m＝－1，n＝1，则am＋bn＝－a＋b＞0成立，bm＋an＝－b＋a＜0成立，也验证知满足所给不等式．
能力训练 1. 2. 2或22. 5 3. 80°或30° 提示：分高AD在△ABC内部或外部两种情况． 4. 4个 提示：先在坐标平面内描出A，B两点，连接AB，因题设中未指明△PAB的哪个角是直角，故应分别就∠A，∠B，∠P是直角来讨论．设点P(0，x)，运用几何知识建立x的方程．若∠A＝90°，则P1(0，2)；若∠B＝90°，则P2(0，－3)；若∠P＝90°，则PA2＋PB2＝AB2，而PA2＝(2－x)2＋22，PB2＝(x＋3)2＋22，AB2＝(2＋3)2，∴(2－x)2＋22＋(x＋3)2＋22＝52，∴ x＝1或x＝－2，即P3(0，1) 或(0，－2) ．
5. 2或 提示：分A,B位于l同侧或异侧两种情况讨论．
6. 75°或15°提示：运用圆的对称性． 7. 3或3．
8. S≤－且S≠－3提示：S＝2m－3，≥0，m≤且m≠0．
9. B． 10. D．提示：以A,B为顶点的平行四边形可以分为两类：①以AB为边的，且面积为2的平行四边形共6个；②以AB为对角线，且面积为2的平行四边形共3个. 故满足条件的阵点平行四边形的个数为9个. 11. C 12. A 13. A 14. C提示：分△PAD∽△PBC及△PAD∽△CBP两种情况讨论. 15. A 16. 提示：当函数是一次函数，即时，图像与x轴有交点；当时，图像与x轴有交点，综上知a的取值范围为a