2022-2023学年高二数学上学期期末常考题型重点突破10 常考题型10 双曲线的标准方程及离心率

常考题型10 双曲线的标准方程及离心率

1.双曲线标准方程

2.双曲线的性质

考法一：求双曲线的标准方程

1.定义法：根据双曲线的定义知，到两个定点的距离之差的绝对值是一个非零常数（小于两定点间距离）的点的轨迹是双曲线，根据双曲线的定义可以求标准方程.

2.待定系数法

一般步骤：

①判断：根据已知条件确定双曲线的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；

②设：根据①中判断设出所需的未知数或者标准方程；

③列：根据题意列关于a，b，c的方程(组)；

④解：求解得到的方程（组）.

考法二：求双曲线的离心率

1.定义法：当题目中a，c易求时，直接利用定义 求解。另外，易求b，c时，可利用求解，易求a，b时，可利用；求解.反之，已知离心率也可以得出a与b或a与c或b与c的关系.

2.构造法：根据条件及几何图形，构造关于a，c的齐次式，不需要求出a，c的具体值，而是整体构造的方程求得e.注意依据e>1对所得解进行取舍。

探究一：求双曲线的标准方程

如图，，分别是双曲线（，）的左、右焦点，且，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，．若为等边三角形，则双曲线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【解析】根据双曲线的定义，有①，②，

由于为等边三角形，因此，

由①＋②，得，则，，

又因为，所以，即，解得，

则，所以双曲线的方程为．

故选：C.

【答案】C

【变式练习】

1．已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】设双曲线的标准方程为，半焦距为c，

则由题意可知，，即，故，

所以双曲线的标准方程为.

故选：C．

2．设双曲线C：（，）的左焦点为F，直线过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，，其中O为坐标原点，则双曲线C的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】设左焦点F的坐标为，由点F过直线，

所以，解得，

设右焦点为N，连接，，.

由，故三角形为直角三角形，即,

又因为直线斜率为，设直线倾斜角为，则.

又，则，，

由双曲线定义，则，

所以，

所以

所以双曲线C的方程为.

故选：D.

探究二：求双曲线的离心率

已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【解析】解：设，则，由双曲线的定义知，

∴，，当且仅当，即时，等号成立，

∴当的最小值为时，，，此时，解得，又，∴．

故选：C．

【答案】C

【变式练习】

1．已知，是双曲线（，）的左、右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意,F1(−c,0),F2(c,0)，

设一条渐近线方程为y=x,则F1到渐近线的距离为.

设F1关于渐近线的对称点为M,F1M与渐近线交于A,∴|MF1|=2b,

A为F1M的中点，又O是F1F2的中点,

∴OA∥F2M,∴∠F1MF2为直角，

∴△MF1F2为直角三角形，

∴由勾股定理得4c2=c2+4b2

∴3c2=4(c2−a2),∴c2=4a2，

∴c=2a，∴e=2.

故选：C

2．已知A，B，P是双曲线（，）上不同的三点，且点A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设，，根据对称性，知，

所以．

因为点A，P在双曲线上，所以，

两式相减，得，

所以，所以．

故选：D.

一、单选题

1．已知是双曲线：（，）的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则（    ）

A．1 B． C． D．3

【答案】B

【解析】设.

过作与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，则，解得：，所以.

由双曲线可得渐近线为.

由对称性可知，到任一渐近线的距离均相等，不妨求到渐近线的距离，

所以.

因为，所以，解得：.

故选：B

2．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的值为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】A

【解析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，设F1，F2是椭圆和双曲线的左右两个焦点，且，设P在第一象限，，

由椭圆的定义可知：，

由双曲线的定义可知：，

由此可解得：，

由余弦定理可知：

即，

化简得：，即，

所以，即

故选：A

3．双曲线C：的左焦点为F，过原点作一条直线分别交C的左右两支于A，B两点，若，，则此双曲线的离心率为（       ）

A． B． C． D．3

【答案】C

【解析】解：

设双曲线的右焦点为，连接，

根据椭圆的对称性可得，

由双曲线的定义可得所以

在中，，结合，可得，所以即，

在中， 即，所以，则，

故选：C

4．设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点P在的右支上，且，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由，得，

所以，可得，

不妨设，，所以，所以点在以为直径的圆上，

所以是以为直角顶点的直角三角形，故．

又因为点在双曲线的右支上，所以，

所以，解得，

所以，

故选：C．

5．已知，，，以为一个焦点作过，的椭圆，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题意得，，，

因为，都在椭圆上，所以，

所以，

故的轨迹是以，为焦点的双曲线的下支，又因为，，

即，，所以，

因此的轨迹方程是．

故选：A．

6．设，分别是双曲线的左、右焦点，直线交双曲线右支于B点，若，恰好是的两直角边，则此双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【解析】由题意可知（O为坐标原点），，

所以，，

所以，

所以．

故选：A.

7．已知双曲线的右顶点为，若以点为圆心，以为半径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】过点作于点，则点为线段的中点，

因为点为，渐近线方程为，

所以点到渐近线的距离为，

在中，，

在中，，

因为，所以，

所以，即，

所以离心率．故A，B，D错误.

故选：C．

8．已知双曲线的焦距为为其左右两个焦点，直线l经过点且与渐近线平行，若l上存在第一象限的点P满足，则双曲线C离心率的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为满足的所有点在以为焦点，长轴长为，短轴长为的双曲线，即上.故若l上存在第一象限的点P满足，则双曲线与直线l有交点即可.又直线，数形结合可得，当或的经过一象限的渐近线的斜率 即可，两种情况均有，故，故离心率

故选：A

二、多选题

9．已知双曲线的左、右两个顶点分别是，左、右两个焦点分别是，是双曲线上异于的任意一点，给出下列结论，其中正确的是（    ）

A．

B．直线，的斜率之积等于定值

C．使得为等腰三角形的点P有且仅有四个

D．若，则

【答案】BD

【解析】由题意，点是双曲线上异于的任意一点，设，

对于A中，由双曲线的定义知，，所以A错误；

对于B中，由，，可得，

又由，所以，可得，所以B正确；

对于C中，若P在第一象限，则当时，，为等腰三角形；当时，，也为等腰三角形，故点P在第一象限且使得为等腰三角形的点P有两个．同理可得，在第二、三、四象限且使得为等腰三角形的点P也各有两个，因此使得为等腰三角形的点P共有八个，所以C错误．

对于D中，由，得，

从而，所以D正确．

故选：BD．

10．设双曲线的两个焦点分别是，，以线段为直径的圆交双曲线于A，B，C，D四点，若A，B，C，D，，恰为正六边形的六个顶点，则下列说法正确的是（    ）

A． B．四边形ABCD的面积为

C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线方程为

【答案】ABC

【解析】不妨设点为左焦点，如图所示，因为，，所以，又，所以，A正确；根据对称性，可知四边形ABCD为矩形，又，，所以四边形ABCD的面积为，B正确；由双曲线的定义可得，即，则离心率，C正确；因为，所以，所以双曲线的渐近线方程为，D错误．故选ABC．

一题多解

对于A选项还可以如下求解：为圆的直径，点B在圆上，则，故A正确．

11．已知曲线，则（    ）

A．当时，则的焦点是，

B．当时，则的渐近线方程为

C．当表示双曲线时，则的取值范围为

D．存在，使表示圆

【答案】ABD

【解析】对于A，当时，曲线，则的焦点是，，所以A正确；

对于B，当时，曲线，则的渐近线方程为，所以B正确；

对于C，当表示双曲线时，，解得：或，所以C不正确；

对于D，当，即时，曲线表示圆，所以D正确.

故选：ABD.

12．如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限内的公共点，设方程为，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．的内切圆与轴相切于点

C．若，则的离心率为

D．若，则的方程为

【答案】BCD

【解析】由双曲线的方程，可知，所以，故A不正确；

由双曲线的定义，可知，设切点为，由内切圆的性质，可得，又，所以，故的内切圆与轴相切于点，（双曲线的焦点三角形的内切圆与轴相切于点）．故B正确；

因为，，所以，所以，即，所以的离心率为，故C正确．

因为，所以，又，所以，即，

所以，所以，

所以，又，所以，椭圆的方程为．故D正确．

故选：BCD。

三、填空题

13．设A、B、C是双曲线上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若且，则焦距为______.

【答案】

【解析】设双曲线的另一个焦点为E，由题意可得在RtABF中，OF为斜边AB上的中线，

即有，

令，，，

由双曲线的定义有，，所以.

在RtEAC中，，代入，化简可得.

又得，.

在RtEAF中，，即，所以.

故答案为:

14．已知双曲线的左、右焦点为，过的直线交双曲线右支于，若，且，则______.

【答案】

【解析】，，

设，由得：，，

由双曲线定义知：，，

由得：，解得：，

，，又，

由得：，，.

故答案为：.

15．设、是双曲线C：的左、右焦点，过点且倾斜角为30°的直线与双曲线的左、右两支分别交于点A、B．若，则双曲线C的离心率为______．

【答案】

【解析】解：如图，取AB中点M，连接，

，，

设，

，，

又，，

，，

，

过点且倾斜角为的直线，，

，

在中，可得，

在中，可得，

消去化简得，

离心率．

故答案为：.

16．双曲线的左右焦点分别为，，以为圆心，为半径的圆与的左支相交于，两点，若△的一个内角为，则的离心率为_______．

【答案】

【解析】分析：画出图形，由题意求得点M的坐标，利用点M在双曲线上可得关于的方程，解方程后可得离心率的值．

详解：画出图形如图所示，设双曲线方程为．

由题意得是等边三角形，点，关于x轴对称，且，．

∴点M的横坐标为，纵坐标为，

故点．

又点M在双曲线上，

∴，即，

整理得，

∴，

解得，

∴，

又，故．

四、解答题

17．已知方程+＝1（m∈R）表示双曲线．

(1)求实数m的取值集合A；

(2)设不等式（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0的解集为B，若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1)A＝{m|m＜0或m＞4}

(2)a≥4或a≤﹣1

【解析】(1)解：因为方程+＝1（m∈R）表示双曲线，

所以m（4﹣m）＜0，

解得m＜0或m＞4，

所以集合A＝{m|m＜0或m＞4}；

(2)由题意：B＝{x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0}＝{x|a＜x＜a+1}，

因为x∈B是x∈A的充分不必要条件，

所以BA，

所以a≥4或a+1≤0，

所以实数a的取值范围是a≥4或a≤﹣1．

18．在①左顶点为，②双曲线过点，③离心率这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．

问题：已知双曲线与椭圆共焦点，且______．

(1)求双曲线的方程；

(2)若点P在双曲线上，且，求．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)

(2)或

【解析】（1）因为双曲线与椭圆共焦点，所以双曲线的焦点在x轴上，且．

选①，设双曲线的方程为，由双曲线的左顶点为得，，所以，所以双曲线的方程为．

选②，设双曲线的方程为，由双曲线过点，得，又，解得，所以，所以双曲线方程为．

选③，设双曲线的方程，由离心率得，，所以，所以双曲线方程为．

（2）因为，，所以或

19．已知双曲线：（，）实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．

(1)求双曲线的方程；

(2)若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)在定直线方程上

【解析】（1）设直线的方程为，联立，得，

又，，代入上式得，即，

∴，解得，∴，，∴双曲线的方程为．

（2）当直线点的斜率不存在时，，，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得的，

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，

联立得，∴，，

∴直线的方程为，直线的方程为，

联立直线与直线的方程可得：

，两边平方得，

又，满足，

∴

，

∴，∴，或，（舍去）

综上，在定直线上，且定直线方程为．

20．若双曲线的一个焦点是，且离心率为2．

(1)求双曲线的方程；

(2)设过焦点的直线的一个法向量为，当直线与双曲线的右支相交于不同的两点时，

①求实数的取值范围；

②是否存在实数，使得为锐角？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)①；②不存在，理由见解析

【解析】（1）因为双曲线的一个焦点是，且离心率为2，

由解得，

所以双曲线的方程为.

（2）①根据题意设直线，

由得，

由得，恒成立，

设，，则，，

直线与双曲线的右支相交于不同的两点即

所以解得.

②设存在实数，使为锐角，所以即，

因为，

所以，

由①得即解得，

与矛盾，故不存在.