2.2函数的单调性和最值、值域（精讲）-【题型·技巧培优系列】最新高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

2.2  函数的单调性和最值、值域

【题型解读】

【知识储备】

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

（3）复合函数的单调性（同调增；异调减）

对于函数和，如果当时，，且在区间上和在区间上同时具有单调性，则复合函数在区间上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．

2．函数的最值

【题型精讲】

【题型一　函数单调性判断】

必备技巧  确定函数单调性的五种方法

(1)定义法：利用定义判断．

(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．

(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．

(4)性质法：利用函数单调性的性质．

(5)复合函数“同增异减”的原则，需先确定简单函数的单调性．

例1　（2022·全国·高三专题练习）讨论函数（）在上的单调性.

例2　（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（       ）

A．递增区间是 B．递减区间是

C．递增区间是 D．递增区间是

例3　（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（       ）

A． B．

C． D．

例4　（2022·九龙坡区·重庆市育才中学高三月考）已知，则的单调增区间为     

例5　（2022·天津静海区月考）函数的单调减区间为___________

【题型精练】

1. （2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x）lg．判断并证明函数f（x）的单调性；

2．（2022·全国·高三专题练习）函数单调递减区间是（       ）

A． B． C． D．

3. （2021·全国·高一专题练习）函数的增区间是

A． B． C． D．

【题型二　函数单调性比较大小】

例6　（2022·辽宁朝阳·高三开学考试）已知函数是定义在R上的偶函数，对任意两个不相等的正数，都有，记，则（       ）

A． B． C． D．

例7　（1）（2022·江苏淮安市·高三二模）已知函数，设，，，则（    ）

A． B． C． D．

（2）（2022·四川资阳市月考）设曲线在处切线的斜率为，则（    ）

A．   B．

C．  D．

【题型精练】

1．（2022·重庆·模拟预测）设函数，若，，，则（       ）

A． B．

C． D．

2. （2022·全国高三专题练习）已知幂函数满足，若，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【题型三　函数单调性解不等式】

例8　（2022·四川绵阳·高一期末）若，则满足的的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

例9　（2022·安徽安庆市·高三二模）设函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【题型精练】

1．（2022·陕西陕西·一模）已知，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

2. （2022·山东潍坊市·高三三模）设函数则不等式的解集为________．

【题型四  函数单调性求参】

例10　（2022·河南·南阳中学高三阶段练习）已知函数是R上的增函数，则a的取值范围为（       ）

A．[-4，0) B．[-4，-2] C． D．

例11　（2022·黑龙江高三月考）如果函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是     。

【题型精练】

1．（2022·天津河西·高三期末）若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

2. （2022·全国·高三专题练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【题型五  函数的最值、值域】

方法技巧   函数值域的求法主要有以下几种

(1)观察法:根据最基本函数值域（如≥0,及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域.

（2）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域.

（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型.

（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等.

（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数.

（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析.

（7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如，或的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）.

(8)单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域.对于形如或的函数，当ac>0时可利用单调性法.

（9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.因为常出现反解出y的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法.

例12　（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（       ）

A． B．

C． D．

例13　（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为

A． B． C． D．

例14　（2022·湖南高三三模）函数的值域为（    ）

A． B． C． D．

例15　（2022·全国高三专题练习）函数的值域为（  ）

A． B． C． D．

例16　（2022·全国高三专题练习）求的值域

【题型精练】

1．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是（       ）

A． B． C． D．

2. （2022·全国·高三专题练习）函数的最大值与最小值的和是（        ）

A． B． C． D．

3. （2022·全国高三专题练习）函数f(x)＝的值域为(　　)

A．[－,] B．[－,0]

C．[0,1] D．[0,]

4. （2022·全国高三专题练习）函数的值域是___________.