第4章 相似三角形（综合复习，满分必刷题）（解析版）

这是一份第4章 相似三角形（综合复习，满分必刷题）（解析版），共56页。试卷主要包含了知识点梳理，知识点巩固等内容，欢迎下载使用。

第4章 相似三角形（综合复习）

一、知识点梳理

二、知识点巩固
1.比例的性质
四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.其中b，c称作内项，a，d称作外项。
知识要点：如果，那么.（内项之积等于外项之积）
如果 a:b = b:c ,那么b2=ac ，b叫做a、c的比例中项。

需要注意的是：两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比，应用比例的基本性质可以将比例式与等积式进行相互变形，这是解决比例问题的重要方法。比例的基本性质还有以下两推论：
如果
如果

满分必刷题：
1．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC、AB上一点，且AF＝BE，AE与DF交于点G，连接CG．若CG＝BC，则AF：FB的比为（　　）

A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4
【分析】作CH⊥DF于点H，证明△AGD≌△DHC，可得AG＝DH＝GH，tan∠ADG＝＝．由此可解决此问题．
【解答】解：作CH⊥DF于点H，如图所示．
在△ADF和△BAE中，
，
∴△ADF≌△BAE（SAS）．
∴∠ADF＝∠BAE，
又∠BAE+∠GAD＝90°，
∴∠ADF+∠GAD＝90°，
即∠AGD＝90°．
由题意可得∠ADG+∠CDG＝90°，∠HDC+∠CDG＝90°，．
∴∠ADG＝∠HDC．
在△AGD和△DHC中，
，
∴△AGD≌△DHC（AAS）．
∴DH＝AG．
又CG＝BC，BC＝DC，
∴CG＝DC．
由等腰三角形三线合一的性质可得GH＝DH，
∴AG＝DH＝GH．
∴tan∠ADG＝．
又tan∠ADF＝＝，
∴AF＝AB．
即F为AB中点，
∴AF：FB＝1：1．
故选：A．

【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、比例、等腰三角形判定与性质、锐角三角函数等知识，学会添加常用辅助线构造全等三角形是解题关键．
2．下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（　　）
A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4
C．a＝2，b＝，c＝2，d＝ D．a＝，b＝3，c＝2，d＝
【分析】根据比例线段的定义即如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，即可得出答案．
【解答】解：A.4×10≠6×5，故不符合题意，
B.1×4≠2×3，故不符合题意，
C.2×＝×，故符合题意，
D.×≠3×2，故不符合题意，
故选：C．
【点评】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
3．已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝9cm，b＝4cm，则线段c长（　　）
A．6cm B．5cm C．18cm D．±6cm
【分析】根据比例中项的定义，求解即可．
【解答】解：∵c是a、b的比例中项，
∴c2＝ab，
∵a＝9cm，b＝4cm，
∴c2＝36，
∵c＞0，
∴c＝6cm．
故选：A．
【点评】本题考查比例线段，比例中项的定义，解题的关键是熟练掌握比例中项的性质，属于中考常考题型．
4．已知三条线段的长分别为1cm，2cm，cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，那么另外一条线段的长为　2cm或cm或cm　．
【分析】根据成比例线段的定义解答即可．
【解答】解：设另外一条线段的长为a，
由题意，得或或或，
解得a＝2cm或cm或cm．
故答案为：2cm或cm或cm．
【点评】本题主要考查了成比例线段的关系，已知成比例线段的四条中的三条，即可求得第四条．

2.黄金分割
点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
≈0.618AB(叫做黄金分割值).
需要注意的是：一条线段的黄金分割点有两个.在画线段的黄金分割点时，可以利用各边比例为 的直角三角形来确定该点。

满分必刷题：
5．线段AB＝8，P是AB的黄金分割点，且AP＜BP，则BP的长度为（　　）
A．4﹣4 B．8+8 C．8﹣8 D．4+4
【分析】根据黄金分割的定义解决问题即可．
【解答】解：∵线段AB＝8，P是AB的黄金分割点，且AP＜BP，
∴BP＝AB＝×8＝4﹣4．
故选：A．
【点评】本题考查黄金分割的定义，解题的关键是记住把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB．
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边上一动点，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于E．若AC＝2，BC＝4，则的最小值为（　　）

A． B．1 C． D．
【分析】过点E作EF⊥BC于F，推出△ACD∽△EDF，根据相似三角形的性质得到＝，当OE⊥BC时，EF有最大值，根据勾股定理得到AB＝2，由垂径定理得到BF＝BC＝2，求得EF＝﹣1，即可得到结论．
【解答】解：如图1，过点E作EF⊥BC于F，
∵∠C＝90°，
∴AC∥EF，
∴△ACD∽△EDF，
∴＝，
∵AE⊥BE，
∴A，B，E，C四点共圆，
设AB的中点为O，连接OE，
如图2，当点E是中点时，EF的值最大，此时E，F，O共线．
∵AC＝2，BC＝4，
∴AB＝＝＝2，
∴OE＝OB＝，
∵OE⊥BC，
∴BF＝BC＝2，
∴OF＝＝＝1，
∴EF＝OE﹣OF＝﹣1，
∴＝＝＝．
∴的最小值为．
故选：D．


【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，知道当OE⊥BC时，EF有最大值是解题的关键．
7．三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：AB＝AC，且∠A＝36°．
（1）在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）△BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；
（3）设，试求k的值；
（4）如图2，在△A1B1C1中，已知A1B1＝A1C1，∠A1＝108°，且A1B1＝AB，请直接写出的值．

【分析】（1）可根据基本作图中线段垂直平分线的作法进行作图；
（2）求得各个角的度数，根据题意进行判断；
（3）通过证明△BDC∽△ABC，根据相似三角形的性质求解即可；
（4）由黄金三角形的性质可知的值．
【解答】解：（1）如图所示；

（2）△BCD是黄金三角形．
证明如下：∵点D在AB的垂直平分线上，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A．
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°．
又∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴△BCD是黄金三角形．

（3）设BC＝x，AC＝y，
由（2）知，AD＝BD＝BC＝x．
∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，
∴△BDC∽△ABC，
∴，即，
整理，得x2+xy﹣y2＝0，
解得．
因为x、y均为正数，所以．

（4）．
理由：延长BC到E，使CE＝AC，连接AE．
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝72°，
∴∠ACE＝180°﹣72°＝108°，
∴∠ACE＝∠B1A1C1．
∵A1B1＝AB，
∴AC＝CE＝A1B1＝A1C1，
∴△ACE≌△B1A1C1，
∴AE＝B1C1．
由（3）知，
∴，，
∴．

【点评】此题考查的知识综合性较强，能够熟记黄金比的值，根据黄金比进行计算．注意根据题目中定义的黄金三角形进行分析计算．
8．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC＝108°，过点C作直线CD分别交直线AB和⊙O于点D、E，连接OE，DE＝AB，OD＝2．
（1）求∠CDB的度数；
（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金分割比．
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
②求弦CE的长；
③在直线AB或CD上是否存在点P（点C、D除外），使△POE是黄金三角形？若存在，画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．

【分析】（1）根据等边对等角找到三角形∠CDB和∠OCD的关系，列方程求解；
（2）①结合（1）求得各个角的度数，根据题意进行判断；
②根据黄金比求值计算；
③此题要分别考虑OE为底和腰的情况．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，DE＝AB，
∴OA＝OC＝OE＝DE，
则∠EOD＝∠CDB，∠OCE＝∠OEC，
设∠CDB＝x，则∠EOD＝x，∠OCE＝∠OEC＝2x，
又∠BOC＝108°，∴∠CDB+∠OCD＝108°，
∴x+2x＝108，x＝36°．
∴∠CDB＝36°．

（2）①有三个：△DOE，△COE，△COD．
∵OE＝DE，∠CDB＝36°，
∴△DOE是黄金三角形；
∵OC＝OE，∠COE＝180°﹣∠OCE﹣∠OEC＝36°．
∴△COE是黄金三角形；
∵∠COB＝108°，
∴∠COD＝72°；
又∠OCD＝2x＝72°，
∴∠OCD＝∠COD．
∴OD＝CD，
∴△COD是黄金三角形；

②∵△COD是黄金三角形，
∴，
∵OD＝2，
∴OC＝﹣1，
∵CD＝OD＝2，DE＝OC＝﹣1，
∴CE＝CD﹣DE＝2﹣（﹣1）＝3﹣；

③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3，
如图所示，
ⅰ以OE为底边的黄金三角形：作OE的垂直平分线分别交直线AB、CD得到点P1、P2；
ⅱ以OE为腰的黄金三角形：点P3与点A重合．

【点评】此题的知识综合性较强，能够熟记黄金比的值，根据黄金比进行计算．注意根据题目中定义的黄金三角形进行分析计算．

3. 平行线截线段成比例
两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例
已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则有
.






A字模型和8字模型

A字型 8字型
则常用的比例式：依然成立.

满分必刷题：
9．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理逐个判断即可．
【解答】解：A．∵AB∥CD∥EF，
∴＝≠，故本选项不符合题意；
B．∵AB∥CD∥EF，
∴＝，故本选项不符合题意；
C．∵AB∥CD∥EF，
∴＝，故本选项不符合题意；
D．∵AB∥CD∥EF，
∴＝，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
10．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，点E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F，则AF：FC＝（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：5
【分析】作DH∥AC交BF于H，如图，先证明△EDH≌△EAF得到DH＝AF，然后判断DH为△BCF的中位线，从而得到CF＝2DH．
【解答】解：作DH∥AC交BF于H，如图，

∵DH∥AF，
∴∠EDH＝∠EAF，∠EHD＝∠EFA，
∵DE＝AE，
∴△EDH≌△EAF（AAS），
∴DH＝AF，
∵点D为BC的中点，DH∥CF，
∴DH为△BCF的中位线，
∴CF＝2DH＝2AF，
∴AF：FC＝1：2，
故选：A．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，三角形的中位线定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
11．在△ABC中，MN∥AC，AC＝，＝λ，则MN是 　（1﹣λ）　．

【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可．
【解答】解：∵MN∥AC，
∴＝，
∵＝λ，
∴＝1﹣λ，
∵AC＝，
∴MN＝AC•＝（1﹣λ）．
故答案为：（1﹣λ）．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
12．如图，点D、E分别在△ABC的边AB，AC上，DE∥BC，点G在边BC上，AG交DE于点H，点O是线段AG的中点，若AD：DB＝3：1，则AO：OH＝　2：1　．

【分析】根据已知条件推出AO＝AG，根据平行线分线段成比例定理求出，，推出AO＝AG，OH＝OG﹣HG＝AG，代入求出即可．
【解答】解：∵点O是线段AG的中点，
∴OA＝OG＝AG，
∵DE∥BC，AD：DB＝3：1，
∴＝＝＝，＝＝，
∴OH＝OG﹣HG＝AG﹣AG＝AG，
∴AO：OH＝（AG）：（AG）＝2：1，
故答案为：2：1．
【点评】本题考查学生对平行线分线段成比例定理的灵活运用，关键是检查学生能否熟练地运用平行线分线段定理进行推理．
13．如图，AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且AC∥EF∥DB．若BE＝5，BF＝3，AE＝BC，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】设CF＝x，则＝，求出CF，由EF∥DB可求出的值．
【解答】解：设CF＝x，
∵EF∥AC，
∴＝，
∴＝，
解得x＝，
∴CF＝，
∵EF∥DB，
∴＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识．
14．如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AC上的点，且BD＝，AE＝AC，连接AD、BE交于点F，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】过D作DG∥BE，交AC于G，依据平行线分线段成比例定理，即可得到EG＝CE，再根据平行线分线段成比例定理，即可得到的值．
【解答】解：如图所示，过D作DG∥BE，交AC于G，
则＝＝，
∴EG＝CE，
又∵AE＝AC，
∴CE＝AC，
∴EG＝×AC＝AC，
∵EF∥DG，
∴＝＝＝，
故选：B．

【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．

4. 相似三角形
在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.





简而言之，对应角相等，对应边成比例的三角形是相似三角形，反之，相似三角形的对应边成比例，对应角相等，一定要注意在书写时要角需要一一对应。
5.相似三角形的判定定理
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

判定定理：
①有两个角对应相等的两个三角形相似；
②两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似（此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.）；
③三边对应成比例的两个三角形相似；
④平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。（即A字、8字模型）
射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。射影定理是数学图形计算的重要定理。
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：
BD²=AD·CD
AB²=AC·AD
BC²=CD·AC

5. 相似三角形的性质
三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段.

即 .

过点E作EH∥BC交AD于H，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得CD=2EH，从而得到BD=2EH，再根据△BDO和△EHO相似，利用相似三角形对应边成比例列出比例式计算即可得证，同理其他比例也可以得到．


相似三角形的性质：
①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；
②相似三角形中的重要线段的比等于相似比；
③相似三角形周长的比等于相似；
∽，则
由比例性质可得：

④相似三角形面积的比等于相似比的平方
∽，则分别作出与的高和，则






利用相似三角形证明线段比例是常见题型，解决这一类问题步骤分为：定、找、证。具体如下：
①定：确定比例式中的四条线段所在的两个可能相似的三角形；
②找：找到可以说明两个三角形相似的条件；
③证：证明两个三角形相似。如果不能证明，则要利用找中间比代替，替换其中的线段或者引平行线为辅助线等方法进行转化。
满分必刷题：
15．如图，在△ABC中，D为BC上的一点，E为AD上的一点，BE的延长线交AC于点F．已知，（a，b为不小于2的整数），则的值是 　　．

【分析】过点D作DG∥AC交BF于点G，过B作BM⊥AC，过D作DM⊥AC，由DG∥AC，推出△BDG∽△BCF，△GDE∽△FAE，进一步推比例线段，求出＝，＝，再根据三角形面积公式求出的值．
【解答】解：过点D作DG∥AC交BF于点G，过B作BM⊥AC，过D作DM⊥AC，

∴△BDG∽△BCF，△GDE∽△FAE，
∴＝＝，＝b，
∴DG＝CF，DG＝bAF，
∴＝，＝，
∴＝＝；
故答案为：．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例的应用，其中辅助线的做法是解题关键．
16．如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为 　5　．

【分析】如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．证明AB＝3AD，设AD＝CD＝a，证明ET＝CT，设ET＝CT＝b，则BE＝3b，求出a+b，可得结论．
【解答】解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．

∵AE平分∠BAC，FM⊥AB，FN⊥AC，
∴FM＝FN，
∴＝＝＝3，
∴AB＝3AD，
设AD＝DC＝a，则AB＝3a，
∵AD＝DC，DT∥AE，
∴ET＝CT，
∴＝＝3，
设ET＝CT＝b，则BE＝3b，
∵AB+BE＝3，
∴3a+3b＝3，
∴a+b＝，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝5a+5b＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
17．如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．
（1）求证：AF：FD＝AD：DB；
（2）若AB＝15，AD：BD＝2：1，求DF的长．

【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，由EF∥CD得到，由DE∥BC得到，然后利用等量代换可得到结论；
（2）根据比例的性质由AD：BD＝2：1可计算出AD＝10，则利用AF：FD＝AD：DB得到AF＝2DF，然后利用2DF+DF＝10可计算出DF．
【解答】（1）证明：∵EF∥CD，
∴，
∵DE∥BC，
∴
∴＝．
（2）∵AD：BD＝2：1，
∴BD＝AD，
∴AD+AD＝15，
∴AD＝10，
∵AF：FD＝AD：DB，
∴AF：FD＝2：1，
∴AF＝2DF，
∵AF+DF＝10，
∴2DF+DF＝10，
∴DF＝．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
18．正方形纸片ABCD中，E，F分别是AB、CB上的点，且AE＝CF，CE交AF于M．若E为AB中点，则＝　2　；若∠CMF＝60°，则＝　2　．

【分析】（1）连接BD，根据相似三角形计算即可；
（2）把60°的角放到直角三角形中，所以过C作CN⊥AM所在直线，利用角平分线的性质求解即可．
【解答】解：（1）连接BD，如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，且AB＝CD，
∴∠MEB＝∠MCD，∠MBE＝∠MDC，
∴△MCD∽△MEB，
∴，
∵E为AB中点，
∴；
（2）过点C作CN⊥AF，交AF的延长线于点N，如图2，
在Rt△CMN中，∠CMF＝60°，
∵sin60°＝，cos60°＝，
∴，，
即CM＝2MN，
∵AE＝CF，BA＝BC，
∴BA﹣AE＝BC﹣CF，
即BE＝BF，
∴Rt△ABF≌Rt△CBE（SAS），
∴∠FAB＝∠ECB，
∵∠AME＝∠CMF，AE＝CF，
∴△AME∽△CMF（AAS），
∴EM＝FM，
∵∠AFB＝∠CFN，∠B＝∠N＝90°
∴∠FAB＝∠FCN，
∴∠MCF＝∠NCF，
∴，
∵，
∴，
∵＝，
MF＝EM，
∴
＝
＝2+2×
＝2+2×
＝2+．
故答案为：2；2+．

【点评】本题考查的是正方形的综合题，解题的关键是从题中找到作出正确的辅助线CN．
19．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（　　）
A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：2
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是1：4，
∴两个相似三角形的相似比是1：2，
∴两个相似三角形的周长比是1：2，
故选：D．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
20．如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），连接AB并延长到C，连接CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为（　　）

A．（1，） B．（，） C．（，2） D．（，2）
【分析】根据相似三角形对应边成比例求出CB、AC的关系，从而得到＝，过点C作CD⊥y轴于点D，然后求出△AOB和△CDB相似，根据相似三角形对应边成比例求出CD、BD，再求出OD，最后写出点C的坐标即可．
【解答】解：∵A（﹣4，0），B（0，2），
∴OA＝4，OB＝2，
∵△COB∽△CAO，
∴＝＝＝＝，
∴CO＝2CB，AC＝2CO，
∴AC＝4CB，
∴＝，
过点C作CD⊥y轴于点D，
∵AO⊥y轴，
∴AO∥CD，
∴△AOB∽△CDB，
∴＝＝＝，
∴CD＝AO＝，
BD＝OB＝，
∴OD＝OB+BD＝2+＝，
∴点C的坐标为（，）．
故选：B．

【点评】本题考查了相似三角形的性质，坐标与图形性质，主要利用了相似三角形对应边成比例，求出＝是解题的关键，也是本题的难点．
21．如图是一个由A、B、C三种相似的直角三角形纸片拼成的矩形，A、B、C的纸片的面积分别为S1、S2、S3，（S1与S2，S2与S3的相似比相同），相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，若S1＞S2＞S3，则这个矩形的面积一定可以表示为（　　）

A．4S1 B．6S2 C．4S2+3S3 D．3S1+4S3
【分析】如图，由A、B、C三种直角三角形相似，设相似比为k，EF＝m，则GH＝mk，FH＝mk2．想办法构建方程，求出k定值，证明S2+S3＝S1即可解决问题；
【解答】解：如图，由A、B、C三种直角三角形相似，设相似比为k，EF＝m，则GH＝mk，FH＝mk2．

∴EH＝m（1+k2），FM＝，FK＝km（1+k2），
则有：km（1+k2）+mk＝，
整理得：k4+k2﹣1＝0，
∴k2＝或（舍弃），
∴S2＝S1，S3＝（）2S1＝S1，
∴S2+S3＝S1，
∴这个矩形的面积＝2S1+2（S2+S3）＝4S1，
故选：A．
【点评】本题考查相似三角形的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
22．在△ABC中，AB＝6cm，AC＝5cm，点D、E分别在AB、AC上．若△ADE与△ABC相似，且S△ADE：S四边形BCED＝1：8，则AD＝　2或　cm．
【分析】由于△ADE与△ABC相似，但其对应角不能确定，所以应分两种情况进行讨论．
【解答】解：∵S△ADE：S四边形BCED＝1：8，
∴S△ADE：S△ABC＝1：9，
∴△ADE与△ABC相似比为：1：3，
①若∠AED对应∠B时，
则，
∵AC＝5cm，
∴AD＝cm；
②当∠ADE对应∠B时，则，
∵AB＝6cm，
∴AD＝2cm；
故答案为：．

【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，相似三角形的面积比等于相似比的平方，意识到有两种情况分类讨论是解决问题的关键．
23．如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为　y＝2x　．

【分析】设OC＝a，根据点D在反比例函数图象上表示出CD，再根据相似三角形对应边成比例列式求出AC，然后根据中点的定义表示出点B的坐标，再根据点B在反比例函数图象上表示出a、k的关系，然后用a表示出点B的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答．
【解答】解：设OC＝a，
∵点D在y＝上，
∴CD＝，
∵△OCD∽△ACO，
∴＝，
∴AC＝＝，
∴点A（a，），
∵点B是OA的中点，
∴点B的坐标为（，），
∵点B在反比例函数图象上，
∴＝，
∴＝2k2，
∴a4＝4k2，
解得，a2＝2k，
∴点B的坐标为（，a），
设直线OA的解析式为y＝mx，
则m•＝a，
解得m＝2，
所以，直线OA的解析式为y＝2x．
故答案为：y＝2x．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，用OC的长度表示出点B的坐标是解题的关键，也是本题的难点．
24．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．

【分析】（1）根据勾股定理求出AB，分△BPQ∽△BAC、△BPQ∽△BCA两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝5t，PM＝3t，BQ＝8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM＝CQ：MP，代入计算即可．
【解答】解：（1）①当△BPQ∽△BAC时，
∵，BP＝3t，QC＝2t，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴，
∴，
②当△BPQ∽△BCA时，
∵，
∴，
∴；
∴或时，△BPQ与△ABC相似；
（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，
则有PB＝3t，，，，
∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，
∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，
∴△ACQ∽△CMP，
∴，
∴
解得：．

【点评】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．
25．如图，△ABC中，AB＝8厘米，AC＝16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？

【分析】首先设运动了ts，根据题意得：AP＝2tcm，CQ＝3tcm，然后分别从当△APQ∽△ABC与当△APQ∽△ACB时去分析求解即可求得答案．
【解答】解：设运动了ts，
根据题意得：AP＝2tcm，CQ＝3tcm，
则AQ＝AC﹣CQ＝16﹣3t（cm），
当△APQ∽△ABC时，，
即，
解得：t＝；
当△APQ∽△ACB时，，
即，
解得：t＝4；
故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是：s或4s．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题难度适中，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（，），点D的坐标为（0，1）
（1）求直线AD的解析式；
（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．

【分析】（1）设直线AD的解析式为y＝kx+b，用待定系数法将A（，），D（0，1）的坐标代入即可；
（2）由直线AD与x轴的交点为（﹣2，0），得到OB＝2，由点D的坐标为（0，1），得到OD＝1，求得BC＝5，根据相似三角形的性质得到或，代入数据即可得到结论．
【解答】解：（1）设直线AD的解析式为y＝kx+b，
将A（，），D（0，1）代入得：，
解得：．
故直线AD的解析式为：y＝x+1；

（2）∵直线AD与x轴的交点为（﹣2，0），
∴OB＝2，
∵点D的坐标为（0，1），
∴OD＝1，
∵y＝﹣x+3与x轴交于点C（3，0），
∴OC＝3，
∴BC＝5．
过点E作EF垂直于BC于F，
∵△BOD与△BEC相似，
∴①，
∴＝＝，
∴BE＝2，CE＝，
∵BC•EF＝BE•CE，
∴EF＝2，CF＝＝1，
∴E（2，2），
②，
∴，
∴CE＝，
∴E（3，）．
即：E（2，2），或（3，）．

【点评】本题考查了相似三角形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的作出图形是解题的关键．
27．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3），双曲线y＝（x＞0）的图象经过BC上的点D与AB交于点E，连接DE，若E是AB的中点．
（1）求D点的坐标；
（2）点F是OC边上一点，若△FBC和△DEB相似，求BF的解析式．

【分析】（1）先求出点E的坐标，求出双曲线的解析式，再求出CD＝1，即可得出点D的坐标；
（2）分两种情况：①△FBC和△DEB相似，当BD和BC是对应边时，，求出CF，得出F的坐标，用待定系数法即可求出直线BF的解析式；
②当BD与CF是对应边时，＝，求出CF、OF，得出F的坐标，用待定系数法即可求出直线BF的解析式；
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝BC，AB＝OC，
∵B（2，3），E为AB的中点，
∴AB＝OC＝3，OA＝BC＝2，AE＝BE＝AB＝，
∴E（2，），
∴k＝2×＝3，
∴双曲线解析式为：y＝；
∵点D在双曲线y＝（x＞0）上，
∴OC•CD＝3，
∴CD＝1，
∴点D的坐标为：（1，3）；
（2）∵BC＝2，CD＝1，
∴BD＝1，
分两种情况：
①△FBC和△DEB相似，当BD和BC是对应边时，，
即＝，
∴CF＝3，
∴F（0，0），
即F与O重合，
设直线BF的解析式为：y＝kx，
把点B（2，3）代入得：k＝，
∴直线BF的解析式为：y＝x；
②△FBC和△DEB相似，当BD与CF是对应边时，＝，
即＝，
∴CF＝，
∴OF＝3﹣＝，
∴F（0，），
设直线BF的解析式为：y＝ax+c，
把B（2，3），F（0，）代入得：，
解得：a＝，c＝，
∴直线BF的解析式为：y＝x+；
综上所述：若△FBC和△DEB相似，BF的解析式为：y＝x，或y＝x+；
【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、相似三角形的性质、用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式、三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）中，需要进行分类讨论，运用相似三角形的性质求出点的坐标才能得出结果．
28．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△A1B1C1相似的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．
【解答】解：因为△A1B1C1中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
29．如图，△ABC的两条高BD，CE相交于点O，则下列结论正确的是（　　）

A．△ABC是等腰三角形 B．OB＝OC
C．∠AED＝∠ACB D．
【分析】首先利用已知条件证明B、C、D、E四点共圆，然后利用圆的有关知识点即可解决问题．
【解答】解：如图，∵△ABC的两条高BD，CE相交于点O，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°，
∴B、C、D、E四点共圆，
∴∠AED＝∠ACB，故C正确；
∴∠EDB＝∠ECB，∠EOD＝∠BOC，
∴△EOD∽△BOC，
∴＝，
故D错误；
△ABC中AB不一定等于AC，故A错误；
OB不一定等于OC，故B错误；
故选：C．

【点评】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，同时也利用了四点共圆的知识点解决问题．
30．如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC＝3：2：1，M在AC边上，CM：MA＝1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（　　）

A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：10
【分析】连接EM，根据已知可得△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA，根据相似比从而不难得到答案．
【解答】解：连接EM，
CE：CD＝CM：CA＝1：3
∴EM平行于AD
∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA
∴HD：ME＝BD：BE＝3：5，ME：AD＝CM：AC＝1：3
∴AH＝（3﹣）ME，
∴AH：ME＝12：5
∴HG：GM＝AH：EM＝12：5
设GM＝5k，GH＝12k，
∵BH：HM＝3：2＝BH：17k
∴BH＝K，
∴BH：HG：GM＝k：12k：5k＝51：24：10
故选：D．

【点评】此题主要考查相似三角形的性质的理解及运用．
31．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝　3　．

【分析】如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．由△QPE∽△RPF，推出＝＝2，可得PQ＝2PR＝2BQ，由PQ∥BC，可得AQ：QP：AP＝AB：BC：AC＝3：4：5，设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，可得2x+3x＝3，求出x即可解决问题．
【解答】解：如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．

∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，
∴四边形PQBR是矩形，
∴∠QPR＝90°＝∠MPN，
∴∠QPE＝∠RPF，
∴△QPE∽△RPF，
∴＝＝2，
∴PQ＝2PR＝2BQ，
∵PQ∥BC，
∴AQ：QP：AP＝AB：BC：AC＝3：4：5，设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，
∴2x+3x＝3，
∴x＝，
∴AP＝5x＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
32．已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，连接DE．
（1）求证：DE⊥BE；
（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE＝CD•DE．

【分析】（1）由平行四边形的性质得到BO＝BD，由等量代换推出OE＝BD，根据平行四边形的判定即可得到结论；
（2）根据等角的余角相等，得到∠CEO＝∠CDE，推出△BDE∽△CDE，即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD，
∵OE＝OB，
∴OE＝OD，
∴∠OBE＝∠OEB，∠OED＝∠ODE，
∵∠OBE+∠OEB+∠OED+∠ODE＝180°，
∴∠BEO+∠DEO＝∠BED＝90°，
∴DE⊥BE；

（2）∵OE⊥CD
∴∠CEO+∠DCE＝∠CDE+∠DCE＝90°，
∴∠CEO＝∠CDE，
∵OB＝OE，
∴∠DBE＝∠OEB，
∴∠DBE＝∠CDE，
∵∠BED＝∠DEC，
∴△BDE∽△DCE，
∴，
∴BD•CE＝CD•DE．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟记定理是解题的关键．
33．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长．

【分析】（1）由正方形的性质得出AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，得出∠AMB＝∠EAF，再由∠B＝∠AFE，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠AMB＝∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE＝90°，
∴∠B＝∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）解：∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，
∴AM＝＝13，AD＝12，
∵F是AM的中点，
∴AF＝AM＝6.5，
∵△ABM∽△EFA，
∴，
即，
∴AE＝16.9，
∴DE＝AE﹣AD＝4.9．
【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
34．在Rt△ABC，∠C＝90°，D为AB边的中点，点M，N分别在BC，AC边上，且DM⊥DN，MF⊥AB于点F，NE⊥AB于点E．求证：AE＝DF．

【分析】根据D为AB中点，可得AD＝BD，然后分别证明△DEN∽△MFD，△AEN∽△MFB，由线段比例关系可以证明AE＝DF．
【解答】证明：在Rt△ABC，∠C＝90°，
∵D为AB边的中点，
∴AD＝BD，
∵DM⊥DN，MF⊥AB，NE⊥AB
∴∠NDM＝∠DEN＝∠MFD＝90°，
∴∠END+∠NDE＝90°，∠NDE+∠FDM＝90°，
∴∠END＝∠FDM，
∴△DEN∽△MFD，
∴＝，
∴MF•EN＝DE•DF．
同理△AEN∽△MFB，
∴＝，
∴MF•EN＝AE•BF．
∴DE•DF＝AE•BF，
∴（AD﹣AE）•DF＝AE•（BD﹣DF），
∴AD•DF＝AE•BD，
∴AE＝DF．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．解决本题的关键是得到△DEN∽△MFD，△AEN∽△MFB．
35．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△BAP中，∠BAP＝90°，已知∠CBO＝∠ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE＝OC．
（1）求证：AP＝AO；
（2）求证：PE⊥AO；
（3）当AE＝AC，AB＝10时，求线段BO的长度．

【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；
（2）过点O作OD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CO＝DO，利用“SAS”证明△APE和△OAD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AEP＝∠ADO＝90°，从而得证；
（3）设C0＝3k，AC＝8k，表示出AE＝CO＝3k，AO＝AP＝5k，然后利用勾股定理列式求出PE＝4k，BC＝BD＝10﹣4k，再根据相似三角形对应边成比例列式求出k＝1然后在Rt△BDO中，利用勾股定理列式求解即可．
【解答】（1）证明：∵∠C＝90°，∠BAP＝90°
∴∠CBO+∠BOC＝90°，∠ABP+∠APB＝90°，
又∵∠CBO＝∠ABP，
∴∠BOC＝∠APB，
∵∠BOC＝∠AOP，
∴∠AOP＝∠APB，
∴AP＝AO；

（2）证明：如图，过点O作OD⊥AB于D，
∵∠CBO＝∠ABP，
∴CO＝DO，
∵AE＝OC，
∴AE＝OD，
∵∠AOD+∠OAD＝90°，∠PAE+∠OAD＝90°，
∴∠AOD＝∠PAE，
在△AOD和△PAE中，
，
∴△AOD≌△PAE（SAS），
∴∠AEP＝∠ADO＝90°
∴PE⊥AO；

（3）解：设AE＝OC＝3k，
∵AE＝AC，∴AC＝8k，
∴OE＝AC﹣AE﹣OC＝2k，
∴OA＝OE+AE＝5k．
由（1）可知，AP＝AO＝5k．
如图，过点O作OD⊥AB于点D，
∵∠CBO＝∠ABP，∴OD＝OC＝3k．
在Rt△AOD中，AD＝＝＝4k．
∴BD＝AB﹣AD＝10﹣4k．
∵OD∥AP，
∴，即
解得k＝1，
∵AB＝10，PE＝AD，
∴PE＝AD＝4K，BD＝AB﹣AD＝10﹣4k＝6，OD＝3
在Rt△BDO中，由勾股定理得：
BO＝＝＝3．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，（2）作辅助线构造出过渡线段DO并得到全等三角形是解题的关键，（3）利用相似三角形对应边成比例求出k＝1是解题的关键．
36．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G．
（1）求证：△AFG∽△DFC；
（2）若正方形ABCD的边长为4，AE＝1，求⊙O的半径．

【分析】（1）欲证明△AFG∽△DFC，只要证明∠FAG＝∠FDC，∠AGF＝∠FCD；
（2）首先证明CG是直径，求出CG即可解决问题；
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∠ADC＝90°，
∴∠CDF+∠ADF＝90°，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝90°，
∴∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠DAF＝∠CDF，
∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，
∴∠FCD+∠DGF＝180°，
∵∠FGA+∠DGF＝180°，
∴∠FGA＝∠FCD，
∴△AFG∽△DFC．

（2）解：如图，连接CG．
∵∠EAD＝∠AFD＝90°，∠EDA＝∠ADF，
∴△EDA∽△ADF，
∴＝，即＝，
∵△AFG∽△DFC，
∴＝，
∴＝，
在正方形ABCD中，∵DA＝DC，
∴AG＝EA＝1，DG＝DA﹣AG＝4﹣1＝3，
∴CG＝＝5，
∵∠CDG＝90°，
∴CG是⊙O的直径，
∴⊙O的半径为．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
37．如图，BC为半圆O的直径，EF⊥BC于点F，且BF：FC＝5：1，若AB＝8，AE＝2，则AD的长为　　．

【分析】连接BE，则△ABE与△BEC都是直角三角形，在直角△ABE利用勾股定理即可求得BE的长，在直角△BEC中利用射影定理即可求得EC的长，根据切割线定理即可得到：AD•AB＝AE•AC．据此即可求得AD的长．
【解答】解：连接BE．

∵BC是直径．
∴∠AEB＝∠BEC＝90°
在直角△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2﹣AE2＝82﹣22＝60．
∵＝5
∴设FC＝x，则BF＝5x，BC＝6x．
又∵BE2＝BF•BC
即：30x2＝60
解得：x＝，
∴EC2＝FC•BC＝6x2＝12
∴EC＝2，
∴AC＝AE+EC＝2+2，
∵AD•AB＝AE•AC
∴AD＝＝＝．
故答案为．
【点评】本题主要考查了射影定理以及切割线定理，对于两个定理的灵活应用是解题关键．
38．如图，已知AB为圆O的直径，C为圆周上一点，D为线段OB内一点（不是端点），满足CD⊥AB，DE⊥CO，垂足为E．若CE＝10，且AD与DB的长均为正整数，求线段AD的长．

【分析】连接AC，BC，则∠ACB＝90°．由相似三角形的对应边成比例可得CE•CO＝AD•BD．设AD＝a，DB＝b，a，b为正整数，可得，进而得出AD＝a＝30．
【解答】解：如图，连接AC，BC，则∠ACB＝90°．
又CD⊥AB，DE⊥CO，
由Rt△CDE∽Rt△COD，可得CE•CO＝CD2，
由Rt△ACD∽Rt△CBD，可得CD2＝AD•BD，
所以CE•CO＝AD•BD①．
设AD＝a，DB＝b，a，b为正整数，
则由Rt△ABC中，CO＝AB，可得，
又CE＝10，代入①式得，
整理得：（a﹣5）（b﹣5）＝25．
考虑到a＞b，只能是a﹣5＞b﹣5＞0，得a﹣5＝25，b﹣5＝1．
因此AD＝a＝30．

【点评】本题主要考查了射影定理的运用，直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
39．如图，嘉嘉在A时测得一棵4米高的树的影长DF为8m，若A时和B时两次日照的光线互相垂直，则B时的影长DE为（　　）

A．2m B．2m C．4m D．4m
【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt△CDE∽Rt△FDC，进而可得＝，即DC2＝ED•FD，代入数据可得答案．
【解答】解：根据题意得CE⊥CF，CD＝4m，FD＝8m；
∵CE⊥CF，
∴∠ECF＝90°，
∴∠ECD+∠DCF＝90°，
∵CD⊥EF，
∴∠CDE＝∠CDF＝90°，
∴∠F+∠DCF＝90°，
∴∠ECD＝∠CFD，
∴Rt△CDE∽Rt△FDC，
∴＝，即CD2＝ED•FD，
代入数据可得42＝8ED，
解得：ED＝2（m）；
即B时的影长DE为2m．
故选：A．
【点评】本题考查相似三角形的应用．解题的关键是正确证明三角形相似，运用相似三角形的性质进行计算．
40．如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面高度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．

【分析】根据题意得到△GDC∽△EOC和△FBA∽△EOA，利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．
【解答】解：令OE＝a，AO＝b，CB＝x，
则由△GDC∽△EOC得，
即，
整理得：3.2+1.6b＝2.1a﹣ax①，
由△FBA∽△EOA得，
即，
整理得：1.6b＝2a﹣ax②，
将②代入①得：
3.2+2a﹣ax＝2.1a﹣ax，
∴a＝32，
即OE＝32米，
答：楼的高度OE为32米．
【点评】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．

6. 相似多边形的性质：
一般的，对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。其性质有：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等；相似多边形的周长比等于相似比；相似多边形的面积比等于相似比的平方．

满分必刷题：
41．如图所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（　　）

A．28cm2 B．27cm2 C．21cm2 D．20cm2
【分析】根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得．
【解答】解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，
则矩形ABDC∽矩形FDCE，
则，
设DF＝xcm，得到：
解得：x＝4.5，
则剩下的矩形面积是：4.5×6＝27cm2．
故选：B．
【点评】本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键．
42．如图，以边长为1的正方形ABCD的边AB为对角线作第二个正方形AEBO1，再以BE为对角线作第三个正方形EFBO2，如此作下去，…，则所作的第n个正方形的面积Sn＝　　．

【分析】由正方形ABCD的边长为1，根据正方形的性质，即可求得AO1，EO2的值，则可求得S2，S3，S4的值，即可求得规律所作的第n个正方形的面积Sn＝．
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为1，
∴AB＝1，AC＝，
∴AE＝AO1＝，
则：AO2＝AB＝，
∴S2＝，S3＝，S4＝，
∴作的第n个正方形的面积Sn＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了正方形的性质．解题的关键是找到规律：所作的第n个正方形的面积Sn＝．
43．如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB＝4．
（1）求AD的长；
（2）求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．

【分析】（1）矩形DMNC与矩形ABCD相似，对应边的比相等，就可以得到AD的长；
（2）相似比即为是对应边的比．
【解答】解：（1）由已知得MN＝AB，MD＝AD＝BC，
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，
，
∵MN＝AB，DM＝AD，BC＝AD，
∴AD2＝AB2，
∴由AB＝4得，AD＝4；

（2）矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为＝．
【点评】本题考查相似多边形的性质，对应边的比相等．

7. 位似图形
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形与相似图形是有区别的，位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.
位似图形的性质:
①位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；
②位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
③位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
位似变换中对应点的坐标变化规律:
在平面直角坐标系中，当以坐标原点为位似中心时,如原图形上点的坐标为(x，y)，位似图形与原图形的位似比为k，则么位似图形上的对应点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）.

满分必刷题：
44．如图，平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，且OA＝4，∠BOA＝30°，∠B＝90°，以点O为位似中心，在第一象限内将△AOB放大，使相似比为2：1，则点B的对应点B′的坐标为 　（6，2）　．

【分析】作BE⊥OA于E，根据直角三角形的性质、锐角三角函数的定义求出点B的坐标，再根据位似变换的性质解答即可．
【解答】解：作BE⊥OA于E，
则∠BEO＝90°，
∵∠ABO＝90°，∠BOA＝30°，
∴OB＝OA•cos30°＝4×＝2，
∴BE＝OB＝，OE＝OB•cos30°＝2×＝3，
∴点B的坐标为：（3，），
∵以点O为位似中心，在第一象限内将△AOB放大，使相似比为2：1，
∴点B的对应点B'的坐标为：（3×2，×2），即（6，2），
故答案为：（6，2）．

【点评】本题考查的是位似变换的性质、直角三角形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
45．如图，直线y＝x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，则点B′的坐标为　（3，2）或（﹣9，﹣2）　．

【分析】首先根据直线y＝x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，解得点A和点B的坐标，再利用位似图形的性质可得点B′的坐标．
【解答】解：∵y＝x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，
令x＝0可得y＝1；令y＝0可得x＝﹣3，
∴点A和点B的坐标分别为（﹣3，0）；（0，1），
∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，
∴＝＝，
∴O′B′＝2，AO′＝6，
∴当点B'在第一象限时，B′的坐标为（3，2）；
当点B'在第三象限时，B′的坐标为（﹣9，﹣2）．
∴B′的坐标为（﹣9，﹣2）或（3，2）．
故答案为：（﹣9，﹣2）或（3，2）．

【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质，位似图形的性质的运用，掌握位似的概念是解决问题的关键．
46．如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A（5，0），O（0，0），B（3，6），以点O为位似中心，相似比为，将△AOB缩小，则点B的对应点B'的坐标是 　（2，4）或（﹣2，﹣4）　．

【分析】利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：如图，

∵△OAB∽△OA′B′，相似比为3：2，B（3，6），
∴B′（2，4），根据对称性可知，△OA″B″在第三象限时，B″（﹣2，﹣4），
∴满足条件的点B′的坐标为（2，4）或（﹣2，﹣4）．
故答案为（2，4）或（﹣2，﹣4）．
【点评】本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，注意一题多解．
47．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O和△ABC的顶点均为格点．
（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC位似，且位似比为1：2．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）若点C的坐标为（2，4），则A′B′＝　2　，△A′B′C′的面积＝　3　．

【分析】（1）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
（2）利用勾股定理，分割法解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；

（2）A′B′＝＝2，△A′B′C′的面积＝×3×2＝3．
故答案为：2，3．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型．